2020高考文数总复习课后限时集训30等比数列及其前n项和

1、课后限时集训（三十）等比数列及其前n项和（建议用时：60 分钟）A 组基础达标一、选择题41.已知数列an满足 3an+1+ an= 0, a2= 3,则an的前 10 项和等于（）-io1ioA. 6(1 3)B . 9(1 3)C. 3(1 3 )D . 3(1 + 30)an+1C T3an+1+ an= 0,二 an= 3，二数列an是以一 为公比的等比数列，4 a2二一 3， 二 = 4.由等比数列的求和公式可得10).故选 C.2. (2019 湘潭模拟)已知等比数列an中，a5= 3, a4a7= 45,则=匸的值为 a5一a7()A. 3B . 5C. 9D . 25a5a7

2、a9D 设等比数列an的公比为 q,则 a4a7=a5q = 9q = 45,所以 q = 5,qa5 a7a5q2a7q2q2= 25.故选 D .a5a7S10=3(1 33.（2019 太原模拟）已知等比数列an中，a2a5a8= 8, S3= a2+ 3a1，则 a1A.2B1c. 9D 1B 设等比数列an的公比为 q(qM1),因为 S3= ai+ a2+a3= a2+ 3ai,所以= q2= 2.因为 a2a5a8= a3= 8,所以 a5= 2,即 aiq4= 2,所以 4ai= 2, aii所以 ai= 2 故选 B .4.已知数列an中，an= 4n +5,等比数列bn的公

3、比 q 满足 q= an an-i(n2)且 bi= a2,则 |bi|+ |b2+ |b3+|bn|=()B 由已知得 bi= a2= 3, q= 4, bn=(3)x(4)ni,|bn|=3x4ni,即|bn|是以 3 为首项,4 为公比的等比数列Iu3(4n)n|bi|+ 炯+ + |bn|= 4 i.i 45 .（数学文化题）九章算术中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞 生一日，长一尺.蒲生日自半；莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是：蒲第 一天长 3尺，以后逐日减半；莞第一天长 1 尺，以后逐日增加一倍，若蒲、莞长 度相等，则所需时间约为（）n.i 4nB . 4 -ini 4n

4、 4 -i3AC. 3参考数据：lg 2 0.30i 0, lg 30.477 i,结果精确到 O.iA . 2.2 天 B . 2.4 天 C . 2.6 天 D . 2.8 天iC 设蒲每天的长度构成等比数列an,其首项 ai= 3,公比为,其前 n 项和为 An.设莞每天的长度构成等比数列bn,其首项 bi= i,公比为 2,其前 n 项30 -討1-2n和为 Bn.则 An-厂,Bn-.设蒲、莞长度相等时所需时间约为 X 天，则1-11-2123 1 2X1-2X6,化简得 2X+歹7,计算得出 2X-6,2X- 1(舍去).所以 x1 - 22 3 4 51+IJP26 则估计26天

5、后蒲、莞长度相等.故选 6、填空题S46. （2019 湖南十校联考）若等比数列an的前 n 项和为 Sn,且耳二 5,n+21n+1an+2= 14X 2=7，即2=l6，解得 n = 3,.该数列共有 5S4a3+ a4仃法一：设数列an的公比为 q,由已知得 S；-1 +-Sa1+ a2=5,2S8a5+ a6+ a7+ a84所以 q- 4,1+- 1 + q - 1+ 16- 17.S4a1+ a2+ a3+ a4法二：由等比数列的性质可知，S2, S4-S2, S6-S4, S8- So 成等比数列,若设 S2= a,则 S4= 5a,由(S4 S2)2= S2(S6- S4)得

6、S6= 21a,同理得 S8= 85a,S885a所以- 85a- m7.在 14 与7之间插入 n 个数组成等比数列，若各项之和为 彳，贝吐匕数列的项数为5 设此等比数列为am，公比为 q,则该数列共有 n + 2 项.114 工二 1.由等比数列的前 n 项和公式，得各，解得 q-5,即 1 + q212,项8在正项等比数列an中，已知 aia2a3= 4, aas= 12, an-ianan+1=324,贝 U n=_.14 设数列an的公比为 q,由 a1a2a3= 4 = a1q3与 a4a5a6= 12= a1q12,可得 q9=3, an1anan+1= a3q3n3= 324,

7、因此 q3n6= 81 = 34= q36,所以 3n 6 = 36, 即 n=14.三、解答题9. (2018 陕西二模)已知 Sn为数列an的前 n 项和，且满足 Sn 2an= n 4.(1) 证明：Sn n + 2为等比数列；(2) 求数列 Sn的前 n 项和 Tn.解(1)证明：当 n= 1 时，由 Sn 2an= n 4,得 a1= 3.-S1 1 + 2= 4.当 n2 时，Sn 2an= n 4 可化为 Sn= 2(Sn Sn1) + n 4.即 S=2Sn1n+4,ASnn+2=2Sn1(n1)+2. -Sn n + 2是首项为 4,公比为 2 的等比数列.(2)由(1)知，

8、Sn n + 2= 2n+1, Sn= 2n+1+ n 2. Tn= (22+ 23+ 2n+1)+ (1+ 2+- + n) 2n221 2n1 + n n=+ 2n1 22r n23n=2n+2+ 4.10. 已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2an 3n(n N*).(1) 求 a1, a2, a3的值；(2) 是否存在常数 入使得an+ 为等比数列？若存在，求出入的值和通项公式 an,若不存在，请说明理由.解(1)当 n= 1 时，Si= ai= 2ai 3,解得 ai= 3,当 n= 2 时，S2= ai+ a2= 2a2 6,解得 a2= 9,当 n= 3 时，S3=

9、 ai+ a2+ a3= 2a3 9,解得 a3= 21.2(2)假设an+号是等比数列,则(a2+ /) = (ai+莎(a3+莎,即(9+仁(3 +(2i +入,解得 A 3.下面证明an+ 3为等比数列：-Sn 2an 3n, Sn+1= 2an+1 3n 3, an+1 Sn+1 Sn 2an+12an 3, 即 2an+ 3 an+1,an+1+ 3 -2(an+ 3) an+1+ 3, 2,an+ 3存在入一 3,使得数列an+ 3是首项为 ai+ 3 6,公比为 2 的等比数列.an+36X2n1,即 an3(2n1)(nN*).B 组能力提升1.（2018 合肥一模）已知数列a

10、n的前 n 项和为 Sn,若 3Sn 2an 3n,则a2 0182 0181C.i因为 ai Si,所以 3ai 3Si 2ai 3? ai 3.当 n2 时，3Sn 2an 3n,3Sni 2ani 3(n 1),所以 an 2ani 3, 即 an+ 1 2(ani+ 1),所以数列an+ 1是以一 2 为首项，一 2 为公比的等比数 列，2 018B. 32 0182 018所以 an+ 1 ( 2)X( 2)n1 ( 2)n,贝 U a2 018= 22 018 1.2 * *112.已知数列an满足 a18283an=2n (n N )，且对任意 n N 都有二 +- a1a21+

11、 avt，贝 u 实数 t 的取值范围为()2c3，+2a1a2a3an2n依题意得,当 n2 时，an=2a1a2a3an11，又 a1= 222x1-1，因此 an= 22n-1，0=21Z1，数列首 是以 1 为首项，4 为2L 丿1(丄、2J42(n2公比的等比数列，等比数列 才的前 n 项和等于 厂=41V，因此实 丄1-4，2数 t 的取值范围是3，+)3 .已知 Sn是等比数列an的前 n 项和，S3, S9, S6成等差数列，02+ 05= 4, 贝Ua8=.2( 1 q)1 q 1 q2 因为 S3, S9, S6成等差数列,所以公比 1,=+-,1 q 1 q 1 q 整理得 2q = 1 + q3,所以 q3= 2，故 a2 1 2 = 4,解得 a2= 8,故 a8= 8X7=2.4.已知数列an满足 a1= 5, a2= 5, an+1= an+ 6an1(n2).(1) 求证：an+1+ 2an是等比数列；(2) 求数列an的通项公式.解(1)证明：Van+1= an+ 6an1( n2),A. 3,I=2n2 (n 1)2= 22nan+1+ 2an= 3an+ 6an1= 3(an+ 2an1)(n2).-a1= 5, a2= 5, a2+2ai= 15,an+ 2an-1丰0(n A 2),an+1+ 2an-= 3(n 2