2020年新课标版高考文数：§4.4解三角形

1、4.4解三角形挖命题【考情探究】考点内容解读5 年考情预测热度考题示例考向关联考点正弦定 理与余 弦定理理解正弦定理与 余弦定理的推导过 程;掌握正弦定 理、余弦定理，并能 解决一些简单的三角形的度量问题2018 课标全国n,7,5 分余弦定理的应用倍角公式2018 课标全国I,16,5 分正弦定理与余弦 定理的应用三角形的面积公式2017 课标全国I,11,5 分正弦定理的应用诱导公式，两角和的正弦公式2017 课标全国n,16,5 分正弦定理与余弦 定理的应用诱导公式，两角和的正弦公式解三角 形及其 应用能够运用正弦定 理、余弦定理等知 识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题20

2、18 课标全国m,11,5 分三角形的面积余弦定理2016 课标全国m,9,5 分解三角形正弦定理2016 课标全国n,15,5 分解三角形正弦定理，同角三角函数基本关 系分析解读从近几年的高考试题来看，本节内容一直是高考考查的重点和热点，命题呈现岀如下特点：i.利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题时，要能在平面图形中构造出三角形；2.解三角形时，观察图形中的几何条件，再利用数形结合求解；3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查，注意公式之间的联系，会用方程和函数思想解决三角形的最值问题，常以解答题的形式岀现，有时也会岀现在选择题或填空题中，分值为 5

3、 分或 12 分.破考点【考点集训】考点一正弦定理与余弦定理1. （2015 广东,5,5 分）设厶 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2_，cos且 b50_X100 - cos 30 =5 000,/ PQ=50_.A.B.C._D._I lHIm因此,P,Q 两棵树之间的距离为 50 一 m,A,P 两棵树之间的距离为 50 一 m.3.（2018 河南商丘九校 12 月联考,20）如图所示，某公路 AB 一侧有一块空地 OAB,其中 OA=3 km,OB=3 一 km, / AOB=90，当地政府拟在中间开挖一个人工湖OMN,其中 M,N 都在边 A

4、B 上（M,N 不与 A,B 重合,M 在 A,N 之间）,且/ MON=30 .若 M 在距离 A 点 2 km 处，求点 M,N 之间的距离；(2)为节省投入资金，人工湖AOMN 的面积要尽可能小，试确定 M 的位置，使 OMN 的面积最小，并求出最小面积1.(2018 课标全国n,7,5 分)在厶 ABC 中,cow=,BC=1,AC=5,则 AB=( )A.4 一 B. C. D.2 -解析 在厶 OAB 中，因为 OA=3,OB=3_，/ AOB=90 ,所以/ A=60 .在厶 OAM 中,由已知及余弦定理得 OM2=AO2+AM2-2AO AM cos A=7,所以 0M= i,

5、所以 cos/ AOM=-；-=,在厶 OAN 中,sin/ ONA=sin( / A+ / AON)=sin( / AOM+90 )=cos/ AOM= 一.在厶 OMN 中，由-=得 MN=r 冬=-.故点 M,N 之间的距离为- km.(2)设/ AOM=6,09.在OAM 中,由 =得 OM=-.在OAN 中,由=得 ON=- =.所以 SAOMN=OM ON sin/ MON因为 0 所以 20+ -,所以当 20十=-,即0=时,SAOMN取最小值，为-所以设计/AOM= 时, OMN 的面积最小，最小面积是 -km?.过专题【五年高考】A组考点一正弦定理与余弦定理统一命题课标卷题

6、组答案 A2. （2017 课标全国I,11,5 分） ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A（sin C-cos C）=0,a=2,c= 一,则 C=（ ）A.B._C._D._答案 B3. （2016 课标全国I,4,5 分） ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=_,c=2,cos A=-，则 b=（）A. 一 B. 一 C.2D.3答案 D4. （2018 课标全国I,16,5 分） ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8

7、,则厶 ABC 的面积为_.答案二5. （2017 课标全国n,16,5 分） ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则 B=_ .答案 60 考点二解三角形及其应用1.- （2018 课标全国山,11,5 分） ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若厶 ABC 的面积为- -，则 C=（）A. _B.-C._D._答案 C2.（2016 课标全国n,15,5 分） ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为答案 一3.（2014 课标I,16,5 分）如图，为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量

8、观测点.从 A 点测得 M 点的仰角/ MAN=60 ,C 点的仰角/ CAB=45 以及/ MAC=75 ;从 C 点测得/ MCA=60 .已知山高 BC=100 m,则山高 MN=_m.答案 1504.（2015 课标I,17,12 分）已知 a,b,c 分别为 ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sin Asin C.（1）若 a=b,求 cos B;设 B=90且 a= 一，求 ABC 的面积.解析（1）由题设及正弦定理可得 b2=2ac.又 a=b，可得 b=2c,a=2c.由余弦定理可得 cos B=- 亠.（6 分）由（1）知 b2=2ac.因为 B=90；由勾股定

9、理得 a2+c2=b2.故 a2+c2=2ac，得 c=a=.所以 ABC 的面积为 1.（12 分）a,b,c,若 cosA=-,cos C=,a=1,贝 U b=_思路分析（1）由题意和正弦定理可得b2=2ac,当 a=b 时,c=-代入 cos B=-计算可得结果;（2）由题意可得 b2=2ac=a2+c2,解方程 可得 c 的值代入 S=-ac 即可.5.(2015 课标n,17,12 分) ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 / BAC,BD=2DC.求；(2)若/ BAC=60 ,求/ B.解析(1)由正弦定理得-=Z,Z.因为 AD 平分 / BAC,BD=2DC,所以

10、一=-.(2)因为/ C=180-( / BAC+ / B), / BAC=60 ,所以 sin/ C=sin( / BAC+ / B)= cos/ B+_sin/ B.由(1)知 2sin/ B=sin / C,所以 tan/ B=_,即/ B=30 .B组自主命题省(区、市)卷题组考点一正弦定理与余弦定理1. (2016 山东,8,5 分) ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a2=2b2(1-sin A).则 A=()A.B._C._D._答案 C2. (2018 浙江,13,6 分)在厶 ABC 中角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=_,

11、b=2,A=60 :则 sin B=_,c=_答案 一;33. (2015 重庆,13,5 分)设厶 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则 c=_答案 44. (2017 天津,15,13 分)在厶 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asin A=4bsin B,ac=_(a2-b2-c2).(1) 求 cos A 的值；求 sin(2B-A)的值.解析(1)由 asin A=4bsin B 及=，得 a=2b.由 ac= (a2-b2-c2)及余弦定理，得 cos A=-=-=-.(2)

12、 由(1),可得 sin A=,代入 asin A=4bsin B,得 sin B=- =一.由(1)知,A 为钝角 所以 cos B=-=.于是 sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=1-2sin B=_,故 sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=-x - - x-=-.考点二解三角形及其应用1. (2018 北京,14,5 分)若厶 ABC 的面积为-(a2+c2-b2),且/C 为钝角，则/B=_ 厂的取值范围是 _ .答案-;(2,+2. (2017 浙江,14,6 分)已知 ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一

13、点,BD=2,连接 CD,则厶 BDC 的面积是_ ,cosZBDC=_ .答案二匚3. (2018 天津,16,13 分)在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 bsin A=acos - .(1) 求角 B 的大小；设 a=2,c=3，求 b 和 sin(2A-B)的值.解析 在厶 ABC 中，由正弦定理=，可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=acos -，得 asin B=acos -，即 sin B=cos 可得 tan B= 一又因为 B 匕(0,可得 B=-.2 2 2 (2) 在厶 ABC 中，由余弦定理及 a=2,c=3,B=-，有

14、 b =a +c -2accos B=7,故 b=.由 bsin A=acos -一 ,可得 sin A=“.因为 ac,故 cos A=一2因此 sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos A-仁所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=冷-一=.4. (2017 山东,17,12 分)在厶 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b=3,=-6,SABC=3,求 A 和 a.解析因为=-6，所以 bccos A=-6,又ABC=3，所以 bcsin A=6,因此 tan A=-1,又 0A6X2X-一 =29,所以 a

15、=5. (2016 天津,15,13 分)在厶 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asin 2B= bsin A.(1) 求 B；(2) 若 cos A=求 sin C 的值.,可得 asin B=bsin A,又由 asin 2B= _bsin A,得 2asin Bcos B= _bsin A= _asin B,所以 cosB=,得 B=-.(2)由 cos A=-,可得 sin A=,则 sin C=sin -(A+B)=sin(A+B)=sin=sin A+-cos A=-6.(2015 天津,16,13 分)在厶 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分

16、别为 a,b,c.已知 ABC 的面积为 3 一 ,b-c=2,cos A=-.(1) 求 a 和 sin C 的值；求 cos -的值.解析 在厶 ABC 中，由 cos A=-_，可得 sin A=.由SABc=-bcsin A=3 ，得 bc=24，又由 b-c=2,解得 b=6,c=4.由 a2=b2+c2-2bccos A,可得 a=8.由=，得 sin C=.(2) cos- =cos 2A cossin 2A sin-一2-一=(2cosA-1)- - 2sin A cos A=-.C组教师专用题组考点一正弦定理与余弦定理1. (2014 江西,5,5 分)在厶 ABC 中，内角

17、 A,B,C 所对边的分别是 a,b,c.若 3a=2b,则-的值为()A.-B._C.1 D._答案 D2. (2013 课标I,10,5 分)已知锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=()A.10B.9C.8D.5答案 D3. (2015 福建,14,4 分)若厶 ABC 中,AC=_,A=45 :C=75。，则 BC=_.答案 一4. (2014 湖北,13,5 分)在厶 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A=-,a=1,b= 一，则 B=_ .答案 -或一解析在厶 ABC 中，由5

18、.(2015 陕西,17,12 分)ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a,b)与 n=(cos A,sin B)平行.求A；若 a= 一山=2,求厶 ABC 的面积.解析 因为 m/ n,所以 asin B- _bcos A=0, 由正弦定理，得 sin Asin B-_sin Bcos A=0, 又 sin B 工 0,从而 tan A= ,由于 00，所以 c=3.故厶 ABC 的面积为-bcsin A=.解法二:由正弦定理,得二=,从而 sin B=,又由 ab,知 AB,所以 cos B=一.故 sin C=sin(A+B)=sin -=sin Bco

19、s 一+cos Bsin -=-.所以 ABC 的面积为-absin C=.6.(2014 安徽,16,12 分)设厶 ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1, ABC 的面积为 一,求 cos A 与 a 的值.解析由三角形面积公式，得-6X1 sin A=_,故 sin A=.因为 sin2A+cos2A=1,所以 cos A= -=-_=-.1当 cos A=-时,由余弦定理得2 2 2 2 2a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2XX3X=8,所以 a=2_.2当cosA=-时，由余弦定理得2 2 2 2 2a2=b2+c2-2bcco

20、s A=32+12-2XX3X -=12,所以 a=2 .7.（2014 重庆,18,13 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=8.若 a=2,b=-,求 cos C 的值;(2)若 sin Acos2_+sin Bcos2_=2sin。且厶 ABC 的面积 S=sin C,求 a 和 b 的值.解析由题意可知 c=8-(a+b)=-.由余弦定理得 cos C=一 =-.2 2(2) 由 sin Acos-+sin Bcos -=2sin C 可得sin A -+sin B -=2sin C,化简得 sin A+sin Acos B+sin B+s

21、in Bcos A=4sin C.因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以 sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知 a+b=3c.又因为 a+b+c=8,所以 a+b=6.由于 S=-absin Csin C,所以 ab=9，从而 a-6a+9=0,解得 a=3,b=3.8. (2012 课标全国,17,12 分)已知 a,b,c 分别为 ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c=_asin C-ccos A.(1)求 A;若 a=2,AABC 的面积为 一,求 b,c.解析 由 c= asin C-c cos A 及正弦定理得 sin

22、 A sin C-cos A sin C-sin C=0.由于 sin C 工 0,所以 sin - =-.又 0An故 A=-.ABC 的面积 S=-bcsin A=:故bc=4.而 a2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8.解得 b=c=2.9. (2011 全国,18,12 分)AABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C-_asin C=bsin B.(1) 求 B;(2) 若 A=75 ,b=2,求 a,c.解析由正弦定理得 a2+c2-ac=b2.2 2 2又 b =a +c -2accos B.故 cos B=,又 0B180,

23、因此 B=45 :(2)sin A=sin(30 +45)=sin 30 cos 45 +cos 30sin 45故 a=b x= =1+,c=b x =2 x- =.10. (2010 全国I,18,12 分)已知 ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=acot A+bcot B,求内角 C. 解析由 a+b=acot A+bcot B 及正弦定理得sin A+sin B=cos A+cos B,sin A-cos A=cos B-sin B,从而 sin Acos 一 cos Asin -=cos Bsin sin Bcos -,sin - =sin -又 0A+B n故

24、 A=B,A+B= -所以 C=.考点二解三角形及其应用1. (2013 课标U,4,5 分)AABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2,B=-,Cd,则厶 ABC 的面积为()A.2 一+2B. 一+1C.2 一-2D. 一-1答案 B2. (2016 浙江,16,14 分)在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.(1) 证明:A=2B;若 cos B=_，求 cos C 的值.解析 证明：由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin

25、B+sin Acos B+cos Asin B, 于是 sin B=sin(A-B).又 A,B(0, 故)0A- Bn,所以 B=it(A-B)或 B=A-B,因此 A=n舍去)或 A=2B,所以 A=2B.(2) 由 cos B=-得 sin B=,2cos 2B=2cos B-1= -_,故 cos A=- -,sin A=,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.3. (2015 山东,17,12 分)AABC 中角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 cos B=,sin(A+B)= ,ac=2 一,求 sin A 和 c 的值.解析

26、 在厶 ABC 中，由 cos B=,得 sin B=,因为 A+B+C=n,所以 sin C=sin(A+B)=.因为 sin Csin B,所以 C 0.所以 p-.由根与系数关系，得 tan A+tan B=- p,tan Atan B=1-p.于是 1-tan Atan B=1-(1-p)=p 工 0,从而 tan(A+B)=-=-.所以 tan C=-tan(A+B)=,所以 C=60 (2) 由正弦定理，得 sin B=-=- =,解得 B=45；或 B=135 (舍去).于是 A=180 -B-C=75 . 则 tan A=tan 75 =tan(45 +30 )=-=2+ .所

27、以 p=-p(tan A+tan B)=-=(2+ +1)=-1-.，可得 a=h=2c,6. (2014 山东,17,12 分)ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cos A= ,B=A+_.(1)求 b 的值;(2)求厶 ABC 的面积.解析在厶 ABC 中,由题意知，sin A=-=,因为 B=A+-,所以 sin B=sin - =cos A=一.由正弦定理可得 b=二=3 一(2) 由 B=A+ -彳得 cos B=cos - =-sin A=.由 A+B+C=n得 C=n(A+B).所以 sin C=sin -(A+B)=sin(A+B)=sin

28、Acos B+cos Asin B=x+i =.因此 ABC 的面积 S=-absin C=-X3x3x=.7.(2014 湖南,19,13 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,DA 丄 AB,DE=1,EC=_,EA=2, / ADC=,/ BEC=_.(1)求 sin / CED 的值;求 BE 的长.解析设/CED=a.(1)在厶 CDE 中，由余弦定理，得 EC2=CD2+DE2-2CD DE cos/ EDC. 于是由题设知，7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去).在厶 CDE 中，由正弦定理，得于是 sin a -=- =，即 sin /

29、 CED=.(2)由题设知,0ac.已知 =2,cos B,b=3.求:(1)a 和 c 的值;cos(B-C)的值.cosa=-解析 由=2 得 c acos B=2.又 cos B=_，所以 ac=6.由余弦定理，得 a2+c2=b2+2accos B.22又 b=3,所以 a +c =9+2X2=13.解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.因为 ac 所以 a=3,c=2.(2)在厶 ABC 中,sin B= -=-由正弦定理，得 sin C=-sin B=- X=因为 a=bc,所以 C 为锐角，因此 cos C=-=-.于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsi

30、n C=XI-X=.9.(2014 课标U,17,12 分)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD;求四边形 ABCD 的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC CDcos C=13-12cos C,2 2 2BD2=AB2+DA2-2AB DAcos A=5+4cos C.由得 cos C=-，故 C=60 ,BD= 一./四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,C=60 / A=120 .四边形 ABCD 的面积 S=AB DAsin A+-BC CDsin C=-X1 x2Xsin 120+-

31、X3X2Xsin 60=2 一【三年模拟】时间:50 分钟分值:70 分一、选择题侮小题 5 分，共 30 分）1. （2019 届安徽皖中摸底考试,11） ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且-+一=1,则 C=（）A._B. -C. 一D.答案 B2. （2019 届湖南顶级名校 10 月联考,5）如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则所得新三角形的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定答案 A3. （2019 届河南郑州一中 10 月月考,9）在厶 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cos A=-一,c=

32、 , ABC 的面积为-，则 a=（）A.1B.2C.3D.2 -答案 C解析（1）证明：根据正弦定理，可设=k(k0),贝 U a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.4.（2019 届甘肃顶级名校10 月联考，10）若厶ABC 的内角 A,B 满足=2cos（A+B）,则 tan B 的最大值为（）A. B.一C.一D 一答案 A5.（2018 河南许昌、平顶山联考，8）如图所示，为了测量 A,B 两处岛屿间的距离，小张以 D 为观测点，测得 A,B 分别在 D 处的北偏西 30北偏东 30方向，再往正东方向行驶40 海里到 C 处，测得 B 在 C 处的正北方向,A 在 C处的北偏西 60方向，则 A,B 两处岛屿间的距离为（）A.20 海里B.40 一海里C.20（1+ 一）海里 D.40 海里答案 B6. （2018 山西晋城一模,9）在厶 ABC 中角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 csin - =a,=20,c=7,则厶 ABC 的内切圆的半径为（ ）A. 一 B.1C.