专题1.3 集合间的基本关系-重难点题型精讲（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

1、专题1.3 集合间的基本关系-重难点题型精讲1子集的概念2真子集的概念3集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作AB.也就是说，若AB且BA，则AB.4空集的概念 【题型1 子集、真子集的概念】【方法点拨】集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA能推出xB，这是判断AB的常用方法不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素在真子集的定义中，AB首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.【例1】（2020秋宁县校级月考）对

2、于集合A，B，“AB”不成立的含义是（）AB是A的子集BA中的元素都不是B的元素CA中至少有一个元素不属于BDB中至少有一个元素不属于A【分析】“AB”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论【解答】解：“AB”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题【变式1-1】（2020秋海淀区期末）已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A2，4，5B1，2，5C1，6D1，3【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与

3、集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可【解答】解：由图可知BA，而1，31，2，3故选：D【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键【变式1-2】（2020秋东湖区校级期中）下列各式：aaØ0001，33，4，其中正确的有（）ABCD【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项【解答】解：任何集合是它本身的子集，正确；空集是任何非空集合的真子集，正确；0表示元素，应为00，错误；13，4，1，3不是3，4的真子集，错误；正确的为故选：B【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任

4、何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义【变式1-3】多选题下列命题中，正确的有（）A空集是任何集合的真子集；B若AB，BC，则AC；C任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D如果不属于B的元素也不属于A，则AB【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错；真子集具有传递性，B对；空集没有真子集，C错；如果不属于B的元素也不属于A，则AB，D对，故选：BD【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题【题型2 集合的相等与空集】【方法点拨】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题利用空集的定义去解题.【例2】（2020秋雨花区校级月考）多选题下

5、列选项中的两个集合相等的有（）APx|x2n，nZ，Qx|x2（n+1），nZBPx|x2n1，nN*，Qx|x2n+1，nN+CPx|x2x0，Qx|x=1+(-1)n2，nZDPx|yx+1，Q（x，y）|yx+1【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可【解答】解：选项A：因为集合P，Q表示的都是所有偶数组成的集合，所以PQ；选项B：集合P中的元素是由1，3，5，所有正奇数组成的集合，集合Q是由3，5，7，所有大于1的正奇数组成的集合，即1Q，所以PQ；选项C：集合P0，1，集合Q中：当n为奇数时，x0，当n为偶数时，x1，所以Q0，1，则PQ；选项D：集合P

6、表示的是数集，集合Q表示的是点集，所以PQ；综上，选项AC表示的集合相等，故选：AC【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题【变式2-1】（2020秋五华区校级期中）已知集合A1，a，b，Ba2，a，ab，若AB，则a2021+b2020（）A1B0C1D2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a的方程组1=abb=a2或1=a2b=ab，通过解方程组求得a、b的值，则易求a2021+b2020的值【解答】解：由题意得组1=abb=a2或1=a2b=ab，由得a±1，当a1时，A1，1，b，不符合，舍去；当a1时，b0，A1，1，0，B1，1，0，符合

7、题意由得a1，舍去，所以a1，b0a2021+b20201故选：A【点评】本题考查了集合相等的应用，注意要验证集合中元素的互异性，属于基础题【变式2-2】（2020秋武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（）Ax|x+33B（x，y）|y2x2，x，yRCx|x20Dx|x2x+10，xR【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x0；对于选项B，（0，0）是集合中的元素；对于选项C，由于x0成立；对于选项D，方程无解故选：D【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题【变式2-3】（2020春保定期中）如果Ax|ax2ax+

8、10，则实数a的取值范围为（）A0a4B0a4C0a4D0a4【分析】由A得不等式ax2ax+10的解集是空集，然后利用不等式进行求解【解答】解：因为Ax|ax2ax+10，所以不等式ax2ax+10的解集是空集，当a0，不等式等价为10，无解，所以a0成立当a0时，要使ax2ax+10的解集是空集，则a0=a2-4a0，解得0a4综上实数a的取值范围0a4故选：D【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键【题型3 集合间关系的判断】【方法点拨】列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系元素特征法：根据集合中

9、元素满足的性质特征之间的关系判断图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系【例3】（2021春江油市校级期末）在下列选项中，能正确表示集合A2，0，2和Bx|x2+2x0关系的是（）AABBABCABDAB【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可【解答】解：解方程x2+2x0，得x0或x2，所以B2，0，又A12，0，2，所以AB故选：C【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题【变式3-1】（2021市中区校级模拟）设集合Py|yx2+1），Mx|yx2+1，则集合M与集合P的关系是（）AMPBPMCMPDPM【分析】由函数得：Py|y1，MR，即PM，得解【解

10、答】解：因为yx2+11，即Py|y1，Mx|yx2+1R，所以PM，故选：D【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.【变式3-2】（2020春九龙坡区校级期中）已知集合Ax|x22x30，集合Bx|x1|3，集合C=x|x-4x+50，则集合A，B，C的关系为（）ABABABCCBDAC【分析】解出不等式，从而得出集合A，B，C，再根据子集的定义判断A，B，C的关系【解答】解：x22x30，即（x3）（x+1）0，1x3，则A1，3，又|x1|3，即3x13，2x4，则B2，4，x-4x+50(x-4)(x+5)0x+50，5x4，则C（5，4，AC，BC，故选：D【点评】本题主要考查

11、集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题【变式3-3】（2020秋湖北期中）多选题集合Mx|x2k1，kZ，Py|y3n+1，nZ，Sz|z6m+1，mZ之间的关系表述正确的有（）ASPBSMCMSDPS【分析】根据题意判断集合M，P，S表示的意义，进行判断【解答】解：Mx|x2k1，kZ表示被2整除余1的数的集合；Py|y3n+1，nZ表示被3整除余1的数的集合；Sz|z6m+1，mZz|z3×（2m）+1，mZz|z2×（3m）+1，mZ，表示被6整除余1的集合；故SP，SM故SP，SM，正确，即AB正确故选：AB【点评】本

12、题考查了集合的交集、补集问题，属于基础题【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】确定所求集合，是子集还是真子集合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出注意两个特殊的集合，即空集和集合本身空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集假设集合A中含有n个元素，则有：A的子集的个数为2n个；A的真子集的个数为2n1个；A的非空真子集的个数为2n2个【例4】（2020秋南昌县校级月考）已知集合M2，4，8，N1，2，Px|x=ab，aM，bN，则集合P的子集个数为（）A4B6C16D63【分析】由集合M2，4，8，N1，2，Px|x=ab，aM，bN，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数【

13、解答】解：集合M2，4，8，N1，2，Px|x=ab，aM，bN，P1，2，4，8，集合P的子集个数为：2416故选：C【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【变式4-1】（2020秋南沙区校级月考）已知集合Ax|x23x+20，Bx|0x6，xN，则满足ACB的集合C的个数为（）A4B8C7D16【分析】求出集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，由此利用列举法能求出满足ACB的集合C的个数【解答】解：集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，满足ACB的集合C有：1，2，1，2，3

14、，1，2，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5，共8个故选：B【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用【变式4-2】（2020秋临猗县校级月考）已知集合Ax|x23x+20，Bx|0x6，xN，则满足ACB的集合C的个数为（）A4B7C8D16【分析】求出集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，由此利用列举法能求出满足ACB的集合C的个数【解答】解：集合Ax|x23x+201，2，Bx|0x6，xN1，2，3，4，5，满足ACB的集合C有：1，2，3，1，2

15、，4，1，2，5，1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5，1，2，3，4，5，共7个故选：B【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用【变式4-3】（2020秋海曙区校级期中）已知集合Ax|（a1）x2+3x20，若A的子集个数为2个，则实数a 【分析】推导出（a1）x2+3x20只有一个实数解，当a10时，a1，（a1）x2+3x20即3x20，当a10时，（a1）x2+3x20只有一个实数根，9+8（a1）0，由此能求出实数a的值【解答】解：集合Ax|（a1）x2+3x20，且A的子集个数为2个，（a1）x2+3x20只有

16、一个实数解，当a10时，a1，（a1）x2+3x20即3x20，解得x=23，当a10时，（a1）x2+3x20只有一个实数根，9+8（a1）0，解得a=-18实数a的值为1或-18故答案为：1或-18【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【题型5 利用集合间的关系求参数】【方法点拨】当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用【例5】（2020秋南开区校级月考）设集合Ax|1x+16，Bx|m1x2m+1，若AB，则m的取值范

17、围是 【分析】BA，则说明B是A的子集，然后分m2和m2两种情况求出m的取值范围【解答】解：Ax|1x+16x|2x5，当m12m+1，即m2时，B满足BA当m12m+1，即m2时，要使BA成立，需 m-1-22m+15，可得1m2，即1m2，综上，m2或1m2时有BA故答案为：m|m2或1m2【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用【变式5-1】（2020秋武汉期中）已知关于x不等式x22mx+m+20（mR）的解集为M（1）1，2M，求实数m的取值范围；（2）当M不为空集，且M1，4时，求实数m的取值范围【分析】（1）由题意得到关于m的不等

18、式组，求解不等式组确定实数m的取值范围即可；（2）由题意分类讨论即可求得实数m的取值范围【解答】解：（1）由题意1，2M 可知，令 f（x）x22mx+m+2，则f(1)0f(2)00，解得：m3（2）M不为空集，且M1，4，当0 时，则f(1)0f(4)001m4，解得：2m187，当0 时，m2也符合题目要求：综上：2m187【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力【变式5-2】（2020秋南阳期中）集合Ax|3x7，Bx|m+1x2m1（1）若BA，求实数m的取值范围；（2）当xR时，没有元素x使xA与xB同时成

19、立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据BA可讨论B是否为空集：B时，m+12m1；B时，m+12m-1m+1-32m-17，解出m的范围即可；（2）根据题意可知AB，讨论B是否为空集：B时，m2；B时，m2m+17或m22m-1-3，然后解出m的范围即可【解答】解：（1）BA，B时，m+12m1，解得m2；B时，m2m+1-32m-17，解得2m4，综上，实数m的取值范围为（，4；（2）由题意知，AB，B时，m2；B时，m2m+17或m22m-1-3，解得m6，实数m的取值范围为（，2）（6，+）【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础

20、题【变式5-3】（2020春荔湾区校级期中）已知不等式x2（a+1）x+a0的解集为A（1）若a2，求集合A；（2）若集合A是集合x|4x2的真子集，求实数a的取值范围【分析】（1）代入a的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）对a分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解【解答】解：（1）由题意，当a2时，不等式x2（a+1）x+a0，即x23x+20，解得1x2，所以集合Ax|1x2；（2）设集合Bx|4x2，由x2（a+1）x+a0，可得（x1）（xa）0，当a1时，不等式（x1）（xa）0的解集x|ax1，由已知AB可得a4，所以4a1；当a1时，不等式（x1）（

21、xa）0的解集x|x1，满足题意；当a1时，不等式（x1）（xa）0的解集x|1xa，由AB可得a2，所以1a2；综上可得4a2，即实数a的取值范围为4，2【点评】本题考查了求解一元二次不等式以及子集的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题【题型6 集合间关系中的新定义问题】【例6】（2020秋沭阳县期中）已知非空集合A，若对于任意xA，都有4xA，则称集合A具有“反射性”则在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为 【分析】利用列举法能求出在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合个数【解答】解：在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合有：1，4，2

22、，1，2，4，在集合1，2，4，8的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为3故答案为：3【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【变式6-1】（2020秋山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A1，2，Bx|ax22，a0，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为 【分析】讨论a0和a0，求得集合B，再由新定义，得到a的方程，即可解得a的值【解答】解：集合A1，2，Bx|ax22，a0，若a0，则B，即有BA；若a0，可得B