雅可比行列式

1、§ 11.2 .函数行列式教学目的掌握函数行列式.教学要求(1) 掌握函数行列式(2) 能用函数行列式解决一些简单的问题、函数行列式由A Rn到R的映射或变换就是n元函数，即(Xi,X2，Xn,y) f A R Rn R，或y f (Xi,X2，Xn),( Xi,X2，Xn) A.由A Rn到Rn的映射或变换就是n个n元函数构成的函数组，即(Xi,X2，,Xn, yi,y2,，yn) f a RnRn Rn，或yifi(Xi,X2,Xn),(i)二以2，S(Xi,X2,Xn) A.Ynfn(Xi,X2rXn).表为(fi,f2,fn)，设它们对每个自变量都存在偏导数 丄,i i,2n

2、, j i,2n，行列式Xjfi.fiXX2Xnf2f2.f2XX2XnfnfnXiX2XnD(fi, f2,fn)D(Xi,X2,Xn)称为函数组(fi, f2,fn)在点(Xi,X2,Xn)的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为(fi,f2,fn)或(捲龙，Xn)例：求以下函数组变换的函数行列式：x r cos y r si n(x,y)(r,)cossinr sin r cosr cos2rsin2 r.2.柱面坐标变换x r cos y r sin z z.xxxrz(x,y,z)yyy(r, ,z)rzzzzrzcos sin0r si nr cos00c2.20 r cos r s

3、in r.1x r sin cosy rsin sin z r cos .(x, y, z) (r,)x x xsin cossin sincosry_y_yrz z zrr cos cosr cos sinr si nrsin sinr sin cos02 .r sin、函数行列式的性质n都是正确的.为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数一元函数y f(x)与x(t)的复合函数y f(t)的导数是詈 鴛，与它类似的有：y(s,t)也有连续定理1.假设函数组u u(x, y), v v(x, y)有连续的偏导数，而x x(s,t), y偏导数，那么(u,v)(u,v) (

4、x, y)(s,t)(x, y)(s,t)证明：由复合函数的微分法那么，有uuxuuxsxsyJstxtytvvxvyvvxvysxsyJstxtyt由行列式的乘法，有uuuxuyuxuy(u,v)sxsysxty"T(s,t)vvvxvyvxvystxsysxtytxu y v yuxvx假设一元函数y号性，在点x0某邻域函数X (y)，且和它类似的有：定理2.假设函数组u u(x,y),v v(x,y)有连续的偏导数，且(U,V)0，那么存在有连续偏(x,y)xtyt(u,v)(x,y)(x, y) (s,t)f(x)在点xo某邻域具有连续的导数f (x)，且f (xo)0.由连

5、续函数的保,f (x)与f (xo)保持同一符号，因而在 函数y f (x)严格单调，它存在反号,dxdy1dydx导数的反函数组x x(u,v), y y(u,v)，且(x,y)1(u,v)(u,v)(x, y)证明：§ 11.1.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明F面证明3式成立.在定理1中，令s u,t v，有(u,v)(x, y)(u,v)(x, y)(u,v)(u,v)uuuvvvuv1 00 11，(u,v)1(u,v)o.(x,y)(x, y)(x,y)(u,v)、函数行列式的几何性质元函数y f(X)是R1到R1 Xo，它的象是yo f(Xo).当自变量X在点X

6、o有改变量X，相应y在y有改变量y.线段y的长y与线段x的长x之比Fy称为映射f在xo到xo平均伸缩系数，假设当企x0时平均伸缩系数M存在极限，即lim/.X olim.X Of(Xo 沁)f(Xo)f '(Xo)，那么称f '(Xo)是映射f在点Xo的伸缩系数由此可见，一元函数y f(X)在点Xo的导数的绝对值f'(Xo)有新的几何意义：它是映射 f在点Xo的伸缩系数.同样，R2到R2的变换u u(x,y),v v(x, y)也有类似的几何意义.定理3 .假设函数组u u(x, y),v v(x, y)在开区域G存在连续的偏导数，且(x, y) G，有J(x,y) (U,V) O.函数组将xy平面上开区域G变换称uv平面上的开区域G'.点(x°,y°) G (x, y)变换成uv平面上点(uo,v°) u