2020届江苏高考数学(文)总复习课堂检测：平面向量的数量积及其应用

1、课时跟踪检测(二十七)平面向量的数量积及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1._(2019 海门模拟) )向量 a = (3,4)在向量 b= (1,- 1)方向上的投影为 _ .解析：向量 a= (3,4), b= (1, - 1),向量 a 在向量 b 方向上的投影为a b 3x1+4X(- 1 迈|a|cos e=函一 宁答案：-22n t2._(2018 江苏百校联盟联考) )已知平面向量 a, b 的夹角为，且 a (a-b)= 8, |a|= 2, 则| b|=_ .解析：因为 a (a - b) = 8,所以 a a a b= 8,即 |aI2 |a|b|h) )g a, b

2、= 8,所以 4 + 2|b|X2= 8，解得 |b|= 4.答案：43. (2018 苏州期末) )已知 a= (m,2), b= (1, n), m0, n 0,且 |a|= 4, |b|= 2,则向量a 与 b 的夹角是_ .解析：设向量 a 与 b 的夹角是e, e0 ,n/ a= (m,2), b = (1, n), m0, n0,且 |a|= 4, |b| = 2, m2+ 4= 16,1 + n2= 4，解得 m= 2 3, n=J3. a b=m+2n=4 3=4X2Xcose, cose=23，则向量 a 与 b 的夹角是才.答案:4. (2018 滨海期末) )已知向量 a

3、 = (-1,3), b= (3, t),若 a 丄 b，则 |2a+ b| =解析： 向量 a= (- 1,3), b = (3, t), a 丄 b, a b=- 3+ 3t= 0,解得 t= 1, b= (3,1), 2a + b = (1,7),5. (2018 淮安高三期中) )在平行四边形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，/ ABC = 60则故|2a+ b|= . 1 + 49= 5 2.答案：5 25. (2018 淮安高三期中) )在平行四边形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，/ ABC = 60则- -AB -AC =_解析：由题意得 AC = AB

4、 + D,所以 AB C = B( AB+ A D )= A B2+ AB:AD= 4+2X1Xcos 120=3.答案：3D 1 -D -D1-D6. (2018 南通一调) )已知边长为 6 的正三角形 ABC , BD = 2 BC , AE =：AC , AD 与23BE 交于点 P，则 PEB PE的值为_.解析：如图，以 D 为原点，以 BC 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立平面 直角坐标系，则 B(-3,0), C(3,0), D(0,0), A(0, 3 3), E(1, 2 3), P0,穿，所以気PD=1敲|2=穿2=27.答案：274保咼考，全练题型做到咼考达标1.(2

5、018 淮安调研) )已知向量 a= (1 ,x),b= ( 1,x),若 2a-b 与 b 垂直，则|a| =_.解析：由已知得 2a- b = (3, x),而(2a-b) b= 0? - 3+ x2= 0? x2= 3,所以 |a|= ,1+ x2=4 = 2.答案：22. (2019 如皋模拟) )已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60a = (3,4), |b|= 1，则|a- 2b| =解析：/ a= (3,4),A|a| = 32+ 42= 5,15又|b|= 1，二 a b = |a| |b|cos 60= 5X1X寸=5, |a- 2b|2= a2+ 4b2- 4a b=

6、25 + 4- 10= 19,则 |a - 2b|= . 19.答案：,193. (2018 苏北四市期末) )已知非零向量 a, b 满足|a|= |b|= |a+ b|,贝 U a 与 2a- b 夹角的 余弦值为.1 解析：因为非零向量 a, b 满足 |a| = |b|= |a+ b|,所以 a2= b2= a2+ 2a b+ b2, a b = -a2=-b2,所以 a (2a - b)= 2a2- a b=：a2, |2a - b|= , 2a-b2= . 5a2- 4 a b= . 7|a|, cos5a2a(2a b ) =2=丄=站a, 2a b5. (2018 淮安高三期中

7、) )在平行四边形 ABCD 中，AB = 2, AD = 1，/ ABC = 60则|a| |2a-b|=|a|:7|a|=2；7=14答案：乎144. （2018 泰州中学高三学情调研）矩形 ABCD 中，P 为矩形 ABCD 所在平面内一点， 且- - 满足 PA= 3, PC = 4,矩形对角线 AC= 6,贝 U PB -PD =-2解析：由题意可得 PB -PD = ( PA + AB ) (- PA + AD )= PA + PA AD + AB PA +- - - - (AD+AB )+0=9+PA-AC=9+3X6Xcos(n- /PAC)=92 2 2PA+ACPC9+36

8、161118X= 9 18X= 一 .XPAXAC2X3X611答案：节n5. （2018 苏锡常镇调研）已知菱形 ABCD 边长为 2,/ B= 3，点 P 满足 AP = AAB ,入- - R,若 BD CP = 3，贝 U匸解析：法一：由题意可得BA -C=2X 2cos n=2,-B -B - B -B - B -BBD CP = ( BA + BC ) ( BP BC)-B - B - B - B -B=(BA + BC) ( AP AB ) BC -B - B-B -B=(BA + BC)(入1) AB BC -oB B- B B Bo=(1?) BA2BA-BC+(1?) BA

9、 BCBC2=(1 ?) 4 2+ 2(1 片一 4=6X=3,则 B(2,0), C(1,3), D( 1,3).令 P(x,0),由-1D -CIP = ( 3,3) (x 1,3)=3x = 3 得 x = 1.- - - AB -AD = 9 + PA法二：建立如图所示的平面直角坐标系,- -因为 AP =入 AB，所以入=*6. （2018 苏北四市调研 ）如图，在平面四边形 ABCD 中，O 为 BD-B -B- B -B的中点，且 OA= 3, OC= 5 若 AB AD = 7,贝 U BC -DC =-B -B -B - B -B解析：BC - DC = (OC OB ) (

10、 OC -B-B -B -B - B- B2OD )= (OC + OD ) ( OC OD )= OC2 OD2,同理，BD =AO2-OtD2=-7,所以-BC c= OC2- C)D2=_OC2-AO2-7=9.答案：97. (2019 崇川一模) )若非零向量 a 与 b 满足|a|= |a + b| = 2, |b| = 1,则向量 a 与 b 夹角 的余弦值为_.解析：非零向量 a 与 b 满足|a| = |a + b|= 2, |b| = 1,|a |2=|a+b |2=|a |2+|b|2+2a b,即a b=-|b|2=- 1xl2=- 1,设 a 与 b 的夹角为0,1向量

11、 a 与 b 夹角的余弦值为一-.4答案：-4n8. (2018 盐城期中) )如图，在四边形 ABCD 中，A = 3, AB = 2, AD = 3,- - - -分别延长 CB, CD 至点 E , F，使得 CE =入 CB , CF =入 CD，其中 心 0,若& -AD = 15,贝 V 入的值为_解析：/El? =6? (CE = AC!?- XCE3= XEBID=- - ? - ? -? -? - ? 2 -? -?- EF -AD =XAD AB) AD =XAD AB -AD )=住一 3) = 15,4=答案:9. (2019 通州调研) )设两个向量 a, b

12、 不共线.(1)若N? =a+b, BC =2a+8b,-CD =3(a-b)，求证：A,B,D 三点共线；若|a|= 2, |b|= 3, a, b 的夹角为 60求使向量 ka+ b 与 a+ kb 垂直的实数 k 的值. 解：( (1)证明：/ 入？=入？+1BC+C?=(a + b) + (2 a + 8b)+ 3(a b)=6(a+ b)= 6AB ,二-?与k?共线，且有公共点 A, A, B, D 三点共线.0=空=2|a|b | 2x114i)(2) / ka+ b 与 a+ kb 垂直，(ka+ b) (a+ kb)= 0, ka2+ (k2+ 1)|a|b | cos 60

13、+ kb2= 0,即 3k2+ 13k+ 3= 0,解得 k =半学10.在四边形 ABCD 中，已知 AB = 9, BC= 6,CP =2PF.(1)若四边形 ABCD 是矩形，求ApP 云I?的值；- - - - 若四边形 ABCD 是平行四边形，且 AP BP = 6，求 AB 与 AD 夹角的余弦值. 解：( (1)因为四边形 ABCD 是矩形，- - - -所以 AB 丄 AD，即 AB AD = 0,又 AB=9,BC=6,-C? =2-pD ,所以乔=；AD +B? =-AID + 舟-B ,3? 2 ?BP =BC +CP =AD 一 AB , 3AB-?21- - 2-?2

14、=AD AB -AD -AB39=622x92=18.9(2)设-B 与-?的夹角为0,由(1)得，-A?= -AD+1-? AD3-AB=AD21-AB-AD2-AB2=621x9X6Xcos0 -x92=6,39所以 cos0=23- B -B2故 AB 与 AD 夹角的余弦值为；.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018 徐州高三年级期中考试) )如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，/ AOB = 90 P所以N? -BPP = -AD +-AD 2-AB- B - B-B -B为AB上的一点，若 OP OA = 2，则 OP -AB =_.解析：如图，以 0 为原点，0A 所

15、在直线为 x 轴，0B 所在直线为 y . 轴建立平面直角坐标系，则A(2,0), B(0,2),设 P(x, y),由6? -OA= 2,可得 2x = 2, x= 1, P 为 AB 上的一点，所以|6?| = 2，所以 P(1, 3),6? = (1,3)，又6? = ( 2,2),所以6A?AB = - 2+ 2 3.答案：2+ 2 32. (2018 南通、扬州、泰州、淮安调研) )如图，已知 ABC 的边 BC的垂直平分线交 AC 于点 P,交 BC 于点 Q 若|B|= 3,|?|= 5,则(AP解析：法一： 因为-? =AQ+d?，所以6?= 2AQ+7?,- ?- A - A

16、- A - A- A - A-A -A - A - A而 AB AC = CB，由于 QP 丄 CB，所以 QP CB = 0，所以( (AP + AQ) (AB AC )=(2-AQ+0?) CEB = 2AQ G?，又因为 Q 是 BC 的中点，所以 2AQ=AB+AC，故 2AQ -CEB-A A A A A2A2=(AB + AC ) (AB AC) = ABAC2= 9 25= 16.法二：由题意得厶 ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此取AB 丄 BC,从而P 为 AC 的中点.-A- A- A3又 |AB|= 3, | AC|= 5,所以 |BC|= 4, cos/ BAC =5故7A + -Q= 2 AC+2( -AA + -A)=2+ -A,从而(AP + AQ) (AB AC )=2-AB+ AC (-AB-AC)=AB2+ 舟-A-AC2113=-X9+X3X5X 25=16.225-A -A) AB AC)的值为c+答案：163. (2019 姜堰中学调研) )在锐角 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,向量 m口3=(cos(A B), sin(A B), n = (cosB, sin B),且 mn=.5(1)求 sin A 的值;