2020年二轮复习数学(文)通用版：专题检测(七)导数的简单应用

1、专题检测(七)导数的简单应用A 组一一“ 6+ 3+ 3”考点落实练、选择题1 已知函数 f(x)的导函数 f (x)满足下列条件:1f (x)0 时，x2;2f (x)0 , x= ln a，代入曲线方程得 y= 1 In a,所以切线方程为y (1 In a) = 2(x+ In a)，即卩 y= 2x+ In a +1 = 2x + 1? a= 1.3. (2019 届高三 广州高中综合测试) )已知函数 f(x)= x3+ ax2+ bx+ a2在 x = 1 处的极值为 10,则数对(a, b)为( () )A. ( 3,3)B. ( 11,4)C. (4, 11)D . ( 3,3

2、)或(4, 11)解析：选 C f(x)= 3x2+ 2ax+ b,依题意可得f1=0,|f(1 = 10,3 + 2a+ b= 0,即2消去 b 可得 a2 a 12= 0,1 + a + b+ a = 10,| a=3,解得 a= 3 或 a = 4,故|.b= 3f (x) = 3x2 6x+ 3= 3(x 1)2 0，这时 f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.a= 4,a = 3,或当b= 11. b= 3时,f (x) = 0 时，x = 1 或 x= 2.4.已知 f(x) = x2+ ax+ 3ln x 在(1 ,+ )上是增函数，则实数 a 的取值范围为( () )A.(

3、m,2 6B.m,-2C.2 6,+m)D.5,+m)解析：选 C 由题意得介2只3 2x + ax+ 3f (x) 2x+ a + = 0 在(1, +m)上恒成立？g(x)号1,? 2 6 a 0a一4，? a 2 區故选 C.|a 55. (2018 全国卷I股函数 f(x) = x3+ (a 1)x2+ ax,若 f(x)为奇函数，则曲线y= f(x)在点(0,0)处的切线方程为( () )A. y= 2xB. y= xC. y= 2xD . y= x解析：选 D 法一：Tf(x)= x3+ (a 1)x2+ ax,2f (x) = 3x + 2(a 1)x+ a.又Tf(X)为奇函数

4、， f( x) = f(x)恒成立，即一 x3+ (a 1)x2 ax= x3 (a 1)x2 ax 恒成立，2:a = 1,.f (x) = 3x + 1,. f (0) = 1,曲线 y= f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y= x.法二：易知 f(x)= x3+ (a 1)x2+ ax= xx2+ (a 1)x + a，因为 f(x)为奇函数，所以函数 g(x)=x2+ (a 1)x+ a 为偶函数，所以 a 1 = 0，解得 a = 1，所以 f(x) = x3+ x，所以 f (x) =3x2+ 1，所以 f (0) = 1，所以曲线 y= f(x)在点(0,0)处的切线方程为

5、y= x.故选 D.6.函数 f(x)(x0)的导函数为 f (x),若 xf (x)+ f(x)= ex,且 f(1) = e,则( () )A. f(x)的最小值为 eB. f(x)的最大值为 e11C. f(x)的最小值为-D . f(x)的最大值为-ee解析：选 A设 g(x) = xf(x) ex,所以 g (x) = f(x)+ xf (x) e = 0,所以 g(x)= xf(x) ex为常数函数.=2x2+ ax+ 3 0 在(1 ,+ )上恒成立？= a2 24 1 时，f (x)0,所以 f(x) f(1) = e.二、填空题7. (2019 届高三 西安八校联考) )曲线

6、 y= 2ln x 在点(e2,4)处的切线与坐标轴所围成的三角 形的面积为_.22解析：因为 y =2，所以曲线 y= 2ln x 在点(e2,4)处的切线斜率为 r,所以切线方程为 yxe4 =負乂 e2)，即|2x y+ 2 = 0.令 x = 0,贝 U y= 2;令 y= 0,贝 U x= e2,所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积S=1xe2x2= e2.答案：e28.已知函数 f(x)= x2 5x+ 2ln x，则函数 f(x)的单调递增区间是 _答案：0, 2 和(2,+ )9.若函数 f(x) = x + aln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是 _ .a解析：由题

7、意知 f(x)的定义域为(0,+g), f (x) = 1+ -，要使函数 f(x) = x + aln x 不是a单调函数，则需方程1+ x= 0 在(0, +g)上有解，即 x = a,Aa0.答案：( (g,0)三、解答题10.已知 f(x)= ex ax2,曲线 y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 y= bx+ 1.(1)求 a, b 的值；x所以 f(x)= X, f (x) =xe x 12解析：函数 f(x) = x2 5x+ 2ln x 的定义域是( (0,+)，令 f2(x)=2x 5+x =2x2 5x + 2xx 2 2x 1x1解得 0 x2，故函数f(x

8、)的单调递增区间是4.已知 f(x) = x2+ ax+ 3ln x 在(1 ,+ )上是增函数，则实数 a 的取值范围为( () )求求f(x)在0,1上的最大值.解：(1)f (x)= ex 2ax,所以 f (1) = e 2a = b, f(1) = e a= b+ 1,解得 a= 1, b= e 2.x 2(2)由得 f(x) = e x ,xx则 f (x)= e 2x,令 g(x) = e 2x, x 0,1,则 g (x)= ex 2,由 g (x)0，得 In 2x f (In 2) = 2 2ln 20 ,所以 f(x)在0,1上单调递增,所以 f(x)max= f(1)

9、= e 1.11. (2018 潍坊统一考试) )已知函数 f(x) = ax In x , F(x) = ex+ ax ,其中 x0 , a0 ,a0 ,Af (x)0 在(0 ,+s)上恒成立,即 f(x)在(0 ,+s)上单调递减,当K a0 ,即 F(x)在(0 , +)上单调递增，不合题意，当 a0 ,得 xIn( a);由 F (x)0，得 0 x1.In x(1)若 f(x)在(1,+s)上单调递减，求实数 a 的取值范围；若 a= 2,求函数 f(x)的极小值.xIn x 1解：( (1) )f( (x) )=nnv+a ,由题意可得 f( (X)w0 在(1,+8)上恒成立,

10、x.V1J_1_121a Vln2x_lnx = inx-2 - 4.X(1,+s),-in x (0, +g),当 2=0时，函数t=嵌l；2-1的最小值为4,aV -1，即实数 a 的取值范围为g,1.X当 a = 2 时，f(x)= nX+2x(x1),2in x 1 + 2in x f (x) =lin x 2令 f (x)= 0，得 2in x + in x 1= 0,11 解得 in x = 2 或 in x = 1(舍去) )，即 x = e2.1 1当 1xe2时，f (x)e 至时，f (x)0 ,11211 -f(x)的极小值为 f(e2)= + 2e2= 4e2.2B 组

11、一一大题专攻补短练1. (2019 届高三 益阳、湘潭调研) )已知函数 f(x)= in x ax + x, a R.(1)当 a= 0 时，求曲线 y= f(x)在点(e, f(e)处的切线方程；讨论 f(x)的单调性.11解：(1)当 a= 0 时，f(x) = in x + x, f(e) = e+ 1, f (x) =1+ 1, f (e)= 1+1，曲线 yxe,2 /1 2ax + x+1(x) =_ 2ax + 1=3, x0,=f(x)在点(e, f(e)处的切线方程为y (e+ 1)= 1 +1(x e), 即卩 y=(2)f当aV0 时，显然f(x)0,.f(x)在(0,

12、+g)上单调递增;当 a0 时，令 f2ax2+ x+ 12(x)=3= 0,则2ax + x + 1= 0,易知其判别式为正,设方程X1,X2( (X1X2),贝 U X1X2= 2a.1 +、/ 8a + 1 得 x(0, X2),令 f (x)0，得 0 x2 ;由 f (x)0，得 x2,故函数 f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为( (一a,0)和(2,+a).(2)设切点为(xo, yo),a(xo-1)2由 xo yo 1 = xo2 1 = 0? (xo a)(xo 1)= 0? xo= 1, xo=Xo把 Xo= 1 代入得 a= 1, 把 xo=. a 代入得

13、 a = 1, 把 xo= a 代入无解，故所求实数 a 的值为 1.2(3)因为 g(x)= xln x x f(x) = xln x a(x 1),所以 g (x) = In x+ 1 a,由 g (x)0 ,得 xea1;由 g (x)0，得 0 x0.令 f (x)0,所以 f (x) =a(x 1 J x2 (x2y a(x 1) a(2 x)4x由切线斜率k= 1 =Xo=axo+h(x)在 0, 1 上单调递减，在 1, +上单调递增,1当 ea1 1，即 0aw1 时，g(x)在区间1, e上单调递增，其最小值为g(1) = 0；2当 1ea_1e，即 1a e,即 a 2 时

14、，g(x)在区间1, e上单调递减，其最小值为g(e)= e+ a ae.0,0vaw1,故 g(x)min= iae,1a 2.一2 _ 一3. (2019 届高三 南昌调研) )设函数 f(x) = ln x 2mx n(m, nR).(1)讨论 f(x)的单调性；若若f(x)有最大值ln 2，求 m+ n 的最小值.解：( (1)函数 f(x)的定义域为(0,+a),11 4mx2f (x) = x 4mx= 一 x ,当 mw0 时，f (x)0,.f(x)在(0,+a)上单调递增;当 m0 时，令 f (x)0，得 0 x盘,由由(1)知，当 mw0 时，f(x)在(0,+a)上单调

15、递增，无最大值.当 m0 时，f(x)在1，密密上单调递增，在扌普扌普，+a上单调递减.em 111ln2m2mrnn=ln 2尹m2n=ln 2,1 1 1 1 =尹尹m2m+n=m2ln m2.1令 h(x)= x 2ln x12x 1则 h (x)= 1=,2x 2x1 1 由 h (x)0，得 0 x0，得 x2，f(x)在 0,盘上单调递增，在兰，+m上单调递减.-f(x)max= f2 1h(x)min= h 2 = Qln 2,1 m+ n 的最小值为 2ln 2.4.已知常数0, f(x)= aln x+ 2x.(1)当 a=- 4 时，求 f(x)的极值；当 f(x)的最小值不小于一 a 时，求实数 a 的取值范围.解：由已知得 f(x)的定义域为 x (0, +),2x 4当 a = 4 时，f (x)=.当 0 x2 时，f (x)2 时，f (x)0，即 f(x)单调递增.