经济学北大应用多元统计分析课件第三章

1、经济学北大应用多元统计分析课件第三章 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布 一、正态变量二次型的分布一、正态变量二次型的分布 二、二、威沙特分布威沙特分布 三、三、T2分布分布 四、威尔克斯统计量四、威尔克斯统计量 3.2 单总体均值向量的检验及置信域单总体均值向量的检验及置信域 3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验目目 录录( (一一) )2 一元统计中一元统计中, ,参数参数, ,2 2的检验涉及的检验涉及到一个总体、二个总体到一个总体、二个总体, ,乃至多个总体乃至多个总体的检验问题的检验问题; ;

2、 推广到推广到p元统计分析中元统计分析中，类似地对参类似地对参数向量数向量和参数矩阵和参数矩阵 涉及到的检验涉及到的检验也有一个总体、二个总体也有一个总体、二个总体, ,乃至多个总乃至多个总体的检验问题。体的检验问题。 第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3 在一元统计中，用于检验在一元统计中，用于检验, 2 2的抽样分布有的抽样分布有2 2分布分布, ,t 分布分布, ,F分布等分布等, ,它们都是由来自总体它们都是由来自总体N(N(, 2 2) )的样本导出的检验统计量的样本导出的检验统计量. . 推广到多元统计分析后，也有相应于以上推广到多元统计分析后，也有

3、相应于以上三个常用分布的统计量三个常用分布的统计量: : Wishart, Wishart, Hotelling Hotelling T 2 2,Wilks ,Wilks 统计量统计量, ,讨论这些统计讨论这些统计量的分布是多元统计分析所涉及的假设检验问量的分布是多元统计分析所涉及的假设检验问题的基础题的基础.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验4 设设Xi N N1 1( (i , ,2 2)()(i =1,.,=1,.,n),),且相互独立，记且相互独立，记第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布

4、几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型一般情况一般情况( (i 0 0，2 2 11时时),),结论结论1 15 结论结论2 2 当当i0(0(i=1,=1,n),),2 2 = =1 1时时, ,XX的分布常称的分布常称为非中心为非中心2 2分布分布. . 第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型 设设n维随机向量维随机向量XN Nn( (,In) ) ( (0),0),则称随机变量则称随机变量XX为服从为服从 n个自由度个自由

5、度, ,非中心参数非中心参数的的2 2分布，记为分布，记为 6第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型则则 结论结论3 3 设设XNn( (0 ,2 2In), A为为n阶对称方阵阶对称方阵, , rk(rk(A)=)= r, ,则二次型则二次型 XAX/22 2( (r) ) A2 2A( (A为对称幂等阵为对称幂等阵) ). .特例特例:当当A=In时时,7第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分

6、布几个重要统计量的分布-非中心非中心 t 分布和分布和F F分布分布8第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-非中心非中心t t分布的应用分布的应用 一元统计中，关于一个正态总体一元统计中，关于一个正态总体N(N(,2 2) )的均值检验的均值检验中，检验中，检验H H0 0：0 0时，检验统计量时，检验统计量否定域为否定域为|T| |，其中其中满足：满足： P|P|T| |=(显著性水平显著性水平).).9第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分

7、布几个重要统计量的分布-非中心非中心t分布的应用分布的应用 当否定当否定H H0 0时，可能犯第一类错误，且时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率第一类错误的概率P P“以真当假以真当假” P P| |T| |0 0 显著性水平显著性水平.当当H H0 0相容时，可能犯第二类错误，且相容时，可能犯第二类错误，且 第二类错误的概率第二类错误的概率P P“以假当真以假当真” P P| |T|=1 1 0 0 =.此时检验统计量此时检验统计量Tt( (n-1,-1,),利用非中心利用非中心 t t分布可以计分布可以计算第二类错误算第二类错误的值的值. .10第三章第三章 多元正态总体参数的假设检

8、验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) Wishart分布是一元统计中分布是一元统计中2分布的推广分布的推广.多元正多元正态总体态总体Np(,)中中,常用样本均值向量常用样本均值向量X作为作为的估计的估计，样本协差阵，样本协差阵SA/(n-1)作为作为的估计的估计.由第二章的定由第二章的定理理2.5.2已给出了已给出了XNp(,/n).S?. 一元统计中，用样本方差一元统计中，用样本方差作为作为2的估计，而且知道的估计，而且知道11第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正

9、态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) 推广到推广到p元正态总体元正态总体,样本协差阵样本协差阵SA/(n-1) 及随机及随机矩阵矩阵A(离差阵离差阵)的分布是什么的分布是什么? 设设X() (1,n)为来自为来自Np(0,)的随机样本的随机样本,考虑随机矩考虑随机矩阵阵的分布的分布.当当p=1时时，12第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特

10、分布) ) 推广到推广到p维正态总体时，随机矩阵维正态总体时，随机矩阵W的分布是什么的分布是什么? 设设X() Np(0,) (1,n)相相互独立，则称随机矩阵互独立，则称随机矩阵的分布为的分布为Wishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)，记，记为为WWp(n,).显然显然p=1时时 , 即即13第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) 一般地一般地,设设X()Np(,) (1,n) 相互独立相互独立,记记则称则称WXX服从非中心参数为服

11、从非中心参数为的非中心的非中心Wishart分布分布,记为记为WWp(n,).其中其中14第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布( (威沙特分布威沙特分布) ) 当当X()Np( ,) (1,n) 相互独立时，非中心参数相互独立时，非中心参数这里这里其中其中p为随机矩阵为随机矩阵W的阶数的阶数,n为自由度为自由度,一元统计中的一元统计中的2对应对应p元统计中的协差阵元统计中的协差阵.15第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几

12、个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质1 设设X()Np(,) (1,n)相互独立，则样本相互独立，则样本离差阵离差阵A服从服从Wishart分布，即分布，即 证明证明 根据第二章根据第二章 2.5的定理的定理2.5.2知知而而ZNp(0,)(=1,n-1)相互独立相互独立,由定义由定义 3.1.4可可知知AWp(n-1,).16第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 由于由于Wishart分布是分布

13、是2分布的推广分布的推广,它具有它具有2分布的一些分布的一些性质性质. 性质性质2 关于自由度关于自由度n具有可加性：具有可加性：设设Wi Wp(ni,) (i1,k)相互独立，则相互独立，则 性质性质3 设设p阶随机阵阶随机阵WWp(n,), C是是m p常数阵常数阵,则则m阶随阶随机阵机阵CWC也服从也服从Wishart分布分布,即即CWCWm(n,CC).17第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质证明证明其中其中 ZNp(0,)(=1,n)相互独立相互独

14、立.令令Y=CZ,则则YNm(0,CC). 故故 由定义有由定义有:18第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 aWWp(n,a) (a0，为常数为常数). 在性质在性质3 中只须取中只须取Ca1/2 Ip，即得此结论即得此结论.特例：特例： 设设l(l1,lp)，则则 l Wl W1 (n,l l),即即 22(n) (其中其中2l l). 在性质在性质3中只须取中只须取Cl ,即得此结论即得此结论.思考思考:试问随机阵试问随机阵W的对角元素的对角元素Wii

15、的分布？的分布？19第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质4 4 分块分块Wishart矩阵的分布矩阵的分布:设设X() Np(0,) (1,n)相互相互独立，其中独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则(习题习题3-4)20第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质5 设随机矩阵设随机矩阵WWp(n,)，则

16、则 E(W)n.证明证明:由定义由定义3.1.4,知知其中其中ZNp(0,)(=1,n)相互独立相互独立.则则21第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布分布 一元统计中一元统计中, 若若XN(0,1), 2(n) ,X与与 相互独立相互独立,则随机变量则随机变量下面把下面把 的分布推广到的分布推广到p元总体元总体. 设总体设总体XNp(0,)，随机阵随机阵W Wp(n,),我们来讨论我们来讨论T2nXW -1 X的分布的分布.22第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正

17、态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布分布 设设XNp(0,),随机阵随机阵WWp(n,) ( 0, np),且且X与与W相互独立相互独立, 则称统计量则称统计量T2nXW-1 X 为为Hotelling T2 统计量统计量,其分布称为服从其分布称为服从n个自由度的个自由度的T2 分布分布,记为记为T2 T2 (p,n). 更一般地更一般地,若若XNp(,) (0),则称则称T2 的分布为的分布为非中心非中心Hotelling T2 分布，记为分布，记为 T2 T2 (p,n,).23第三章第三章 多元正态总体参数的假设

18、检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质1 设设X() Np(,) (1,n) 是来自是来自p元总体元总体Np(,)的随机样本的随机样本, X和和A分别为总体分别为总体Np(,)的样本均值向的样本均值向量和离差阵量和离差阵,则统计量则统计量事实上事实上,因因 24第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质 而而AWp(n-1,),且且A与与X相互独立相互独立

19、.由定义由定义 3.1.5知知25第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质2 T2与与F分布的关系分布的关系:设设T2T2 (p,n)， 则则在一元统计中在一元统计中26第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质当当p=1时时,一维总体一维总体XN(0,2)，所以所以 注意注意:因因这是性质这是性质2的特例的特例:即即p=

20、1时时,T2F(1,n).27第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质一般地：一般地：(性质性质2的严格证明见参考文献的严格证明见参考文献2)其中其中X-1 X2(p,) (0)，还可以证明还可以证明2(n-p+1),且且与与独立独立.28第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质3 设设XNp(,), 随机阵随机阵WWp

21、(n,) ( 0, np),且且X与与W相互独立相互独立, T2nXW -1 X为非中心为非中心Hotelling T2 统计量统计量(T2 T2 (p,n,). 则则其中非中心参数其中非中心参数 . 29第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质 或 性质性质3 设设X() Np(,) (1,n) 是来自是来自p元总体元总体Np(,)的随机样本的随机样本, X 和和A分别为样本均值向量和离差阵分别为样本均值向量和离差阵.记记30第三章第三章 多元正态总体参数的假

22、设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质 一元统计中一元统计中(p=1时时),t 统计量与参数统计量与参数2无关无关.类似地有以类似地有以下性质下性质.性质性质4 T2统计量的分布只与统计量的分布只与p,n有关有关,而与而与无无关关. 即即31第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Hotelling T 2分布的性质分布的性质 事实上事实上,因因XNp(0,) (0),WWp(n,),则则-1/2XNp(0

23、,Ip)，因此因此32第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义分布的定义 一元统计中一元统计中,设设2(m),2(n), 且相互独立且相互独立,则则 在总体在总体N(1,2(x)和和N(2,2(y)方差齐性检验中方差齐性检验中,设设X(i)(i=1,m)为为来自总体来自总体N(1,2(x)的样本的样本, Y (j) (j=1 ,n)为来自总体为来自总体N(2,2(y)的的样本样本.取取2(x)和和2(y)的估计量的估计量(样本方差样本方差)分别为分别为33第三章第三章 多元正态总体参数

24、的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 分布的定义分布的定义检验统计量检验统计量 p元总体元总体Np(,)中中,协差阵协差阵的估计量为的估计量为A/(n-1)或或A/n.在在检验检验H0:12时时,如何用一个数值来描述估计矩阵的离散程如何用一个数值来描述估计矩阵的离散程度呢度呢.一般可用矩阵的行列式、迹或特征值等数量指标来描述一般可用矩阵的行列式、迹或特征值等数量指标来描述总体的分散程度总体的分散程度.34第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的

25、分布- Wilks 分布的定义分布的定义 设设XNp(,),则称协差阵的行列式则称协差阵的行列式|为为X的广的广义方差义方差.若若X() (1, n ) 为为p元总体元总体X的随机样的随机样本，本，A为样本离差阵为样本离差阵,有了广义方差的概念后有了广义方差的概念后,在多元统计的协差阵齐次检在多元统计的协差阵齐次检验中验中,类似一元统计类似一元统计,可考虑两个广义方差之比构成的可考虑两个广义方差之比构成的统计量统计量Wilks统计量的分布统计量的分布.35第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks

26、分布的定义分布的定义 设设A1Wp(n1,) ,A2Wp(n2,) (0,n1p), 且且A1与与A2独立独立,则称广义方差之比则称广义方差之比为为Wilks(或或)统计量统计量,其分布称为其分布称为Wilks(威尔克斯威尔克斯)分布分布,记为记为 (p,n1,n2) (或或p,n1,n2)36第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的统计量的性质性质 在实际应用中在实际应用中,常把常把统计量化为统计量化为T2统计量统计量,进而化为进而化为F统计量统计量,利用我们熟悉的利用我们熟悉的F统计

27、量来解决多元统计分析统计量来解决多元统计分析中有关检验的问题中有关检验的问题. 结论结论1 当当n21时时,设设n1=np,则则注意注意:在这里记号在这里记号(p,n,1)有两重含义有两重含义:统计量统计量(也是随机变量也是随机变量); 其其分布是参数为分布是参数为p,n,1的威尔克斯分布的威尔克斯分布.37第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的统计量的性质性质或或 证明证明 设设X() (1,n,n+1)相互独立同相互独立同Np(0,)分布分布,显然有显然有38第三章第三章 多元正态

28、总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的统计量的性质性质由定义由定义3.1.7，知，知39第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的统计量的性质性质利用分块矩阵求行列式的公式利用分块矩阵求行列式的公式(见附录的推论见附录的推论4.1):40第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的统计量的性质性质所以

29、所以结论结论2 当当n22时时,设设n1np,则则41第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的统计量的性质性质 结论结论3 当当p=1时，则时，则因因p=1时时,(1,n1,n2)就是就是 (n1 /2,n2 /2) 利用利用贝塔分布与贝塔分布与F分布的关系分布的关系,即有以上结论即有以上结论.42第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布- Wilks 统计量的统计量的性质性质结论结论4 当当p=2时，则

30、时，则 结论结论5 当当n22,p2时时,可用可用2统计量或统计量或F统计量近似统计量近似. Box(1949)给出以下结论：给出以下结论：设设(p, n, n2),则当则当n时，时， -rln2(p n2 ),其中其中r = n-(p- n2+1)/2.( (二个重要结论不要求二个重要结论不要求) )43第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 在多元统计分析中在多元统计分析中,考虑的总体是考虑的总体是p维正态总维正态总体体Np(,),关于均值向量的检验问题经常是需要的关于均值向量的检验问题经常是需要的. p元正态随

31、机向量的每一个分量都是一元正态变量元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变量,关关于均值向量的检验问题能否化为于均值向量的检验问题能否化为 p个一元正态的均值检个一元正态的均值检验问题呢验问题呢?显然这是不完全的显然这是不完全的.因为因为p个分量之间往往有个分量之间往往有互相依赖的关系互相依赖的关系,分开作检验分开作检验,往往得不出正确的结论往往得不出正确的结论.但我们可以构造出类似于一元统计中的统计量但我们可以构造出类似于一元统计中的统计量,用来用来对均值向量进行检验对均值向量进行检验.44第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体

32、均值向量的检验关于均值向量的检验包括关于均值向量的检验包括: 一个一个p元正态总体元正态总体Np (,),检验检验 H0: 0; 二个二个p元正态总体元正态总体Np(1,1)和和Np (2,2)，检验检验H0: 12 k个个p元正态总体元正态总体Np(i,)(i1,k),当协差阵当协差阵相等时检验相等时检验k个均值向量是否全相等个均值向量是否全相等(即多元方即多元方差分析差分析).45第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 设总体设总体XNp(,),随机样本随机样本X() (1,n).检验检验H0: 0 (0为已知向

33、量为已知向量),H1: 01. 当当0已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验利用二次型分布的结论利用二次型分布的结论(“2.结论结论1”)知知46第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验取检验统计量为取检验统计量为 按传统的检验方法按传统的检验方法,对给定的显著水平对给定的显著水平,查查2分分布临界值表得布临界值表得 :47第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 由样本值由样本值x() (1,n),计算计算X及及T20值值,若若T20 ,则

34、则否定否定H0,否则否则H0相容相容. 利用统计软件利用统计软件(如如SAS系统系统),还可以通过计算显著性概率还可以通过计算显著性概率值值(p值值)给出检验结果给出检验结果,且由此得出的结论更丰富且由此得出的结论更丰富. 假设在假设在H0成立情况下成立情况下,随机变量随机变量T20 2(p),由样本值计算由样本值计算得 到得 到T20的 值 为的 值 为d, 可 以 计 算 以 下 概 率 值 ：可 以 计 算 以 下 概 率 值 ： p=P T20 d ,常称此概率值为显著性概率值，或简称为常称此概率值为显著性概率值，或简称为p值值.48第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体

35、参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 对给定的显著性水平对给定的显著性水平,当当p值值时时(即即d值大值大,X与与偏差偏差大大),则在显著性水平则在显著性水平下否定假设下否定假设H0 ；在这种情况下在这种情况下,可能可能犯犯“以真当假以真当假”的第一类错误的第一类错误,且且就是犯第一类错误的概就是犯第一类错误的概率率. 当当p值值时时(即即d值小值小, X与与偏差小偏差小),则在显著性水平则在显著性水平下下H0相容；在这种情况下，可能犯相容；在这种情况下，可能犯“以假当真以假当真”的第二类错误的第二类错误,且犯第二类错误的概率且犯第二类错误的概率为为 =P T20

36、|当当=10 ,其中检验统计量其中检验统计量T20 2(p,),非中心参数非中心参数 =n(1 - 0)(0 )-1(1 - 0 ).49第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 p值的直观含义可以这样看值的直观含义可以这样看,检验统计量检验统计量T20的大小反映的大小反映X与与0的偏差大小的偏差大小,当当H0成立时成立时T20 值应较小值应较小.现在由观测数现在由观测数据计算据计算T20值为值为d；当当H0 成立时统计量成立时统计量T20 2(p),由由2分布分布可以计算该统计量可以计算该统计量d的概率值的概率值(即

37、即p值值). 比如比如p值值=0.02=0.05,表示在表示在 0的假设下，观测数的假设下，观测数据中极少会出现据中极少会出现T20的值大于等于的值大于等于d值的情况，故在值的情况，故在0.05的的水平下有足够的证据否定原假设，即认为水平下有足够的证据否定原假设，即认为与与0 有显著地有显著地差异差异.50第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 又比如当又比如当p值值=0.22=0.05时时,表示在表示在0的假设下，观测数据中经常会出现的假设下，观测数据中经常会出现T20的值大于等于的值大于等于d值的情况，故在值的情

38、况，故在0.05的水平的水平下没有足够的证据否定原假设，下没有足够的证据否定原假设， 即认为即认为与与0 没有显著地差异没有显著地差异.51第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 2. 当当未知时均值向量的检验未知时均值向量的检验 当当p=1时时(一元统计一元统计)，取检验统计量为，取检验统计量为 或等价地取检验统计量或等价地取检验统计量 52第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验推广到多元推广到多元,考虑统计量考虑统计量因因离差阵离差阵5

39、3第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验由定义由定义3.1.5可知可知利用利用T 2与与F分布的关系，检验统计量取为分布的关系，检验统计量取为54第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验例例 例例3.2.1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测今测量了量了20名健康成年女性的出汗量名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量钠的含量(X2)和钾的含量和钾的含量(X3)(数据见表数据见表3.

40、1).试检验试检验 H0:=0=(4,50,10)， H1: 0 . 55第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验例例 解解 记随机向量记随机向量X= (X1,X2,X3),假定假定XN3(,) . 检验检验 H0: 0， H1：0 .取检验统计量为取检验统计量为由样本值计算得由样本值计算得:56第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验例例57第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验 3.2 单总体均值向量的检验单总体

41、均值向量的检验例例 对给定对给定=0.05,按传统的检验方法按传统的检验方法,可查可查F分布临界值表得分布临界值表得=F3,17(0.05)=3.2,比较由样本值计算得到的比较由样本值计算得到的F值及临界值值及临界值,因因F值值=2.90453.2,故故H0相容相容. 利用统计软件进行检验时利用统计软件进行检验时,首先计算首先计算p值值(此时检验统计量此时检验统计量FF(3,17)： p=PF2.9045=0.06493 .因因p值值=0.064930.05=,故故H0相容相容.在这种情况下，可能犯第在这种情况下，可能犯第二类错误二类错误,且第二类错误的概率为且第二类错误的概率为 =P F3.2|=X =0.3616(假定总体均值假定总体均值=10,取