第五章51随机现象与随机事件

1、 16541654年年, ,一个名叫梅累的骑士就一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒两个赌徒约定赌若干局约定赌若干局, , 且谁先赢且谁先赢 c c 局便算赢家局便算赢家, , 若在若在一赌徒胜一赌徒胜 a a 局局 ( (a a c c),),另一赌徒胜另一赌徒胜b b局局( (b b c c) )时时便终止赌博便终止赌博, ,问应如何分配赌本问应如何分配赌本”为题求教于帕为题求教于帕斯卡斯卡, , 帕斯卡与费马通信讨论这一问题帕斯卡与费马通信讨论这一问题, , 于于1654 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望数学期望.1. 概率论的诞生概率论的

2、诞生在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象。的现象称为确定性现象。 “太阳每日从东天边升太阳每日从东天边升起起”; ;1.确定性现象确定性现象 “同性电荷互斥同性电荷互斥”; ;“水从高处向低处流水从高处向低处流”; ;实例实例：自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象在一定条件下，可能出现也可能不出现在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象称的现象称为随机现象。为随机现象。实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币, ,观察正观察正 反两面出现的情况反两面出现的情况”。2. 随机现象随机现象 “函数在

3、间断点处不连续函数在间断点处不连续” ” 等等. .结果：有可能结果：有可能出现正面；出现正面； 也可能也可能出现反面。出现反面。确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果。条件完全决定结果。结果：有可能为结果：有可能为: :“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”。 实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数”。 实例实例2 “用同一门炮向同一目用同一门炮向同一目 标发射同一种炮弹多枚，标发射同一种炮弹多枚， 观察炮弹着落点的情况观察炮弹着落点的情况”。结果结果: : 弹落点弹落点( (一般一般) )各不相同。各不相同。实例实例4 “

4、从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品”。结果：可能为结果：可能为: : 正品正品，次品次品。实例实例5 “过马路交叉口时，能遇过马路交叉口时，能遇上不同颜色的交通指挥灯上不同颜色的交通指挥灯”。结果：可能为结果：可能为红色红色, ,绿色绿色或或黄色黄色。实例实例6 “一只灯泡的寿命一只灯泡的寿命”可长可短可长可短, ,应为应为0 0分分钟。钟。2.2. 随机现象随机现象在一次观察中出现什么结果具有在一次观察中出现什么结果具有偶然偶然性性, , 但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中, , 这些结果的出这些结果的出现具有一定的现具有一

5、定的统计规律性统计规律性。概率论与数理统计就。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科. .随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的。那么那么, ,什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?归纳：归纳：1.1. 随机现象揭示了随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性条件和结果之间的非确定性联系联系 , , 其数量关系无法用一般函数加以描述。其数量关系无法用一般函数加以描述。 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止

6、一个，并且在试并且在试验之前能事先明确试验的所有可能结果验之前能事先明确试验的所有可能结果; 3. 进行试验之前不能确定试验的哪一个可能进行试验之前不能确定试验的哪一个可能结果会出现结果会出现。定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验把具有以下三个特征的试验称为称为随机试验随机试验：说明：说明： 1.1. 随机试验随机试验简称为简称为试验试验，是一个泛泛的术语。它，是一个泛泛的术语。它包括各种各样的科学实验，也包括对客观事物进行包括各种各样的科学实验，也包括对客观事物进行的的 “ “调查调查”、“观察观察”或或 “ “测量测量” ” 等。等。实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币

7、, ,观观察正面察正面, ,反面出现的情况反面出现的情况”. .分析：分析： 2. 2. 随机试验随机试验通常记为通常记为E 。(1) (1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行; ;1. “1. “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, ,观察出现的观察出现的点数点数”；2. “2. “从一批产品中从一批产品中, ,依次任选三依次任选三件件, ,记记 录出现正品与次品的件录出现正品与次品的件数数”；同理可知下列试验都为随机试验：同理可知下列试验都为随机试验：(2) (2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果: :正面正面H H，反面，反面T T; ;(3) (3) 进行一

8、次试验之前，能进行一次试验之前，能确定哪一个结果会出现，确定哪一个结果会出现， 故为随机试验。故为随机试验。3. 3. 记录某公共汽车站记录某公共汽车站在某日上午某时刻的等在某日上午某时刻的等车人车人 数；数；4. 4. 考察某地区考察某地区 7 7 月份月份的平均降雨量；的平均降雨量；5. 5. 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取一只，测试其寿命。一只，测试其寿命。 规定不含任何元素的空集以及在试验中必不会规定不含任何元素的空集以及在试验中必不会发生的事件为不可能事件发生的事件为不可能事件, ,不可能事件用不可能事件用 表示。表示。随机事件随机事件 随机试验随机试验 E E 的样本空间的样本空

9、间 S S 的子集的子集( (或某些样本点的集合或某些样本点的集合) )，称为，称为 E E 的的随机事件随机事件, , 简称为简称为事件事件。 试验中，骰子试验中，骰子“出现的是出现的是1 1点点”, “, “出现的是出现的是2 2点点”, ,“, ,“出现的是出现的是6 6点点”, ,“点数不大于点数不大于4”,4”, 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, , 观察出现的点数：观察出现的点数：随机事件。随机事件。数为偶数数为偶数”等都为等都为“点点 每一个随机试验相应地有一个样本空每一个随机试验相应地有一个样本空间间S, S, 样本空间的子集称随机事件。样本空间的子集称随机事件。随机试验随

10、机试验样本空间样本空间子子集集随机事件随机事件必然事件必然事件S S、不可能事件不可能事件是两个特殊的是两个特殊的随随机事件。机事件。必件然事即在试验中必定发生的事件，常用即在试验中必定发生的事件，常用S S表示表示; ; 不件可事能例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小于7 7”是必是必然事件然事件; ;即在一次试验中不可能发生的事件，常用即在一次试验中不可能发生的事件，常用 表示表示 .而而“掷出点数掷出点数8 8”则是不可能事件则是不可能事件. . 写出掷骰子试验的样本点写出掷骰子试验的样本点, ,样本空间样本空间, ,基基本事件本事件, ,事件事件AA出现

11、偶数点和事件出现偶数点和事件BB出现奇出现奇数点。数点。 i; 6, 1,ii解：解：用用 表示掷骰子出现的点数为表示掷骰子出现的点数为 基本事件基本事件 ; 6 , 2 , 1, iiAii ;,642 A。,531B例例1 1事件事件S=1,2,3,4,5,62, AACBASE、的的样样本本空空间间为为设设试试验验1 . 的事件的事件试验试验 E : 1.包含关系包含关系 BA发发生生必必然然导导致致事事件件如如果果事事件件是事件是事件或称事件或称事件包含事件包含事件则称事件则称事件发生发生 ( , AAB , ) 记记作作的的子子事事件件B . ABBA 或或 , 都有都有对于任何事件

12、对于任何事件 A . SA 相等关系相等关系 , 与与则则称称事事件件且且若若AABBA , 记作记作或称等价或称等价相等相等事件事件 B . BA : 2.和和事事件件 的的至少有一个发生所构成至少有一个发生所构成、事件事件BA . 记记作作的的和和与与事事件件事事件件叫叫做做事事件件BA . BA , 称称事事件件类类似似地地 2中中至至少少有有一一个个发发、nAAA1 生的事件为事件生的事件为事件. 21的的和和事事件件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 2件件为为中中至至少少有有一一个个发发生生的的事事、AA1. 2的和事件的和事件、事件事

13、件AA1 记记之之为为 ,21 AA 简记为简记为. 1iiA : 3.积事件积事件 同同时时发发生生所所构构成成的的事事件件、事事件件BA . 记记作作的的积积事事件件与与事事件件叫叫做做事事件件BA. ABBA或或 , 称称事事件件类类似似地地 21同同时时发发生生所所构构成成的的、nAAA 的事件为事件的事件为事件. 21的的积积事事件件、nAAA记之为记之为 ,21nAAA 简记为简记为. 1iniA 称事件称事件 21件为事件为事、同时发生所构成的事、同时发生所构成的事、AA. 21的积事件的积事件、件件AA 记记之之为为 ,21 AA 简记为简记为. 1iiA : 4.互互斥斥事事

14、件件 , 即即不能同时发生不能同时发生、若事件若事件BA . 相容事件相容事件. , BABA 记记为为可可将将当当两两事事件件互互不不相相容容时时 在一次试验在一次试验与事件与事件若事件若事件BA : 5.对对立立事事件件 ,满足条件满足条件、即即发生发生中必有且只有其中之一中必有且只有其中之一BA ABSAB 且且 , 、或或称称事事件件为为互互逆逆事事件件与与事事件件则则称称事事件件BABA . 的对立事件记为的对立事件记为事件事件互为对立事件互为对立事件A . A . 容容的的基基本本事事件件是是两两两两互互不不相相 , ABAB 事事件件与与事事件件互互斥斥事事件件或或互互不不则称则

15、称为为 : 关关系系对对立立事事件件与与互互斥斥事事件件的的 . , 但互斥不一定对立但互斥不一定对立对立一定互斥对立一定互斥 两事件两事件A、B互斥：互斥：两事件两事件A、B互逆或互为对立事件互逆或互为对立事件即即A与与B不可能同时发生不可能同时发生.AB 除要求除要求A、B互斥互斥( )外，还要求外，还要求 AB ABS : 6.差差事事件件 不发生所构不发生所构发生而事件发生而事件称事件称事件BA , 记作记作的差事件的差事件与事件与事件成的事件为事件成的事件为事件BA . BA ABABABA 系系及及运运算算可可以以用用下下列列以以上上事事件件之之间间的的各各种种关关 . 示各种维恩

16、图来直观地表BA BABABAB互斥互斥、 BAA 对立事件对立事件BABA ABABAAABABAB ; , : 1BAABABBA 交交换换律律 , : 2CBACBA 结结合合律律 ; BCACAB , : 3BCACCBA 分分配配律律 ; CBCACAB 事件的运算满足的规律事件的运算满足的规律 : 4对对偶偶律律摩摩根根律律德德 , , BAABBABA , 1111iniiniiniiniAAAA , 1111iiiiiiiiAAAA 5AA BABA 6 . ABA 3检检验验某某种种圆圆柱柱形形产产品品按按长长度度和和直直径径两两个个指指标标例例 , , . 直径合格直径合格

17、长度合格长度合格若设若设是否为合格品是否为合格品 BA , 产品为合格品产品为合格品的运算表示事件的运算表示事件、试用试用 CBA . 产产品品为为不不合合格格品品 D 解解 度度和和直直径径两两个个指指标标产产品品为为合合格格品品必必须须是是长长 , 因此因此合格合格ABC 度度和和直直径径两两个个指指标标产产品品为为不不合合格格品品是是指指长长 , 因此因此格格中至少有一个指标不合中至少有一个指标不合BAD . ABD 或或 1中的三个随机中的三个随机为样本空间为样本空间、设设练习练习SCBA : , 件件的的运运算算表表示示下下列列随随机机事事、试试用用事事件件CBA ; 1都都不不发发

18、生生与与发发生生而而CBA ; 2都不发生都不发生、CBA ; 3中恰好有一个发生中恰好有一个发生、CBA ; 4中至少有两个发生中至少有两个发生、CBA ; 5中至少有一个发生中至少有一个发生、CBA . 6中恰好有两个发生中恰好有两个发生、CBA 解解 CBA 1 2CBA 3CBACBACBA 4ABCCABCBABCA CBA 5CBACBACBA 或或BCACAB 或或 CABCBABCA 6 , 2记记进行三次射击进行三次射击设某射手对一目标接连设某射手对一目标接连练习练习 , , 次次未未击击中中目目标标第第次次击击中中目目标标第第iAiAii 3 , 2 , 1, , 3 , 2 , 1 表示事件表示事件试用试用 iAAiii 3 , 2 , 1 , 0, 1 jjBj次