2020年浙江高三数学总复习：函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(二)复习讲义

1、第五节 函数 y=Asin( 3 x+ )与 y=Acos( 3 x+ )函数 y=Asin(3x+ )(A0,30)的性质1. 奇偶性：=kn(k Z)时，函数 y=Asin(3x+ )为奇函数；=kn+(k Z)时，函数 y=Asin(3x+ )为偶函数.2. 周期性:y=Asin(3x+ )存在周期性，其最小正周期为 T=2n.3.单调性：根据 y=sin t 和 t=3x+的单调性来研究，由-亍+2kn3x+ n+2kn,k Z 得单调递增区间；由n+2kn3x+ 3n+2kn,k Z 得单调递减区间.复习目标学法指导1.会求形如 y=Asin(3x+半)的函数的单调区间、最值、 周期

2、.2. 能运用三角函数知识分 析和处理实际问题.1. 能以复合函数的观点分析与解决函数y=Asin(3x+半)的图象与性质问题.2. 能用换元法、整体思想将复合函数问 题转换为正、余弦函数的图象与性质解 决.3. 能用建模思想处理与三角有关的实际 问题.的图象与性质(二)-备考方向明确k-1网络构遂4. 对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kn,0)(k Z)求解,令x+ =kn(k Z),求得 x. 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kn+n(k Z)求解，令3x+ =kn+寸(k Z)得其对 称轴.I；抓辰空间|1. 性质理解(1)奇偶性：对函数 y=Acos(3x+ ),当=

3、kn时，函数为偶函数；当=kn+n(k Z)时,函数为奇函数.单调性：对于函数 y=Asin(3x+ ),当 A0 或30,30, R),贝“f(x)是奇函数”是“匸才”的(B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析：若 f(x)是奇函数，则 f(0)=0,所以 cos =0,所以匸n+kn(k Z),故-n不成立；2若=,贝卩 f(x)=Acos(3x+n)=-Asin3x,f(x)是奇函数.所以 f(x)是奇函数是=亍的必要不充分条件.故选 B.3. 设30,函数 y=sin(3x+-)+2 的图象向右平移 农个单位后与原图33象重合,则

4、3的最小值是(C )(A)| (B)3(C)| (D)3解析:由题意得23 k=4n(k N*),1 -3所以3=|k(k N),所以3min=-.24._ 函数 y=-|sin(x+n)|的单调递减区间是 _解析：作出函数 y=-|sin (x+n) |的简图(如图),5截3霍KftSir 7n：TJ TT由图象得函数递减区间为kn-n,kn+(k Z).44答案:kn-n,kn+寸(k Z)_高频考点宛破 卜-右rf*. t S f岸.考点一函数 y=Asin(3x+二)的奇偶性、周期性与对称性【例 1】已知函数 f(x)=Asin(3x+)+1(30,A0,0亍)的周期为n，f(n)=3

5、+1,且 f(x)的最大值为 3,则函数 f(x)的对称中心为_,对称轴方程为_ .解析:因 T=n,所以3=2,最大值为 3,所以 A=2.所以 f(x)=2sin(2x+)+1,因为 f(亍)=3+1,所以 2sin(n+ )+1=3+1,所以 cos：:=22因为 00,函数 f(x)=sin(3x+n)在(n,n)上单调递减，则3的取42值范围是_ .解析：(1)令 2kn+ 产 2x+ 2kn+3n,k Z,所以 kn+n-_x kn+?n- 2,k Z,4242又因为(n,5n)是 f(x)的一个单调递增区间,| | n58所以n kn+-,k 乙可得,54210所以芒w0 时上式

6、无解，所以 kw0,又因为30,所以 k=0,所以1w 3w5.24答案:(1)C(2) 0)的 单调区间时，要视“3x+ 为一个整体，通过解不等式求解但如果30,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利 用集合间的关系求解.L迁删怫若函数 f(x)二cos(2x+)的图象关于点(勺,0)成中心对称，且- - V,322则函数 y=f(x+匸)为(D )3(A) 奇函数且在(0,n)上单调递增4(B) 偶函数且在(0,扌)上单调递增(C) 偶函数且在(0,寸)上单调递减(D) 奇函数且在(0,寸)上单调递减解析：因为函数

7、f(x)=cos(2x+ )的图象关于点(兰,0 )成中心对称，3则8n+ ?=3kn+-,k 乙即=kn-13n,k 乙又-20,0w 2 且 0Wn)是 R 上的偶函数，其图象过点 M(0,2).又 f(x)的图象关于点 N(严,0 )对称且在 区间0,n上是减函数，求 f(x)的解析式.解：根据 f(x)是 R 上的偶函数，图象过点 M(0,2),可得 f(-x)=f(x) 且 A=2,则有 2sin(-wx+ )=2sin(wx+ ),即 sinwxcos=0,所以 cos =0,即=kn+ 亍(k Z).而 0Wn,所以-工2再由 f(x)=2sin(3x+ f)=2coswx 的图

8、象关于点 N(#,0)对称,f(3n)=2cos n=0,44所以 cos n =0,即3-n=kn+n(kZ), w =3(k+2)(kZ).4232又 0w2,所以w =2或w=2.3最后根据 f(x)在区间0,n上是减函数，可知只有w=-满足条件，所以 f(x)=2cos - x.33考点四易错辨析【例 4】 设函数 f(x)=sin (晋-)-2COS2+1.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，求当 x 0,釣3时 y=g(x)的最大值.解:(1)f(x)=sin -xcosn-cosnxsinn-cosnx464

9、64二二 sinnx-3cos -x=3sin( -x-).242443，故 f(x)的最小正周期为 T=2n=8.n4法一 在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x),它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x).由题设条件，点(2-x,g(x)在 y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=3sinn(2-x)-=3sinn-nx-n243J=3cos( -x+43当 ox 3 时，nnx+nwn,33433因此 y=g(x)在区间0,3上的最大值为3cosn=-i.332法二 因区间0, J 关于 x=1 的对称区间为1,2,且 y=g(x)与 y=f(x)33的图象关于 x=1

10、 对称，故 y=g(x)在0,-上的最大值就是 y=f(x)在32,2上的最大值，3由知 f(x)= 3 血(nv当2wxw2 时,-nwtx-nwn,36436因此 y=g(x)在0,4上的最大值为3sin 丄二仝.362d 解答该类问题的易错点：1对三角公式不熟导致三角恒等变换错误.2不能正确将 x 的范围转化为3X+的范围致误.已知函数 f(x)=4tan xsin(n-x)cos(x-n)-3.23(1) 求 f(x)的定义域与最小正周期；(2) 讨论 f(x)在区间-n,n上的单调性.解:(1)f(x) 的定义域为x|x 工n+kn,k Z.f(x)=4ta n xcos xcos(

11、x-f)-3=4sin xcos(x-f)-3=4s in x(1cos x+ y sin x)-3 2一=2sin xcos x+23sin x-3=sin 2x+3(1-cos 2x)-3二sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-n).所以 f(x)的最小正周期 T= =n.令 z=2x-二函数 y=2sin z 的单调递增区间是 卜n+2kn,芒+2k322n,kZ,由-n+2kn 2x-匸wn+2kn,232得-2+kn wx5n+kn,kZ.1212设 A=-n，汀B=x|- - +kn WxW5n+kn,kZ,12 12易知 AnB=-,-.124所以，当 x 卜n,习时,f

12、(x)在区间卜-n,n上单调递增，在区间44124卜二-卫上单调递减.412解题规范夯实 - 權-三角函数图象与性质的综合问题【例题】设 f(x)=23sin(n-x)sin x-(sin x-cos x)2.(1) 求 f(x)的单调递增区间；(2) 把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变),再把得到的图象向左平移n个单位，得到函数 y=g(x)的图象，求3g(n的值.6解:(1)f(x)=23sin(n-x)sin x-(sin x-cos x)2=23sin2x-(1-2sin xcos x) =3(1-cos 2x)+sin 2x-1二sin 2x-3

13、cos 2x+3-1第二步：利用 f(x)=sin(x+ )研究三角函数的性质=2sin(2x-)+3-1.由 2kn-n2x-n2kn+n(kZ),232得 kn-nx=1,此时 x=-.6【规范训练 2已知 f(x)=Asin(3x+ )+1(x R,其中 A0,30,0 0,所以 A=2 且 sin(2x2n+ )=-1,3则有 2X25+ =3n+2kn(k Z),32解得：=n+2kn(k Z),6因为 00,30,0 yn)为奇函数，该函数的部分图象如图所示,AC=BC=22,C=90 ,则 f(-2)的值为_.解析:依题意知， ABC 是直角边长为身的等腰直角三角形，因此其边 A

14、B 上的高是2,函数 f(x)的最小正周期是 2,故 ,勺=2,3=n,f(x)=1cs(nx+ ).又函数 f(x)是奇函数，于是有=kn+n,其中 k 乙2由 00 且| -)在区间-,2n上单调递减，且263函数值从 1 减小到-1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为(A )(A)2(B)手(C) 3(D)宁解析：函数 y=sin(wx+ )的最大值为 1,最小值为-1,由该函数在区间二上单调递减，且函数值从 1 减小到-1,可知632n n一n_ T T-6= 2=?,T=n,w=2,则 y=sin(2x+).又由函数 y=sin(wx+ )的图象过点(n,1),6代入可得=n( | |0,0 0),在函数f(x)=m (m+n)+t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为n,且当 x 0,-43时,f(x)的最大值为 1.(1)求函数 f(x)的解析式；求函数 f(x)的单调递增区间.解:(1)由题意得 f(x)=m (m+n)+t二m+rnrn+t2=3sin3x+3sin3xcos3x+t=3-3cos 23x+sin 23x+t222=3sin(23x-n)+|+t.因为对称中心到对称轴的最小距离为n,4所以 f(x)的最小正周期为 T=n,所以严n所以3=