现代分析3-3赋范空间(1)

1、范数与赋范线性空间范数与赋范线性空间3范数-向量空间中向量长度概念的拓展“长度”概念的特征是：零向量零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。 一个向量 v 乘以一个标量 a 时，长度应变为原向量 v 的 |a|（ a 的绝对值）倍。 三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 v 和 u ，它们的长度和（“三角形”的两边）大于 v+u （第三边）的长度。定义1:设X是实(或复)的线性空间,如果对每个向量Xx有一个确定的实数,记为 x与之对应,并且满足: (1). 00, 0 xxx等价于且(2). xx其中 为任意实(复)数;(3). ,Xyxyxyx则称 x为向量x的范数, 称 x按范数

2、 x成为赋范线性空间.设 nx 是x中的点列,如果存在 Xx使 ),(0nxxn则称 nx依范数收敛于x记为 或),(nxxnxxnnlim如果令 yxyxd),(),(Xyx容易验证 ),(yxd是x上的距离,且nx依范数收敛于 x等价于 nx按距离 ),(yxd收敛于 x称为由范数 x导出的距离.完备的赋范线性空间称为Banach(巴拿赫)空间.例1:欧氏空间 nR,对每个 xnR.),(321定义 221.nx （3） 如果令 ),(yxdyx 2211.nn= ynR.),(321,则 ),(yxd即为 nR中欧几里得距离,且满足(1)中条件(a)及(b),由此可知 x是 nR中范数,

3、又因 nR完备,故 nR按(3)中范数成Banach空间.例2:空间 ,baC对每个 x,baC, 定义)(maxtxxbta（4） 容易证明 ,baC按(4)中范数成为Banach空间.例3:空间 pl对每个 plx.),(321,定义 jxjsup（5） 不难验证 l 按(5)中范数成为Banach空间.例4:空间 ,baLp设 )(tf是 ,ba上实值可测函数, 0p,如果 pxf)(是 ,ba上可积函数, 则称 )(tf是 ,ba上 p方可积函数, ,ba上 p方可积函数全体记为 ,baLp当 1p时, ,1baL即为 ,ba上 L可积函数全体. 在空间 ,baLp中,我们把两个 ea

4、.相等的函数视为 ,baLp中同一个元素 而不加以区别,设 ,baLgfp,因为 pptgtftgtf)(, )(max2()()()()(2ppptgtf所以， ptgtf)()(是 L上可积函数,即 ,baLgfp,至于 ,baLp关于数乘运算封闭是显见的.于是 ,baLp按函数通常的加法及 数乘运算 成为线性空间.对每个 , baLfp,定义ppbapdttff1)( （6）我们要证明当 1p时, ,baLp按 pf成为Banach空间.为此,首先 证明几个重要的不等式. 引理1:(Holder不等式)设 1p111qp,baLfp,baLgp那么 )()(tgtf在 ,ba上 L可积,

5、并且成立 qpbagfdttgtf)()(（7） 证明:首先证明当 1p111qp时,对任何正数A及B,有 qBpABAqp11（8） 事实上,做辅助函数 )0()(tttt10,则 1)(1tt,所以在(0,1)上, 0)( t,在 ), 1 ( 上 0)( t因而 ) 1 (是函数 )(t 在 ), 0( 上的最大值,即1) 1 ()(t), 0( t由此可得)1 (tt), 0( t令 BAt ,代入上面不等式,那么)1 (BABA两边乘B,得到BABA)1 (1令 p1,则 q11于是上式成为 qBpABAqp11如果 0pf(或 0qg),则 eatf.0)(于 ,ba(或 eatg

6、.0)(于 ,ba), 这时,不等式(7)自然成立,所以不妨设 0pf0pg做函数 qpgtgtftft)()(,)()(令 qptBtA)(,)(代入不等式(8),得到qtptttqp)()()()(（9） 由(9)立即可知 )()(tt在 a,b上L 可积,由此可知f(t)g(t)也L 可积,对(9)的 两边积分,得到 baqbapbadtqtdtptdttt1)()()()(因此 qpbagfdttgtf)()(证毕.引理2:(Minkowski不等式)设 , 1baLgfpp那么 ,baLgfp,并且成立不等式 pppgfgf（10）证明:当 1p时,因 )()()()(tgtftgt

7、f,由积分性质可知不 等式(10) 自然成立.如果 1p,因为 ,baLgfp,所以 ,)()(baLtgtfqqp由Holder不等式有 qbappqpbadttgtffdttgtftf1)()()()()(类似对g也有qbappqpbadttgtfgdttgtftg1)()()()()(因而qbapppqpbaqpbapbabapdttgtfgfdttgtftgdttgtftfdttgtftgtfdttgtf11)()()()()()()()()()()()()()( （11）若 bapdttgtf0)()(,则 0pgf(10)式显然成立,若 bapdttgtf0)()(,则在(11)式

8、两边除以baqpdttgtf1)()(得到 ppbaqpgfdttgtf11)()(由 111qp，得到ppbapppgfdttgtfgf1)()(证毕. 定理1:当 1p时, ,baLp按(6)中范数 pf成为赋范线性空间.证明: pf满足范数条件(1)及(2)是显然的.又由 Minkowski不等式,当 1p时,对任何 gf ,baLp有 pppgfgf,所以 ,baLp按 pfpf成赋范线性空间. 证毕. 定理2: ,baLp1p是Banach空间.证明: 设 nf是 ,baLp中柯西点列,由柯西点列的定义,存 在正整数 km,使当 kmmn,时,成立 ,.2 , 1,21kffkpmn

9、取 kkmn ,且使 .21knnn,则 ,.2 , 1,211kffkpmnkk因此nk 1kkpmnkkff2111（12） 但是因为常数 ,1baLq,由Holder不等式,成立 qpnnbannabffdtffkkkk1)(_11所以级数nk 1dtffbannkk1 (13)收敛,由级数形式的Levi定理,级数 )()(1tftfkknnnk 1在a,b上几乎处处收敛. 因此,函数列 ,.)3 , 2 , 1)()()()(1111ktftftftfkjnnnnjjk在a,b上几乎处 处收 敛于一可测函数f(t).下面证明 ,baLfp因为 nf是 ,baLp中柯西点列, 对于任何正

10、数0,存在N,使当 Nmn,时, pmnff,取足够大的 0k,使 Nnk0,于是当 时,就有 Nnkk.0ppnnpbannkkffdttftf_)()(又因当 k时函数列 pnntftfk)()(.)()(eatftfpn于a,b,由Fatou定理 得到 pntftf)()(是L可积函数,并且有, lim)()(kpbandttftfppbanndttftfk)()(这说明 nff,baLp,且当 Nn 时, . pnff（14）又因 nf,baLp,而 nnffff,由于 ,baLp是线性空间,所以 f,baLp,由(14), ffn,这就证明了 ,baLp是Banach空间.证毕.例5

11、:空间 pl空间中也有类似的Holder不等式 ,baLp空间一样,在 和Minkowski不等式:nkkk1qnkqkpnkpk1111)()(,( Holder不等式)其中 1p111qppl.),(321.,321,( ) qlpppyxyx,(Minkowski不等式) 其中 1p.),(21xply.),(21pnkpkppnkpkpyx1111)(,)(由此 可知 pl按范数 px成赋范线性空间,并且不难证明 pl完备. 定理3:设X是n维赋范线性空间, neee,.,21是X的一组 基,则存在常数 M和 M使得对一切 nkkkex1成立 .XMxMnkk2121)(证明:对任意

12、Xx,有 knkknkkkeeX1121122112)()(nkknkke记 2112)(nkkem,则有 x2112)(nkkm任取 Xeyknkk1,由上述不等式知 2121)(nkkkmyxyx这说明,范数 x是欧氏空间 nR上关于 n,.,21的连续函数.xfn),.,(21当 ),.,(21n位于 nR的单位球面S上,即. 0,1121xenkkknkk时实际上,若 . 01nkkke,必有 nkkke1. 0,但 121nkk,从而 n,.,21不全为0, 再由 ke是线性无关的,得到矛盾.这就是说 xfn),.,(21在S上处处不为0, 因S是 nR中有界闭集,f在S 上取得非零的最小值 0, mm,于是,对任意的 Xx,于是 xxnkk2112)(2112)(nkkSn),.,(21),且 mx这样一来, 我们有 m2112)(nkkxnkk2112)(mx 2112)(nkk令 2112)(nkkmM1mM1,即可得结论.证毕.推论1:设在有限维线性空间上定义了两个范数 x和 1x那么必存在常数M和 M,使得 xMxxM1证明:我们记 21120)(nkkx,其中 nkkkex1由定理3可知,存在常数k和 K