大学物理12_第十二章 波动

1、第十二章第十二章 波动波动 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 212.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播 12.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 12.3 波的能量波的能量 能流密度能流密度 12.4 波的干涉和衍射波的干涉和衍射 12.5 驻波驻波 12.6 多普勒效应多普勒效应 12.8 电磁波电磁波 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 312.1 机械波的产生和传播机械波的产生和传播 一、机械波一、机械波( mechanical wave )产生的条件产生的条件 1. 波源波源（振源振源）

2、：引起波动的初始振动物体）：引起波动的初始振动物体（如声带、乐器等）（如声带、乐器等） 波动是波动是振动状态振动状态（振动相位振动相位、振动能量振动能量）的传播，介质中各质点并不沿着波的传播方向的传播，介质中各质点并不沿着波的传播方向作超出振动范围的空间移动。作超出振动范围的空间移动。 2. 弹性介质弹性介质：能够传播机械振动的媒质：能够传播机械振动的媒质（如空气、水、钢铁等）（如空气、水、钢铁等） 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 4二、横波和纵波二、横波和纵波 1. 横波（凹凸波）横波（凹凸波）：介质中质点的振动方向：介质中质点的振动方向和波的传

3、播方向相互和波的传播方向相互垂直垂直。（如。（如 绳波）绳波） 2. 纵波（疏密波）纵波（疏密波）：介质中质点的振动方向：介质中质点的振动方向和波的传播方向相互和波的传播方向相互平行平行。（如。（如 声波）声波） uxOu xO 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 6三、机械波的描述三、机械波的描述 1. 波长波长 空间周期性空间周期性 波源或某一质点的波源或某一质点的振动状态振动状态（相位）在一个（相位）在一个振动周期内传播的距离称为波长。振动周期内传播的距离称为波长。 沿波的传播方向相位差为沿波的传播方向相位差为 的两质点间的距的两质点间的距离为一

4、个波长，即离为一个波长，即一个完整波形的长度一个完整波形的长度。 2相邻相邻波峰波峰(波谷波谷)相邻相邻疏部疏部(密部密部)即为一个波长。即为一个波长。 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 72. 波的波的频率频率 和和周期周期 T 时间周期性时间周期性 波传播一个波长所需要的时间称为波的周期。波传播一个波长所需要的时间称为波的周期。 单位时间内，波动传播的完整波形的数目为波单位时间内，波动传播的完整波形的数目为波的频率。的频率。 1 T 它们分别等同于它们分别等同于波源波源的频率和周期。的频率和周期。 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动

5、版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 83. 波速（相速）波速（相速） u 波动的传播速度，即单位时间内某一波动的传播速度，即单位时间内某一振动状态振动状态或或振动相位振动相位所传播的距离称为波速。所传播的距离称为波速。 Tu 机械波的波速完全取决于机械波的波速完全取决于介质介质的性质（弹性的性质（弹性模量、质量密度）。模量、质量密度）。 Gu Ku 对横波，用对横波，用切变弹性模量切变弹性模量对纵波，用对纵波，用体变弹性模量体变弹性模量大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 94. 波线波线、波面波面和和波前波前 任一时刻所有振动相位相同的点构成的面，称任一时刻

6、所有振动相位相同的点构成的面，称为为波面波面或或波阵面波阵面。 用于表示波的传播方向的射线，称为用于表示波的传播方向的射线，称为波线波线。 波动中，最前方的波面称为波动中，最前方的波面称为波前波前。 s 平面波平面波 球面波球面波波线垂直于波线垂直于波面波面大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 1012.2 平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数 波函数波函数（波动方程波动方程）：描述介质中各质点的位）：描述介质中各质点的位移随时间的变化规律的数学表达式。移随时间的变化规律的数学表达式。 简谐波简谐波：简谐运动在介质中传播所形成的波。：简谐运动在介质中传播

7、所形成的波。 简谐波是最简单和最基本的波。任何复杂的波简谐波是最简单和最基本的波。任何复杂的波都可以看成是一系列简谐波的合成。都可以看成是一系列简谐波的合成。 平面简谐波平面简谐波：波阵面为平面的简谐波。：波阵面为平面的简谐波。 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 11一、平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数 设简谐波设简谐波沿沿 x 轴正方轴正方向传播向传播，波速为，波速为 u 。坐标。坐标 x 表示各个质点在波线上表示各个质点在波线上的平衡位置，的平衡位置，y 表示它们表示它们相对各自的平衡位置的位相对各自的平衡位置的位移。其波函数为移。其波函

8、数为 ),(txfy xyOu(0, y0)P(x, y)t 时刻的波形图时刻的波形图大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 12假定原点假定原点 O 处质点的运动处质点的运动方程为方程为 )cos(00 tAyP 处质点的振动在处质点的振动在时间时间上比上比O 处质点处质点落后落后 ，uxt P 点的运动方程，即沿点的运动方程，即沿 x 轴轴正向正向传播的平面简传播的平面简谐波的谐波的波函数波函数为为 )(cos0 uxtAyxyOu(0, y0)P(x, y)t 时刻的波形图时刻的波形图大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴

9、龙泉吴龙泉 13xyOu(0, y0)P(x, y)t 时刻的波形图时刻的波形图 xt2 或在某一时刻，或在某一时刻， P 点的点的振振动相位动相位比比 O 点的点的落后落后 波函数也可写为波函数也可写为 )2cos(0 xtAy 角波数角波数 ，它表示在长度为，它表示在长度为 米内的米内的完整波形数目。完整波形数目。 2 k 2大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 14若简谐波若简谐波沿沿 x 轴负方向传播轴负方向传播， P 点的振动比点的振动比 O 点的点的超前超前，则波函数为则波函数为 xyOu(0, y0)P(x, y)t 时刻的波形图时刻的波形

10、图)(cos0 uxtAy总结：总结：波函数波函数的各种的各种形式形式 )(cos0 uxtAy)(2cos0 xTtAy)2cos(0 xtAy 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 15讨论讨论 若已知若已知 xM 处质点的运动方程为处质点的运动方程为 )cos(MMtAy )(cosMMuxxtAy )(2cosMMxxTtA 可得沿可得沿 x 轴轴正向（负向）正向（负向）传播的平面简谐波的传播的平面简谐波的波函数波函数为为 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 16二、波函数的意义二、波函数的意义 物理意义

11、：波线上平衡位置在坐标物理意义：波线上平衡位置在坐标 x 处的任一处的任一质点，在时刻质点，在时刻 t 离开其平衡位置的位移。离开其平衡位置的位移。1. 若若 x = x1 值一定，得值一定，得 x1 点的点的简谐运动方程简谐运动方程 )(cos01 uxtAy)cos(10 tA 10102x 其中其中 Tttt 2同一质点不同时刻的相位差：同一质点不同时刻的相位差： x1 点的初相位点的初相位大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 172. 若若 t = t1 值一定，得值一定，得 t1 时刻的时刻的波形方程波形方程 )(cos01 uxtAy)2co

12、s(01 xA 0101 t其中其中 xxxx 212同一时刻同一时刻 x2 和和 x1 点的相位差：点的相位差： 坐标原点坐标原点 t1 时刻的相位时刻的相位 在同一时刻，沿着波的传播方向，波程每增在同一时刻，沿着波的传播方向，波程每增加一个波长，相位减少加一个波长，相位减少 。 2称为称为波程差波程差 12xxx 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 183. 若若 x , t 都在变化，波函数给出了波线上各个都在变化，波函数给出了波线上各个质点在不同时刻的位移。质点在不同时刻的位移。 xyOut 时刻时刻tux t +t 时刻时刻t 时刻时刻 x

13、点的位移点的位移 )(cos0, uxtAytx 时刻时刻 点的位移点的位移 )(cos0, uxxttAyttxxtt xx 其中其中 ，代入上式可得，代入上式可得 tux txttxxyy, 行波行波 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 19例例12.1 一平面简谐波在一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图如图时刻的波形图如图所示，求：所示，求： 该波的波函数；该波的波函数； P 处质点的处质点的振动方程。振动方程。 解解： 由波形图可知由波形图可知 m04. 0 A0cos00 Ax0sin00 A)m(2)40. 05(2cos04. 0 x

14、tyx(m)y(m)Ou = 0.08m/sP0.20-0.04m40. 0 且有且有 20 得得 s5 uT 又又 波函数为：波函数为： 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 20)m(2)40. 05(2cos04. 0 xty波函数为：波函数为： 把把 P 点的坐标点的坐标 x = 0.20 m 代入波函数，即得代入波函数，即得 P 点的振动方程：点的振动方程： 2)40. 020. 05(2cos04. 0 ty)m()2352cos(04. 0 t大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 21例例12.2 在

15、一维简谐波中，有一质点作简谐运动，在一维简谐波中，有一质点作简谐运动，周期为周期为 2 s，振幅为，振幅为0.06 m，开始时质点处于负开始时质点处于负向最大位移处向最大位移处，此波以速度，此波以速度 u = 20 m/s 沿沿 x 轴轴负方向传播负方向传播。 以该点的平衡位置以该点的平衡位置 O 为坐标原为坐标原点，写出波函数；点，写出波函数； 点点 A 在在 x 轴正方向与点轴正方向与点 O 相距相距 5 m 处，以点处，以点A为坐标原点，写出波函数；为坐标原点，写出波函数； 点点 B 在在 x 轴正方向与点轴正方向与点 O 相距相距 9 m 处，求处，求点点 B 在在 t = 2 s 时

16、的振动速度。时的振动速度。 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 22解解： 由初始条件由初始条件 AAx 00cos 0得得 )m()20(cos06. 0 xty波函数为：波函数为： rad/s2 T又又 点点 A 的振动初相比点的振动初相比点 O 的超前，即的超前，即 AAx20 4520 uTxA)m(45)20(cos06. 0 xty以点以点 A 为坐标原点，波函数为：为坐标原点，波函数为： 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 23 把把 xB = 9 代入代入的波函数中，即得点的波函数中，即得点 B

17、 的的振动方程：振动方程： )m()2029cos(06. 0 tyB点点 B 的速度方程：的速度方程： )m/s()2029sin(06. 0dd ttyBBt = 2 s 时点时点 B 的振动速度为：的振动速度为： )m/s(186. 0)209sin(06. 0 B大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 2412.3 波的能量波的能量 能流密度能流密度 一、波的能量传播一、波的能量传播 O x dx y dx+dy )(cos0 uxtAy以一平面简谐以一平面简谐纵波在棒中传播为纵波在棒中传播为例，波函数为例，波函数为 动能：动能： 22)(d(21

18、)(d21dtyVmEk VuxtAd)(sin210222 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 25F弹性势能：弹性势能： 2)(d21dykEp S dx y dx+dy FFd xyESFddd ykFdd Eu xESyFkddd 22)(d21dxyxSuEp VuxtAd)(sin210222 波速：波速： kpEEdd 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 26质元的总能量：质元的总能量： pkEEEddd VuxtAd)(sin0222 质元的动能、势能和总能量都随时间作周期质元的动能、势能和总能

19、量都随时间作周期性变化，而且是同步变化，质元的总能量不性变化，而且是同步变化，质元的总能量不守恒。守恒。 质元在平衡位置处，动能、势能和总能量都质元在平衡位置处，动能、势能和总能量都达到最大值，而在振幅位置处，能量最小。达到最大值，而在振幅位置处，能量最小。 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 27波的波的能量密度能量密度单位体积中介质的波动能量单位体积中介质的波动能量 VEwdd )(sin0222 uxtA平均能量密度平均能量密度： TtuxtATw00222d)(sin1 2221 A 平均能量密度正比于振幅的平方。平均能量密度正比于振幅的平方。

20、 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 28二、能流和能流密度二、能流和能流密度 1. 能流能流 P 波在单位时间内垂直通过某一波在单位时间内垂直通过某一面积的能量面积的能量 S u udt wuStVwtEP dddd平均能流平均能流 uSwP P 单位：单位：瓦特瓦特 ( W ) 能流也称为能流也称为波的功率波的功率。 对比电流的对比电流的定义定义 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 292. 能流密度能流密度 I 单位时间内垂直通过单位单位时间内垂直通过单位面积的平均能量面积的平均能量 uwSPI 也称为也

21、称为波的强度波的强度 uA2221 单位：单位：瓦特瓦特/平方米平方米 ( Wm-2 ) 对比电流密对比电流密度的定义度的定义 大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 3012.4 波的干涉和衍射波的干涉和衍射 一、波的叠加原理（独立性原理）一、波的叠加原理（独立性原理） 当几列波同时在同一介质中当几列波同时在同一介质中传播时，只要波的振幅（或强度）传播时，只要波的振幅（或强度）不太大，那么各列波在相遇前后不太大，那么各列波在相遇前后都保持原有的性质（频率、波长、都保持原有的性质（频率、波长、振动方向等），并按各自的传播振动方向等），并按各自的传播方向继续

22、向前传播。而在波的相方向继续向前传播。而在波的相遇区域里，各质点的振动是各列遇区域里，各质点的振动是各列波在该处引起的振动的合成。波在该处引起的振动的合成。大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 31二、波的干涉二、波的干涉 如果有两列简谐波在同如果有两列简谐波在同一介质中传播，它们的一介质中传播，它们的频率频率相同相同、振动方向平行振动方向平行、在相、在相遇点的相位相同或遇点的相位相同或相位差恒相位差恒定定，那么它们叠加后将出现，那么它们叠加后将出现稳定的图样，某些位置质点稳定的图样，某些位置质点的振动始终加强，某些位置的振动始终加强，某些位置质点的振动

23、始终减弱，这种质点的振动始终减弱，这种现象称为现象称为波的干涉波的干涉。 *S1S2S大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙泉 322P 1P S1 S2 r1 r2 P 设有两相干波源设有两相干波源 S1、S2 的的振动方程为：振动方程为： )cos(1011 tAy)cos(2022 tAy当两列波各自传到当两列波各自传到 P 点时，点时，P 点同时参与了两点同时参与了两个同方向同频率的简谐运动：个同方向同频率的简谐运动： )2cos(10111 rtAyP)2cos(20222 rtAyP大学物理学大学物理学第十二章第十二章 波动波动 版权所有版权所有吴龙泉吴龙