《算术平均数与几何平均数》

1、湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 制作人制作人:吴智祥吴智祥湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06一、复习旧知，以旧悟新：一、复习旧知，以旧悟新：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06一、复习旧知，以旧悟新：一、复习旧知，以旧悟新：1. 对称性对称性:abba 2. 传递性传递性: ,ab bcac 3. 加法性质及其推论加法性质及其推论:a ba c b c ,a bc da c c d 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:064.

2、乘法性质乘法性质:,0,0ab ca cb cab ca cb c0,0aba bc ddc 5. 除法性质除法性质:6. 乘方性质乘方性质:0nnabab7. 开方开方性质性质:0nnabab湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号

3、当且仅当当且仅当 a湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abba 展开整理得：展开整理得：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：.

4、 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若. 222abba 展开整理得：展开整理得：( ( 何何 时时 取取 等等 号号 ？ ) )湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06二、提出问题，探究定理：二、提出问题，探究定理：. 02 aRa若若. 0 时取等号时取等号当且仅当当且仅当 a. 0)(2 baRbRa，若若. 时取等号时取等号当且仅当当且仅当ba . 222abba 展开整理得：展开整理得：( ( 何何 时时 取取 等等 号号 ？ ) )湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06定定

5、 理：理：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06) ( . 2 , 22”时取“时取“当且仅当当且仅当那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:061. 定理适用范围：定理适用范围：a, bR.2. 取取 “=” 的条件的条件 a = b.) ( . 2 , 22”时取“时取“当且仅当当且仅当那么那么如果如果 baabbaRba定定 理：理：注意注意: :湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06思思 考：考：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:0

6、6 由定理猜测：若由定理猜测：若a, bR+, a + b会具备什么性质呢？会具备什么性质呢？思思 考：考：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06 由定理猜测：若由定理猜测：若a, bR+, a + b会具备什么性质呢？会具备什么性质呢？. 2, abbaRba 猜测：若猜测：若思思 考：考：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06定定 理：理：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06) ( . 2 , ”时取“时取“当且仅当当且仅当那么那么是正数是正数如果如果 baabbaba定定 理：理：湖南长郡卫星远程学校湖

7、南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:061. 这个定理适用的范围：这个定理适用的范围：a , bR+ .) ( . 2 , ”时取“时取“当且仅当当且仅当那么那么是正数是正数如果如果 baabbaba定定 理：理：注意注意: :湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06. ., ,2 . 2们们的的几几何何平平均均数数小小于于它它个个正正数数的的算算术术平平均均数数不不两两这这个个定定理理可可以以表表述述为为：的的几几何何平平均均数数为为的的算算术术平平均均数数，为为称称baabbaba 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06的的几几何何

8、解解释释： 2abba 湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06. 2,2abCDbaabCDabCBCACDABDDCCABba 而而半半径径从从而而则则作作弦弦，过过取取一一点点上上为为直直径径作作圆圆，在在直直径径以以的的几几何何解解释释： 2abba DBDACba湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:06三、理解定理，初步应用：三、理解定理，初步应用：2221. , , .a b cabcabbcca例已 知为 两 两不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：222abab证 明 ：222bcbc222acac222abcabbcac将以上三个同向不等式相加得：湖南长郡卫星远程学校湖南长郡卫星远程学校2007年上学期制作:0622222abab例2：求证：222abab证明：22222()2ababab2222()()abab两边同时除以两边同时除以4得：得：22222abab湖