抛物线的几何性质

1、葡萄美酒夜光杯葡萄美酒夜光杯,欲饮琵琶马上催欲饮琵琶马上催.如果测量得酒杯杯口宽4cm，杯深8cm，试求出该抛物线方程？4cm8cm引入复习4cm8cm解：如图建立平面直角坐标系,则可知A(-2,8),B(2,8)所以设抛物线的方程为：A、B点在抛物线上，代入抛物线方程，可得P= ,则所求的抛物线方程为：)0(22ppyx41.212yx 前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?复习：图图 形形方方 程程焦焦 点点准准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF

2、)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质yox)0,2(pFP(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质(1)、：、：由方程由方程y y2 2 = 2 = 2px px （p0） 而而 ，p020y 由方程可知由方程可知x 0,所以抛物线在所以抛物线在y轴的右轴的右侧，当侧，当x的值增大时，的值增大时，y也增大，这说明抛物也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。线向右上方和右下方无限延伸。范围范围(2)、yox)0,2(pFP(x,

3、y)由方程由方程y y2 2 = 2 = 2px px （p0） 以 代y,上述方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴抛物线的轴。y对称性对称性顶顶点点（3）定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）当当y=0时时,x=0, 因此抛物线的顶点顶点就是坐标原点（0，0）。注注:这与椭圆有四个顶点这与椭圆有四个顶点,双曲线有双曲线有两个顶点不同。两个顶点不同。离心率离心率(4)、yox)0,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离距离和它到准线的距离距离

4、之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。二、归纳：抛物线二、归纳：抛物线的的几何性质几何性质方程焦点准线图形对称轴)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0 ,(2pF)0 ,(2pF ), 0(2pF), 0(2pF2px 2px2py 2pyx轴x轴y轴y轴yx)0,2(pFP(x,y)oyox)2,0(pFP(x,y)xyoP(x,y)2, 0(pF(, 0 )2pFyxoP(x,y)新知学习新知学习xyO标准方程中标准方程中2p的几何意义的几何意义FABy2=2px利用抛物线的利用抛物线的

5、顶点顶点、通径的、通径的两个两个端点端点可较准确画出反映可较准确画出反映抛物线基本特征的草图抛物线基本特征的草图2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大思考思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？三、注意：三、注意：(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心；(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线；(4)抛物线的离心率是确定的, 为1。(5)抛物线标准方程中的抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响对抛物线开口的影响.P越大越大,开口越开阔开口越开阔 练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 方程焦点准线开口方向x

6、y62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下例例1 1：已知抛物线关于：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点在坐标原点，并且经过点MM（ ），），求它的标准方程，并用描点法画出图形求它的标准方程，并用描点法画出图形。解：解：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2( 2 2)22p2p 因此所求抛物线标准方程为：24yx因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（ ），2, 2 22, 2 22, 2 224yx

7、作图：作图：(1)列表列表（在第一象限内列表）（在第一象限内列表）x01234y(2)描点描点：022.83.54 (3)连线连线：11xyO例例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为口圆的直径为60cm,灯深灯深40cm，求抛物线，求抛物线的标准方程及焦点的位置。的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，反光镜的顶点与原点重合，x轴轴垂直于灯口直径。垂直

8、于灯口直径。AB 设抛物线的标准方程是：设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点由已知条件可得点A的坐标是的坐标是（40，30），代入方程可得），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的标准方程为所求的标准方程为焦点坐标为焦点坐标为2452yx45(,0)8练习：练习： 1、已知抛物线的顶点在原点，对称、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴为x轴，焦点在直线轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那上，那么抛物线通径长是么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线物线 上，其中一个顶点为坐标上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的

9、面积为原点，则这个三角形的面积为 。24yx1648 3 练习：练习：如图，吊车梁的鱼腹部分如图，吊车梁的鱼腹部分AOBAOB是一段抛物线，宽为是一段抛物线，宽为7 7m m，高为，高为0.70.7m,m,求这求这条抛物线的方程。条抛物线的方程。yxO7 7A AB B0.70.7 解：由题设可设抛解：由题设可设抛物线的方程为：物线的方程为：x x2 2 = 2 = 2py py （p0）易知易知A A（-3.5,0.7)-3.5,0.7)，将其代入抛物线，将其代入抛物线方程，方程， 得：（得：（-3.5)-3.5)2 2=2p 0.7 =2p 0.7 2P=17.52P=17.5抛物线的方程为：抛物线的方程为： x x2 2 = 17.5