勾股定理竞赛试题

1、勾股定理培优训练B8.已知ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的1.A.如图，ABC的顶点A、B、C在边长为1B.的正方形网格的格点上,C.BtUAC于点D.则BD的长为（）D.2.A.3.E、如图，四边形ABCAB=ADAD/BC.B-:ABC中，AB=ACZBAC=90,直角ZF,给出以下四个结论：ZABC=60,C.EPF的顶点/BCD=30,BC=那么AACD的面积是（）2_D.】二P是BC的中点，两边PE、PF分别交ABAC于A.n-22B.2n

2、1C.2n9.已知直角三角形的斜I边为2，周长为2+掘.则其面积是A.B.1C.卜12210.卜列五个命题：面积是（）（1）若直角三角形的两条边长为5和12,则第三边长是13;AE=CFMEPF是等腰直角三角形EF=AP当ZEPF在ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合）S四边形AEPISxABC2,则上述结论始终正确的有（A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，已知圆柱底面的周长为4dm圆柱高为（2）如果a0,那么1.=a（3）若点P（a,b）在第三象限，则点P（-a,-b+1）在第一象限;（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中

3、不正确命题的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cmBC=8cm现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，贝UCD等于（）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm.2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为b,那么（a+b）2的值为（）2dm,在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属A.13B.19C.25D.169丝，则这圈金

4、属丝的周长最小为（）A.4谿2dmB.2、：dmC.2、m5.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果从点13.如图，矩形ABCD勺边长AB=BC=8,将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，贝晰痕EF的长是达点B,那么所用细线最短需要（）cm.A.10nC.M9/+16D.4.!，dmA开始经过4个侧面缠绕n圈到D.A.7.5B.6C.10D.56.在AABC中，ZACB=90,AC=12,BC=5,AM=ACBN=BC贝UMN勺长为（A.2B.2.6C.37.如图，在ABC中，ZBAC=30,AB=ACD.14 AD是BC边上的中线，ZACE旦ZBACCE交AB于点E,2交

5、AD于点F.若BC=Z则EF的长为（）C.1二.填空题.如图，AAB。和CED均为等边三角形，AC=BCAdBC若BE我，贝UCD.在RtABC中，/C=90,D为BC上一点，/DAC=30,BD=2AB=，贝UBC的长是已知a,b,c是直角三角形的三条边，且avbvc,斜边上的高为h,则下列说法中正确的是.(只填序号)ab+h=(a+b+1)h;b+ch=bc；由国瓯、噂匚可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是.222.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.如图

6、，在四边形ABCD,AB=2,CD=1,ZA=60,ZB=ZD=90,则四边形ABCD勺面积是.16. 如图，四边形ABC*矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F,ZAED=ZCED点G是DF的中点.若BE=2,AG=&则AB的长为.17. 三.解答题如图，已知ADAABC的高，ZBAC=60,BC=3,AC=2试求AB的长.操作发现：将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC勺斜边与含30。角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.问题解决：将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上，AC与BD交于点0,连接CD如图.(1) 求证：CDO是等腰三

7、角形；(2)若DF=8,求AD的长.21.已知a,b,cABC的三边长,是什么三角形.23.已知，如图，在RtABC中，ZACB=90,ZA=30,CtAB交AB于点E,且CD=ACDF/BC分别与ABAC交于点GF.(1)求证：GE=GF(2)若BD=1,求DF的长.24. 已知：如图，AB(,ABAC,AEBC&上的高.求证:25. 已知：ABC是钝角三角形，CD垂直BA延长线于D,求证:22_2BC2AB2AC22ABAD26.如图，在RtABg,/C=90,aE+bU=eU.在四边形ABCW，已知AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,ZABD%BDC=90，四边形ABCD勺面

8、积27.如图，ABC中，ZA=90,心20,A10,延长AB到D使CD手AOAB求BD的长.为2 .如图，在RtABC中，ZACB=90,ZCAB=30,ZACB的平分线与/ABC的外角平分线交于E点，则ZAEB=().28.如图，将矩形ABC船EF折叠，使点D与点B重合，已知AA3,AA9,求BE的长.3 (A)500(B)450(C)400(D)350.如图，RtABCZO90,/B=30,BC=6,D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是(第3题)4、如图，方格图中小正方形的边长为1,将方格中阴影部分29.如图，折叠矩形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已

9、知A申8cm,BO10cm,求EC的长.5、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点(A)V3a(B)(12)a(C)3a(D)Z|30.已知：如图，ABC中，/C=90,D为AB的中点，E、F分别在ACBC上，且DHDF求证:1.5米的同学落在地面,他们测得地面部分的影6、某数学课外实验小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一名身高为上的影子长为1.35米，因大树靠近一幢大楼，影子不会落在地面上（如图）BC=3.6CD=1.8AB=14.已知一个梯形的四条边长分别为A.52、3、4、5,则此梯形的面积为（10.3C.3)C145D.37、一直角三角形两边分别为3和5,则第三边

10、为A、4B、34C、4或V34D、215.如图，四边形ABCg,ZA=Z890,/ABA60,A44,CA10,贝UBD的长等8、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为A.4.13B.83C.12D.10,3A、120cmB、60j3cmC、60cmD、cm20%/39、等腰三角形的底角是15。，腰长为10,则其腰上的高为10、已知，如图(1)在ABC中，ZACB90,AC=8,BC=6,CDCE分别是斜边AB上的中线和高。贝U下列结论错误的是（）/、AAB=10BCD=516.如图，

11、ABC中，AAAO2,BC边上有10个不同的点R,P2,P10,记MjAR2RBRC245CCE=DDE=BE=5211、如图（3）,在等腰直角三角形ABg,z/C=90,D为BC的中点,将ABC叠，使点A与点D重合，EF为折痕，贝UAFCF=（）M2M10的值为（A.4B.14C.40D.A不能确定（第14题图）（第15题图）A.2:1B.3:2C.5:3D.7:512、如图（10）是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、GD的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（A.46B.47C.48D.4913、如图，已知ABg,/ABG

12、90。，AB=BC三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,12,|3上，且|1,l2之间的距离为1,l2,|3之间的距离为3，则点B到AC的距离是如图将边长为12cm的正方形ABC斯叠，使A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG若FG的长为13cm,则CE的长=（）cm（A）5（B）6（Q78如图，P为正方形ABC纳一点，PA：PB：PO1:2:3,则ZAPB=如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，A市受台风影响持续的时间是40hMABOAC4ECNBP分别为则此直角三角形的周长最小值是条直角边长是21CABPDAADCGCBEFCFKPABBEC

13、EB10hEF的长为都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变G在线段DK上，正方形BEFGC.1.5cmD.2cmDP=3AP(F27.如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片BC、DA上的点D.以上都不对30hD0.5cm1cmFDC.3Ar-FRD.*2D20hCAM28.正方形ABCD的边长为4,E、F动点），贝UEF+FP的最小值为（PKRF的位置如图所示ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处压平后得到折痕MN,则线段AM的长度26.如图，每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点ABCD中，AB=6,BC=8若将矩形折叠15B.4D.6如图，在矩形15A.2C.5资料收集于

14、网络，如有侵权请联系网站删除得到，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则它移动的距离AA等于正方形ABCD,正方形BEFG和正方形的边长为2,则DEK的面积为（A.4B.2D23.29.如图，梯形ABCD下底分别为14,对角线AC=4BD=3,则梯形ABCD的面积为24、如图，在正方形ABCD中，BD=BE,CE/BD,BE交CD于F点，则ZDFE的度数为(A.45B.60C.75D.90如图所示，AEAB,BCCD且AB=AE,BC=CD,F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是30、（本题满分7分）一次“探究性”学习课中，（1）请你分别观

15、察a、b、c与n的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示:ab=c=（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。老师设计了如下数表:n2345a22-132-1；42-152-1b46810c22+132+142+152+125.根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处（如图4）,正以20km/h的速度向北偏西60方向移动，距离台风中心250km范围内31、（本题满分8分）资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除如图，某城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=10

16、0km.(1) 台风中心经过多长时间从B移动到D点？已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6:00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？34、如图（7）入8。的左CED均为等边三角形，AC=BC,AC_BG若BE2，贝UCD=资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除32、（本题满分9分）如图，梯形ABCD中,AD/BC且ABBC,已知AD=1,AB=BC=4.（1）求DC的长。（2）若E为AB中点，连结DE,CE,求证：DE平分ZADC,CE平分ZDCB35.如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=12

17、,E为AB中点，/DCE=45，求DE的长（10分）33.（本小题满分9分）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P）,P到A、B的距离之和S1PAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P）,P到A、B的距离之和S2PAPB.（1）求S、S,并比较它们的大小；（2）

18、请你说明S2PAPB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.22、（本题8分）如图，四边形ABCD为等脱少衫，AD/BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,且ACBDADhBC。七求证：DH=】（AD+BC）BC2若AC=6，求梯形ABCD的面积。36、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（ABVBC）的对角线的交点。旋转（r），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与

19、矩形ABCD的边CD、BC的交点。该学习小组成员意外的发现图（三角板一直角边与OD重合）中，BN2=CD2+CN2,在图中（三角板一边与OC重合），CN2=bn2+CD2,请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由。试探究图中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由。的结论证明并求其值。将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕。点旋转到图，两直角边与AB、BC分别交于M、N,直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系（不需要证明）38.（8分）如图，ABC的边AB=3,AC=2,1、H求图中三个阴影部分的面积之

20、和的最大值是多少？m分别表示以AB、AC、BC为边的正方形,39.已知a、b、c为VABC的三边，（1）若a4b2c22（若a2b22十+管cb的佰（2）石abcbc口J|且。abac37、（本题12分）如图，四边形ABCD位于平面直角坐标系的第一象限，B、C在x轴上，A点函数y-x上，且AB/CD/y轴，AD/x轴，B（1,0）、C（3,0）。试判断四边形ABCD的形状。A；D若点P是线段BD上一点PEBC于E,M是PD的中点，如EM、BAMoC求证：AM=EM在图中，连结AE交BD于N,则下列两个结论:40.如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸MN上有一排间隔为50米的电线杆C、D、E

21、某人在河岸PQ的A处测得CAQ30，然后沿河岸走了110米到达B处，测得DBQ45o,求河流的宽度。MW/41.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8,将纸片折叠，使顶点/B落在边Q的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10.FfU当折痕的另一端F在AB边上时，如图，求EFG的面积；当折痕的另一端F在AD边上时，如图，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长.小BNDM活令值不变；MN_2_2BNDMMN2只供学习与交流的值不变。其中有且仅有一个是正确的，请选择正确A7、如图，正方形网格中的ABG若小方格边长为1,则ABC是()A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、以上答案都不对三

22、、解答题1、有一边长为4米的水池的池中央，竖着一根竹竿，竹竿高出水面1m,一阵风吹来，竹竿倒向一边,竹竿的顶端恰好靠在池边，顶端与水面相平。求这里的水深是多少米？一、填空1、若三角形的三边之比是7:24:25,则这个三角形是三角形。2、ABg,/A是ZB的2倍，/C比ZA+ZB还大12,则这个三角形是三角形。3、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,则斜边上的高是。4、在RtABC中，/C=90,(1)若a=6,b=8,则c=;(2)若c=13,b=12,则a=;(3)若a=21,c=28，则b=;5、小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，贝

23、UAB=米。6、若一块直角三角板，两直角边分别为12cm和5cm,不移动三角板，能画出的线段最长是cm。7、在RtABC中，ZACB=90,CDAB于D,AC=6,AB=10，则BD=。8、在等腰直角三角形中，斜边长为50cm，则它的面积为。9、在直角三角形中，三边长分别为5、12,则第三边长为。10、等腰三角形腰和底边的比是3:2,若底边长为6,则底边上的高为。11、小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2,其对角线长为10m,为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，那么鱼池的周长为米。12、现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm,若要钉成一个直角三角形木架，则所需最短的木棒

24、的长度为。二、选择题2、小明要外出旅游，他带的行李箱长40cm，宽30cm,高60cm,一把70cm长的雨伞能否装进这个行李箱？3、如图：有一圆柱，它的高等于8cm,底面直径等于4cm(3)在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程。1、下列三角形中，一定是直角三角形的有(个A、1个B、2个C、3个D、44、如图，是由四个大小完全相同的直角三角形拼合而成的,求直角三角形两直角边的长。若图中大小正方形的面积分别为62.5和4,有两个内角互余的三角形；三边长为m2n2、2nm、m2+n2(mn0)的三角形;三边的比为3:4:5的三角形；三个内角的比

25、是1:2:3的三角形；2、有长度为9cm,12cm,15cm,36cm,39cm的五根木棒，能搭成(首尾顺次相连)数为()A、1个B、2个C、3个D、4个3、若线段a,b,c组成RtA，则它们的比可以为()A、2:3:4B、3:4:6C、5：12：13D、4:6:74、三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形角三角形.5、一直角三角形的斜边比一直角边大4,另一直角边长为8,则斜边长为(A、6B、8C、10D、126、直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm,则其面积为()A、12cm2B、10cm2C、8cm2D、6cm2直角三

26、角形的个D.锐5、如图，/ADC=90,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积。6、厂门的上方是一个半圆，一辆装满货物的卡车，宽为1.6m,高为2.6m,这辆卡车能否通过厂门(要4、已知在ABC中，AD=8,AB=17,AC=10,ADBC,求BC的长。资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除求卡车的上端与门的距离不小于0.2m）?（图中单位：m）5、如图，在ABC中，CE是AB边上的中线，CDLAB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长。8、如图，在ABC中，CDAB于D,若AB=4,AC=3,BC=2，求BD的长。12、ABC中，AB=15,AC=13

27、,ADBC,且AD=12，求ABC的面积。例2.四边形ABCD中ZDAB=60,ZB=ZD=RtZ,BC=1,CD=2求对角线AC的长解：延长BC和AD相交于E,则ZE=30CE=2CD=4,在RtABE中设AB为x,则AE=2x根据勾股定理x2+52=(2x)2,x2=3在RtABC中，AC=d12:竺1=-V21，337、如图，ABC中，ZC=90,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=8,MB=2MC,求AC。例3.已知ABC中，AB=AC,ZB=2ZA求证：AB2BC2=ABXBC证明：作/B的平分线交AC于D,则ZA=ZABD,/BDC=2/A=ZCAD=BD=BC作BMA

28、C于M,贝UCM=DMAB2BC2=(BM2+AM2)(BM2+CM2)提局训练1、若一个三角形的边长分别是12、16和20,则这个三角形最长边上的高长是。2、如图是一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为3dm2dm2dmA和B是这个盒子两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着盒子表面面爬到B点最短路程是dm.3、有一直角三角形，其两边分别为12和16,则该三角形的三条角平分线的交点到斜边的距离4. 1.ABC中，AB=25,BC=20,CA=15,CM和CH分别是中线和高。那么S3bc=,CH=,MH=梯形两底长分别是3和7,两对角线长分别是6和8,贝US梯形=已知：

29、ABC中，AD是高，AbcAFC(5)EFMCCCDEBAF.(11)(12)FDABHMCBCFpi00CBGDEBD即ACBDDE/AC（2001年希望杯数学邀请赛解：根据勾股定理ADBC,ADDFAHFH,EHBHDF/BCBDAB/CD,ADBCbaDE=VDHMDBC,MEAC,MFABEHFDa2-b2=bc求证ZA=2ZB个数是偶数。（用反证法）在ABC中，ZC是钝角求证每一组勾股数中至少有-已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长10等腰直角三角形ABC斜边上一点P,求证：AP2+BP2=2CP211.已知ABC中，ZA=RtZ,M是BC的中点，E,F分别在AB,ACMEMF求证：EF2=BE2+CF213.ABC中，AB=AC=2,BC边上有100个不同的点记mi=APi2+BPiXPiC（I=1,2，100）（1990年全国初中数学联赛题）12.RtABC中，ZABC=90,/C=60,BC=2,D是AC的中点DF,贝UDF的长是.求证：AE=AF6.已知：M是ABC内白且BD=BF,CD=CE求