变化率与导数的概念

1、(2)在经营某商品中，甲用在经营某商品中，甲用5 5年时间年时间挣到挣到1010万万元，乙用元，乙用5 5个月时间个月时间挣到挣到2 2万元，如何比较万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？和评价甲，乙两人的经营成果？(1)在经营某商品中，甲挣到在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣万元，乙挣到到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？营成果？想一想想一想本题说明本题说明: :y y与与t t中仅比较一个量的变化是中仅比较一个量的变化是不行的不行的. .问题情境问题情境1 1 过山车过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣

2、、有惊无险的快感令不少人那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。着迷。 问题情境问题情境3 3o ox xy yB BC CB BC Cx xx xy yy yk k容易看出点容易看出点B,CB,C之间的曲线较之间的曲线较点点A,BA,B之间的曲线更加之间的曲线更加“陡陡峭峭”. .如何如何量化量化陡峭程度呢？陡峭程度呢？该比值近似量化该比值近似量化B,CB,C之间之间这一段曲线的陡峭程度这一段曲线的陡峭程度. .称该比值为曲线在称该比值为曲线在B,CB,C之之间这一段间这一段平均变化率平均变化率. .B BA AC C交流与讨论交流与讨论平均变化率的定义：平均变化率的定义： )(xf一般地

3、，函数在区间一般地，函数在区间 上的平均变化率为上的平均变化率为 12 ,x x2121()()fxfxxx(2)平均变化率是曲线陡峭程度的平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化数量化”，或者说曲线陡峭程度是平均变化率或者说曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化视觉化”建构数学理论建构数学理论说明说明:(1)平均变化率的实质就是平均变化率的实质就是:两点两点(x1,f(x1),(x2,f(x2)连连线的斜率线的斜率.yx（以直代曲思想）（以直代曲思想）（数形结合思想）（数形结合思想）“数离形时难直观，形离数时难入微数离形时难直观，形离数时难入微”华罗庚华罗庚平均变化率平均变化率 )(xf一般的，函数在区

4、间上一般的，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 ,21xx 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。曲线的割线）的斜率。结论：结论：yx2121()()fxfxxx例例1、已知函数、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=- -2x ,分别计算分别计算在区间在区间-3，-1，0，5上上 f(x)及及g(x) 的平均的平均变化率变化率. 数学应用数学应用思考思考: :一次函数一次函数y=kx+by=kx+b在区间在区间m,nm,n上的平上的平均变化率有什么特点？均变化率有什么特点？例例2、已知函数、已知函数 f(x)=x2,分别计算分

5、别计算f(x)在下列在下列区间上的平均变化率：区间上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.变题变题: :1.991.91.999课后思考课后思考: :为什么趋近于为什么趋近于2 2呢？呢？2 2的几何意义是的几何意义是什么？什么？数学应用数学应用xyp p133.1.2导数的概念导数的概念高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为度为h（单位：（单位：m）与

6、起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s )存在函数关系存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？20时时20时时2二二.新授课学习新授课学习2,22,2,.ttv计算区间和区间内平均速度 可以得到如下表格t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051v 当t = 0.01时,13.149v 当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,13.09951v 当t = 0.0001时,13.10049v 当t =0.0001时,0

7、99951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,13.0999951v t = 0.000001,13.1000049v t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105 . 69 . 4)(2ttth当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势? .,.lim,11302113220 定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt .时的极限时的

8、极限趋近于趋近于当当是是我们称确定值我们称确定值022113tthth 瞬时速度0limt(2)(2)13.1htht 示？处的瞬时变化率怎么表在、函数xxfxxflimxylimxf0 x0 x0即：、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：0 xlim 000 xxyxfxxxfy或记作：处的导数，在我们称它为函数定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xxxfxxfxx ylim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作0000( )() ()li

9、m. xf xxf xfxx )(0 xf 或或 , 即即0|xxy。其导数值一般也不相同的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(. 20一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同. 3导数的作用：导数的作用：导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:);()()1(00 xfxxfy 求求函函数数的的增增量量;)()()2(00 xxfxxfxy 求求平平均均变变化化率率.lim)()3(00 xyxfx 取取极极限限，得得导导

10、数数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限一差、二比、三极限例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均附近的平均变化率，并求出在该点处的导数变化率，并求出在该点处的导数 (3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求，求质点在质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例

11、分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数例例1. (1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数(1)(1)yfxf解：23(1)3x263()xx263()yxxxx63 x/00(1)limlim(63)6xxyfxx例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数( 1)( 1)yfxf 解：22( 1)( 1) ( 1)( 1)xx

12、 2()3xx 2()3yxxxx平均变化率3x /00( 1)limlim(3)3xxyfxx例例1.(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析题型二：求函数在某处的导数题型二：求函数在某处的导数(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t 2()6tt2()6stttt6t/00(3)limlim(6)6ttsftt例例1:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数; (2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.,)(21)1 () 1 (222xxxy 解解：,2)(22xxxxxy .

13、2|, 2)2(limlim100 xxxyxxy,)2( 2)212(21)2() 2(xxxxxy ,)2( 211)2( 2xxxxxxy .43|,43411)2( 211 limlim200 xxxyxxy.,21| ,:2000的的值值求求且且处处附附近近有有定定义义在在已已知知函函数数例例xyxxxyxx ,:00 xxxy 解解.1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy ,211limlim00000 xxxxxyxx . 1,2121,21| 000 xxyxx得得由由.yxy已知，求1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 练习

14、练习:xyxxxxxxDD=+ D-=+ D+解：.)0( |2的的导导数数数数：利利用用导导数数的的定定义义求求函函例例 xxy|,yx解：0,xyx 当时.0101 xxy0,xyx当时()1,yxxxxx则0lim1;xyx ()()1,yxxxxx 0lim1;xyx .,62).80(157:,.,220并说明它们的意义的瞬时变化率原油温度时和第计算第为单位的温度原油时如果在和加热行冷却油进对原需要品产柴油、塑胶等各种不同将原油精炼为汽油、例hhxxxxfCxh,根据导数的定义 xfxfxy22 .6f和 262,fhh就是原油温度的瞬时变化率时和第在第解 xxx1527215272

15、22 , 3742 xxxxx , 33limlim2,00 xxyfxx所以 .56 f同理可得.运运算算过过程程请请同同学学们们自自己己完完成成具具体体0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第与第时 原油温度的瞬时变化率分别为与它说明：在第附近 原油温度大约以的速率下降在附近 原油温度大约以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油温度在时刻 附近的变化情况计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的意义。 35f 13f）（，解：这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小时附近，小时附近，原油温度大约以原油温度大约以3的速率上升。的速率上升。练习：练习：小结：