历年平面向量高考试题汇集

1、安徽省 20XX 届高考平面向量热点题型预测题组一高考数学选择题分类汇编1. 2011 课标文数广东卷】1 1 A.4B .2已知向量a= (1,2), b = (1,0), c= (3,4) 若 入为实数，(a+ 入 b)/c,_则 入=()C. 11【解析】因为 a+入=(1,2) +入(1,0=(1 +人 2)，又因为(a+入 bj/c, (1+入X4- 2X3 = 0,解得 入=言2.【2011 课标理数广东卷】若向量a, b, c 满足 a/ b 且 a 丄 c,贝Uc (a + 2b)=(A . 4B . 3C. 2【解析】因为 a / b 且 a 丄 c,所以 bc,所以3.【2

2、011 大纲理数四川卷】如图1 -1,正六边形B.BEC.ADD.0 c(a+2b)=c a+2bc =0.ABCDEF 中，BA + CD + EF=(D.CF BA + CD + EF = BA + AF - BC = BF - BC = CF,所以选 D.14. 2011 大纲文数全国卷】设向量 a, b 满足|a= |b= 1, ab =-扌，则|a+ 2b|=(【解析】A. 2B. 3C. . 5D. . 7【解析】|a+ 2b|2= (a+ 2b)2=|a|2+ 4a b + 4|b|2= 3,则|a+ 2b|= 3，故选 B.a= (1,2), b = (1,- 1) ,_则 2

3、a+ b 与 a-b 的夹角等于()nC.45. 2011 课标文数湖北卷】若向量nnA.-4B.63nD.a b =(0, 3)，所以|2a+ b|= 3 2,|a- b|= 3.设 2a+ b 与 一 _ _ _ _na-b 的夹角为9,_则 cos =占一=专，又 旺0,n，所以=-.|2a+b|a-b|3p2X32LJ46.2011 课标理数辽宁卷】若 a, b, c 均为单位向量，且 ab=0, (a- c) (b- c) = 60,则|c|的最大值等于()A . 2B. ,3解析】设向量 a, b, c 的起点为 O,终点分别为=60,则点 C 在厶 AOB 的外接圆上，当 OC

4、经过圆心时，|c|最大，在 AOB 中，求得 AB 理得AOB外接圆的直径是sin1i= 2, |q 的最大值是 2，故选A.9._2011 课标理数北京卷】已知向量 a=(羽，1), b= (0, - 1), c= (k,).若 a-2b 与 c 共线，则 k=_.解析】 因为 a- 2b= C. 3, 3),由 a- 2b 与 c 共线，有 ;甘可得 k=1.10._2011 课标文数湖南卷】设向量 a, b 满足|a|= 2寸5 b = (2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 _.解析】 因为 a 与 b 的方向相反，根据共线向量定义有：a=Xb(入0)所以 a= (2

5、 入入)由 |a|= 2.5，得 “/2 入2十 *= 2,5?入=2 或 A 2(舍去),故 a= (- 4,- 2).11.2011 课标理数天津卷】已知直角梯形 ABCD 中，AD / BC,ZADC =90, AD = 2, BC = 1, P 是腰 DC【解析】 因为 2a+ b =(2, 4)+(1,- 1)=(3, 3),(2a + b) (a- b)(3, 3)(0, 3)忑C. 2D. 1A , B, C,由已知条件得，/ AOB = 120, / ACB,3,由正弦定上的动点，贝 U |PA+ 3PB|的最小值为 _ .【解析】 建立如图 1 - 6 所示的坐标系，设 DC

6、 =A(2,0), B(1 , h).安徽省 20XX 届高考平面向量热点题型预测3设 P(0, y),(owy h)则 PA= (2, y), PB= (1, h y),1 1 1=2，T|a=1，丨卜1，二 sin=亦广 2.13.【2011 新课标理数安徽卷】已知向量a, b 满足(a+2b) (a b) = 6,且|a|= 1, |b|= 2，则 a 与 b 的夹角为_.【解析】设 a 与 b 的夹角为依题意有(a+2b) (a- b)=a2+a b2b2= 7+2cos9=6,所以 cos 9= *.因为丄匚no 0 2512.【2011 课标理数浙江卷】1积为 2,则a与B的夹角若

7、平面向量a B满足|a=1, |罔 1,且以向量9的取值范围是_ .a, B为邻边的平行四边形的面【解析】由题意得：W|B|sin又T(0,n).氏f,逬.15.【2011 课标理数湖南卷】 在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设 BC =2BD , CA =3CE,则 AD BE =_ .【解析】 由题知，D 为 BC 中点，E 为 CE 三等分点，以 BC 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 y 轴,5回6，6 ， 字)D(0,0), B(2,0),Eg 習)故 AD晅晅X= 1 264.16. 2011 课标理数江西卷】已知|a= |b|= 2, (a+ 2b) (a b)

8、= 2,_则 a 与 b 的夹角为 【解析】设 a 与 b 的夹角为 9,由(a+ 2b)(a b) = 2 得|af+ a 2|b|2= 4+ 2X2Xcos 9-2X4 = 2,解得 cos =舟，.：9=扌.23建立平面直角所以 AD BE(A)a= b(B)aZ22(C)a / /b(D)a - b与b垂直BE0,3(A)(B)-(0 2( D) 621. 10 重庆理数】已知向量 a, b 满足a*b=0,=1, b =2,贝U 2a - b二解析：2ab =J(2a b) =；4a 4a b+b =%；8=2/222.【10 湖南文数】若非零向量 a, b 满足|a|=|b|,(2

9、a b) b =0，则 a 与 b 的夹角为 CA. 300B. 60C. 120D. 150uruir23. 【10 全国卷理数】VABC中，点D在AB上,CD平方.ACB若CB =a，CA =b，a=1，_ cuuu1221,3443,b =2，则CD =(A) a+b( B) a + b( C- a + b( D)- a+ b33335555【解析】因为CD平分N ACB， 由角平分线定理得AD一CA=-，所以 D 为 AB 的三等分点，且DBCB1AD =2AB=2(CB _CA)，所以CD = CA+AD二_2CBA二二 hNQ4N+ CA = a+ b，选B.33333324.【1

10、0 辽宁文数】平面上O,代B三点不共线，设OA二a,OB二b,则OAB的面积等于1111121(a b)2才问sin “bp剛bh/is心二剛b|卜苛讦-(a b)225.【10 全国卷】 ABC 中，点 D 在边 AB 上, CD 平分/ ACB，若CB= a ,CA= b ,a= 1，BD BC 1_ _ _ _ AD AC 2，丁AB二CB-CA二a-b，2i 2 21 iCD二CA AD二b2a_b二2a _b3333A. 0B.C. 4D. 8(A)、.,a2b2(a b)2(B)：a b (a b)2(02ab22ab+ (aSOAB=2,则CD= (A)2 13443(B )a

11、+ b(C )a + b(D)- a +一 b335555222AD AB a b33326.【10 山东理数】定义平面向量之间的一种运算二如下，对任意的a=（m, n）b= (p,q)，令CD 为角平分线,a -b=mq-np，下面说法)B.a -b=b二a12-(a b)2b)2（D）112 a + b33c.对任意的.二R，有( a)二b= ( a匚b)D.(a二b)2+(ab)2=|af|bf-JC = (JC)2+AC-CB= 16,故选 d【命題慧图】本题若查向量的加法的运算，向量的数量积JK中档题*J S J?J332.【10 湖北理数】已知ABC和点 M 满足MA - MB +

12、MC = 0.若存在实数 m 使得AB AC二m AM成立，则 m= A. 2B. 3C .4D. 5攵【答爲】8【解析】由题目条件可知*1为AABC的重心，连按AM并薙廉交BC于D，则丽2延，因対AD为AS+AC= TAD =-， 開2忑丽，联立可猜貯第故B正瀰.233.【09 广东卷文】已知平面向量a=(x,1), b=(X, X),贝U向量a+bA 平行于X轴B.平行于第一、三象限的角平分线c.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线【解析】a，b= (0,1 x2)，由1 x2= 0及向量的性质可知，c 正确.34. 09 广东卷理】一质点受到平面上的三个力 耳，卩2,卩3(单位：牛

13、顿)的作用而处于平衡状态.已知Fi,F2成60角，且F1,F2的大小分别为 2 和 4，则F3的大小为 A. 6 B. 2 C.2.5D.2.7【解析】F32=FjF；-2F1F2cos(1800-60)=28，所以F3=2,7，选D.35. 09 浙江卷理】设向量a，b满足：I a 1=3，| b|=4，a巾二0以a，b，a-b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为()w.w.w.k.s.5.u.c.o.A .3B.4C.5D.6【解析】对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右 移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但

14、5个以上的交点不能实现.36. 09 浙江卷文】已知向量a = (1,2)，b = (2, -3).若向量c满足(c a)/b，c_ (a b)，则c =()A .G3 B.W)C.瞋D.已匕【解析】不妨设C =(m, n)，则a c = 1 m,2 n ,a b = (3, -1)，对于c a /b，则有77一3(1 m)二2(2 n)；又c - a b，则有3m - n = 0，则有m , n =9337. 09 北京卷文】已知向量a = (1,0),b = (0,1), c = ka b(k R),d=a-b，如果c/d，那A.k =1且c与d同向B.k = 1且c与d反向c.k - -

15、1且c与d同向D.k - -1且c与d反向丁 a =1,0i, b =0,1，若k=1，则 c=a：b=1,1, d=a_b=1,-1,显然，a 与 b 不平行，排除 A、B.若k=-1，则 c=_a 亠 b-1,1,d=_a、b-1,1, 即 c/d 且 c 与 d 反向，排除 C,故选 D.38.【09 山东卷理】设 P是厶 ABC 所在平面内的一点，BC - BA=2BP，则（）A.PA PB = 0B.PC PA = 0c.PB PC = 0D.PA PB PC= 0【解析】：因为BC - BA =2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。39. 【09 全国卷U文】已知向量 a

16、 = (2,1)， a b = 10， | a + b | =5. 2，则丨 b | =(A)(B)丽(C) 5(D) 25解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由a b = 5. 2知(a+b)2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 选 C。40. 【09 全国卷i理】设a、b、c是单位向量，且ab= 0,_则a-c* b-c的最小值为(D)(A)-2(B)、,2-2(C)-1(D)1-2-2解：a,b,c是单位向量a-c b-c=ab(ab)vc= 1-|a b|lc|=1-、2cos a b,c - 1 -、2故选D.41. 【09 湖北卷理】已知P =a | a = (1,0)

17、+m(0,1),R, Q =b |b = (1,1) + n(1,1), n R是两个向量集合，则P I Q =A . 1，1 B. -1，1C. 1，0 D. 0，1【解析】因为a=(1,m) b=(1 -n,1 n)代入选项可得P Q二1,1 1故选A.42. 【09 全国卷u理】已知向量a =2,1 ,ab =10,|a b| = 5i 2，则| b | =A.5B.,10C.5D.25解：50 =|a b|a|22ab | b|2= 5 20 |b|2|b|= 5。故选C43. 【09 辽宁卷文】平面向量 a 与 b 的夹角为60，a = (2,0)，b =1则a+2b| =(A)、3

18、(B)2、3(C) 4(D)12【解析】由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a2+ 4a b+ 4b2= 4+ 4X2X1Xcos60+ 4 = 1244.【09 宁夏海南卷理】已知 o,N ,p 在占ABC所在平面内，且OA = OB = OC , NA+NB+ NC =0,且PAPB二PBPC二PC *PA，则点 O,N,p 依次是ABC的（A）重心外心垂心 （B）重心外心内心（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心PAPB=PBPC,PA-PCPB=0,CAPB=0, CA_PB,同理，AP _ BC,. P为UABC勺垂心，选C.45.【09 湖北卷文】若向量 a= (1

19、 , 1), b= (-1,1), c= (4, 2),则 c= B46.【09 湖南卷文】如图 1 , D , E, F 分别是厶 ABC 的边 AB , BC , CA 的中点，则【AD BE CF =0BD -CF DF =0AD CE -CF =0BD - BE - FC =0解：AD =DB, AD BE =DB BE = DE = FC,得AD BE CF = 0，故选A.或AD BE CF二AD DF CF二AF CF = 0.a、b、c满足| a鬥b|=| c|,a b = c,U：a,b二OBOCABC的外心；由NA NB NC =0知，O为.ABC的重心；A.3a+bB.

20、3a-bC.-a+3bD.a+3b47.【09 全国卷I文】设非零向量(A)150B)120(C)60(D)30【解析】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。解：由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择 B。48.【09陕西卷BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM上且满足学PA=2PM，则科网4(B)34(C) 一 一 (D)3E4PA (PB PC)等于(A)-9解析：由AP =2PM知，p为ABC的重心，根据向量的加法，PB PC =2PM则AP(PB + PC)= 2APPM=2APPMCOSO=2幻=

21、49.【09 宁夏海南卷文】已知a -3,2 ,b -1,0，向量a，b与a-2b垂直，则实数的值为TTT T_ -)I=IbI IaI?sin r，即为以a，b为邻边的平行四边形的面积，故选2 1.43 39(A) _丄7【解析】向量11(B) ( C) 一一76.a b=(3 s., 1， 2 )，1,2)0，即 3+ 1 + 4 . = 0,1(D)6a_2b=(1,2)，因为两个向量垂直,1、，故选.A。7故有(3， 1 ,解得:50.【09 福建卷文】设Tc为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足T Ta与b不共线,f fcI,则Ib?cI的值一定等于TA.以a，Tb为邻边

22、的平行四边形的面积fTB.以b，c为两边的三角形面积T jc.a，b为两边的三角形面积TD.以b，TC为邻边的平行四边形的面积T TT T解析假设a与b的夹角为，Ib?c=IbI ITT Tc|IcosI=Ib!cos(90051.【09 重庆卷理】已知a=1,|b=6,a(b-a)=2，则向量a与向量b的夹角是(【解析】因为由条件得a b -a1所以cos，?，所以:52.【09 重庆卷文】已知向量兀c.-32=2,所以a b=2 a =3 = a bcos：=1 6 cos ,= (1,1),b二(2,x),若a+ b与4b-2a平行，则实数x的值是A. -2B. 0 C.D. 2解法 1

23、 因为a =(1, 1)b,=(X ,所以a十b =( 3, x + 1) , 4 a=(6x4由于4b 2a平行，得6(x 1) 3(4x -2) =0，解得x =2。53.【09 安徽卷理】给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如图所示，点C 在以 o为圆心的圆弧AB上变动.若oc = xOA + yOB,其中x,y R,则x+ y的最大值是解析设一AOC =工0L兀二x y = 2cos_：cos(120) = cos：3 sin：- 2sin( ) _ 2654.【09 安徽卷理】在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若AC=

24、 AE+AF,AC二AB AD, AE = AD - - AB, AF = AB -AD 2 2AE AF =3(AB AD) =3AC，二AC上(AE AF )，- 22332,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD二xAB yAC,J6解析 作DF _ AB,设AB = AC=1=BC二DE= 2,DEB =60 ,. BD=二2由.DBF =45解得DF = BF卫辽差,故x二2 2 2 256.【09 天津卷文】若等边ABC的边长为2 3,平面内一点M满足二二 WN. 彳 三二 hQ 三三hz=NCM =1CB2CA,则MA MB二_.63【解法二】延长AM交BC于F则由：AM A

25、FC得ME AE 1- 1 1 “及CDCB知CF CB,FC AC 362所以，F为BC的中点，因为等边ABC的边长为2、3,所以，AF =3,AM=】AF =1,MF =2,BM=才73OCOA = xOAOA亠yOB *OA,OCOB = xOA *OB yOB * OB,I1cos x y，即201cos(120) x y255.【09 湖南卷文】如图43,T4则X =，yDcos.AMB-MFBF/ o MA MB = MA MB cosNAMB =1汇-I【解法三】由解法二知F为BC的中点，AF =3,以F为坐标原点，BC, FA所在直线为坐标轴建立直角坐标M 0,2 ,A 0,3

26、 ,B-、3,0.MA二0,1 ,MB二-x3, -2则MA MB二0,1-,3,=-2.57.【08 湖北卷文】设 D E、F 分别是 ABC 的三边 BC CA AB 上的点，且DC =2BD,CE =2EA, AF =2FB,则AD BE CF与BCA.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直D.既不平行也不垂直由定比分点的向量式得:AD；AC+2ABJAC+2AB1 +233 i=- BE込BC BA,CF近CA二CB,以上三式相加得AD BE CF-1严,所以选 A.58.【08 广东卷文】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC

27、二 a ,BD二 b,贝U AF1A.a42B. a3C.1a1b2459.【09 浙江卷】 已知a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a c)，(b c) = 0,则c的最大值是)C A.1B.2C.60.【07 湖北卷】= (4,3), a 在b上的投影为5、2,b在x轴上的投影为22, 且| b|14，则b( B)A. (2,4)C.-2,2.27.(2,8)61.【07 天津卷】设两个向量a= CJ2, - cos2:)和b =m,msin -：J,其中，m,：为实I 2丿数若a = 2b，则一的取值范围是(m)A的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分14 分

28、a =(sin包一2)与b =(1,cos)互相垂直，其中(1)求si nr和COST的值(2)若5cos(J-)=3.5 cos,0：: ，求cos的值2v v v v解(1)Q a _ b,. ag) = sin v - 2cos v - 0,即sin v - 2cos v2222124又：sin rCOST-1,4cos cos -1,即cos，二sin -55(2) /5cos( v - J = 5(cos v cos亠sin sin) =. 5cos亠2、5sin=3、，5cox1-cos二sin:,.cos2即=sin2即=1 cos2 :,即cos22又0，二cos 2 264.【09 江苏卷】设向量a=(4cos,sin)，b = (sin：,4cos：), c = (cos：,-4sin：)(1) 若a与b-2c垂直，求tan(x亠壯)的值；(2) 求|b c|的最大值；(3)若tan : tan：=16，求证：a/b.解析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和A.-6,1B. 4,8c. (-6,1D.-1,662.【06 四川卷】如图,已知正六边形PP2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(