用matlab编程设计切比雪夫低通滤波器

1、目录1 摘要 . 32 设计原理 .42.1切比雪夫滤波器介绍 .42.2滤波器的分类 .52.3模拟滤波器的设计指标 .63 切比雪夫 I 型滤波器 .73.1 切比雪夫滤波器的设计原理 .73.2 切比雪夫滤波器的设计步骤 .103.3用 matlab 编程设计切比雪夫低通滤波器 .114总结 . 185参考文献 .18摘要随着信息和数字时代的到来，数字信号处理已成为当今一门 极其重要的学科和技术领域。在现代通信系统中，由于信号中经 常混有各种复杂成分， 因此很多信号的处理都是基于滤波器而进 行的。 所以，数字滤波器在数字信号处理中起着举足轻重的作用。而数字滤波器的设计都要以模拟滤波器为基

2、础的，这是因为模拟 滤波器的理论和设计方方法都已发展的相当成熟，且有典型的 模拟滤波器供我们选择。，如巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器 等。本次课程设计将运用 MATLAB计一个基于切比雪夫低通滤 波器，并出所设计滤波器的幅度及幅度衰减特性。关键词 ：滤波 切比雪夫 模拟低通1 切比雪夫滤波器介绍在巴特沃兹滤波器中，幅度响应在通带和阻带内都是单调的。 因此，若 滤波器的技术要求是用最大通带和阻带的逼近误差来给出的话，那么，在靠近通带低频端和阻带截止频率以上的部分都会超出技术指标。一种比较有效的途径是使逼近误差均匀地分布于通带或阻带内， 或同时在通带和阻带内都 均匀分布，这样往往可以降低所要求的滤

3、波器阶次。 通过选择一种具有等波 纹特性而不是单调特性的逼近方法可以实现这一点。切比雪夫型滤波器就具 有这种性质：其频率响应的幅度既可以在通带中是等波纹的，而在阻带中是单调的(称为 I 型切比雪夫滤波器)，也可以在通带中是单调的，而在阻带 中是等波纹的(称为 II 型切比雪夫滤波器)，其中切比雪夫 II 型滤波器又 称为逆切比雪夫滤波器。I 型切比雪夫滤波器的幅度平方函数是其中&是一个小于 1 的正数，它与通带波纹有关，&越大，波纹也越大, 式中为 N 阶切比雪夫多项式，定义为当 N 大于或等于 1 时，从定义切比雪夫多项式可以直接得出由CN(X)和CNMX)求CNMX)的递推

4、公式。将三角恒等式代入(2.2)式，得时，COS1X是虚数，所以CN(x)像双曲余弦一样单调地增加。参考(2.1)， |Hc(j 对于 o/P1 呈现出在 1 和 1/ (12)之间的波动；而对于/P 1 单调地减小。需要用三个参量来确定该滤波器：，P和 No1|Hc(j )|2=2CN(/c)(2.1)1CN(x)cos(N cos x)(2.2)CN 1(X)=2XCN(X)CN1(X)(2.3)从(2.2)式我们注意到，当 01在典型的设计中，用容许的通带波纹来确定 ，而用希望的通带截止频率来确定co然后选择合适的阶次 N,以便阻带的技术要求得到满足。定义允许的通带最大衰减p用下式表示:

5、maxHa(j )1丨. 盹丽眾,1为了求切比雪夫滤波器在椭圆上极点的位置， 我们首先要这样确定，在 大圆和小圆上以等角度 等间隔排列的那些点：这些点对于虚轴呈对称分 布，并且没有一个点落在虚轴上；但当 N 为奇数时要有一个点落在实轴上， 而当 N 为偶数时，就都不会落在实轴上。切比雪夫滤波器的极点落在椭圆上，起纵坐标由相应的大圆上点的纵坐标来表示， 起横坐标由相应的小圆上点的 横坐标来表示。3 切比雪夫 I 型滤波器3.1 切比雪夫低通滤波器的设计原理切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性。它有两种形式：振幅特性 在通带内是等波纹的，在阻带内是单调递减的切比雪夫 I 型滤波器，振幅特 性在阻

6、带内是等波纹的，在通带内是单调递减的切比雪夫 II 型滤波器，如 图所示分别画出了滤波器的幅频特性和衰减函数。min ha( j )o（弟0(b)n以切比雪夫 I 型为例介绍其设计原理2幅度平方函数用|H(j )表示H(j )1* 2CN( )( 2-3-1)p式中， 为小于 1 的正数，表示通带内幅度波动的程度,因此H|11N为IS款_J/l+t：11LA越大，波动定义允许的通带内最大衰减p用下式表示式中幅度也越大。p称为通带截止频率。令，称为对p的归一化频率。pioigminmax Ha( j )2in Ha(j )2(2-3-2)maxha(j )2(2-3-3)(2-3-4)pioig

7、(i2)(2-3-5)2100.1 p1I Ha j可以解出arch -V Hajsarchs按照（2-3-1 ）式，有经过一系列推论(2-3-6 )这样，可以根据通带内最大衰减p，可求出参数。阶数 N 影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏密，因为 N 等于通带内的最大值和最小值的总个数。设阻带的起点频率为s，则有H(js)|2(2-3-7)，由ps1,有CNch Narchs2CN2(Tp(2-3-8)(2-3-9)pch archN(2-3-10)Hajs3dB 截止频率用c表示,Ha12(2-3-11)pch丄 arch1N(2-3-12)Ga1NN 12P Pi得归一化系统函数为

8、(2-3-13)去归一化的系统函数为GaPsP pPNN 12P Pi pi 1(2-3-14 )3.2 切比雪夫低通滤波器的设计步骤(1) 确定低通滤波器的技术指标：边带频率阻带最大衰减s、阻带截至频率s，它们满足P，通带最大衰减10ig12Ha jP(2-3-15)10lgHa(2-3-16)(2) 求滤波器阶数 N 和参数arch(2-3-17)(2-3-18)这样，先由(2-18 )式求出K11，代入(2-3-19)，求出阶数 N,最后取大于或等于 N 的最小整数。(3) 求归一化系统函数 Gap1freqz函数功能：离散时间系统的频率响应3.3 用 MATLA 毀计切比雪夫低通滤波器

9、(1)Matlab 的信号处理工具箱提供了频谱分析函数：fft 函数、filter 函数和freqz 函数。fft 函数filter 函数功能：利用 IIR 滤波器和 FIR 滤波器对数据进行滤波。 调用格式：y=filter(b,a,x)y,zf=filter(b,a,x) y=filter(b,a,x,zi)说明：filter采用数字滤波器对数据进行滤波，其实现采用移位直接II型结构，因而适用于 IIR 和 FIR 滤波器。滤波器的系统函数为即滤波器系数 a=a0 a1 a2 .an,b=b0 b1 .bm,输入序列矢量为 x。这里，标准形式为 a0=1，如果输入矢量 a 时，a0M1,则

10、 MATLAB 将自动进行归一化系数的操作；如果 a0=0,则给出出错信息。y=filter(b,a,x) 利用给定系数矢量 a 和 b 对 x 中的数据进行滤波， 结果放入 y 矢量中，y 的长度取 max(N,M)。y=filter(b,a,x,zi)可在 zi 中指定 x 的初始状态。y,zf=filter(b,a,x)除得到矢量 y 夕卜，还得到 x 的最终状态矢量GaPN12 Pi 1Pi(2-3-20 )(4) 将去归一化，得到实际的 Has(2-3-21 )H(Z)b。bzb?z2Qz31 azanZHaSfreqz函数功能：离散时间系统的频率响应zf格式： h,w=freqz(

11、b,a,n)h,f=freqz(b,a,n,Fs) h=freqz(b,a,w) h=freqz(b,a,f,Fs) freqz(b,a,n)说明：freqz用于计算数字滤波器 H(Z)的频率响应函数 H(ej 3)。h,w=freqz(b,a,n) 可得到数字滤波器的 n 点复频响应值，这 n 个点均 匀地分布在0,n上，并将这 n 个频点的频率记录在 w 中，相应的频响值记 录在 h中。要求 n 为大于零的整数,最好为 2 的整数次幕,以便采用 FFT 计算， 提高速度。缺省时 n =512。h,f=freqz(b,a,n,Fs)用于对 H(ej3)在0,Fs/2上等间隔采样n 点，采样点

12、频率及相应频响值分别记录在f 和 h 中。由用户指定 FS (以HZ 为单位)值。h=freqz(b,a,w)用于对 H(ej3)在0,2n上进行采样，采样频率点由 矢量 w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于对 H(ej3)在0,FS上采样，采样频率点由矢 量 f 指定。freqz(b,a,n) 用于在当前图形窗口中绘制幅频和相频特性曲线。fft 函数函数功能：对信号进行傅里叶变换。格式： fft(X)fft(X,N)fft(X,DIM) 或 fft(X,N,DIM)说明:fft(X)是对输入信号 X 的离散傅里叶变换。fft(X,N) 是 N 点的傅里叶变换，如果 X 少于 N

13、点则补 0 凑齐位数，长于 N 点 则截断。如果 x 是个矩阵，列的长度将会以同样的方式调整， fft 会对每列进行傅里叶 变换，并返回一个相同维数的矩阵。fft(X,DIM) 或 fft(X,N,DIM) 是离散傅里叶变换在 DIM 尺度上的应用。DIM 可适应于任意维度的 fft 运算。2)确定低通滤波器的技术指标：N-椭圆滤波器最小阶数；Wn 为椭圆滤波器的带宽；Wp 扌椭圆滤波器通带截止角频率；Ws4t圆滤波器阻带起始角频率；Rp-通带波纹(dB);Rs-阻带最小衰减(dB)；设计要求是低通滤波器，需要屏蔽的是 15Hz 和 30Hz 的波形，所以可令fp=5Hz，设 fs=8Hz，R

14、p40dB( 3)连续信号的产生及采样 :clearf1=5;f2=15;f3=30;N=100;fs=100;n=(0:N-1); % 采样点数为 Nx1=sin(2*pi*f1*n/fs);x2=sin(2*pi*f2*n/fs);x3=sin(2*pi*f3*n/fs); % 模拟信号转化为数字信号x=x1+x2+x3; % 信号叠加plot(n,x); % 作出时间-幅值图像xlabel( 时间 (s);ylabel( 幅值 );grid;连续信号仿真图(4)低通滤波器的设计Wp=8;Ws=12;Rp=2;Rs=40;%设置指标参数N,wp1=cheb1ord(Wp/(fs/2),Ws

15、/(fs/2),Rp,Rs);% 利用 cheblord 函数求滤波器最小阶数b,a=cheby1(N,Rp,wp1); % 计算切比雪夫 I 型模拟低通滤波器系统函数系数H,f=freqz(b,a,512,100); % 求幅值 H,频率 f plot(f,abs(H);切比雪夫 I 型模拟低通滤波器仿真图(5) 对滤波后的信号进行分析和变换sf=filter(b,a,x);%对原信号进行滤波plot( n,sf);xlabel(时间(s);ylabel(幅值);axis(0 1-1 1);X=fft(x,512); % 滤波前信号的傅里叶变换SF=fft(sf,512); % 滤波后信号的

16、傅里叶变换f=(0:255)/256*(fs/2);plot(f,abs(X(1:256) SF(1:256); %滤波前后信号图像对比xlabel(频率(Hz);ylabel(傅立叶变换图);grid;lege nd(before,after)信号通过椭圆低通滤波器的仿真图注：图中蓝色曲线代表滤波前的幅频曲线，绿线代表滤波后的幅频曲线3.4 设计结果分析(1) 求得阶数 N=6 通带边界频率为 wp = 0.1600，表明阶数越大，模 拟低通滤波器越理想，且接近矩形。(2) 从图上可以看出：切比雪夫 I 型滤波器是在通带频率响应幅度等波纹的滤波器，通带内具有等波纹起伏特性，阻带内单调下降且衰

17、减更大；幅 度在低频处通过，随着频率的增加，逐渐衰减至零；综上所看：本设计符合 要求。（3）切比雪夫滤波器的特点是在通带内， 具有相等的波纹。 截频衰减陡C CO 4 46 6O4 45 53 33 30 0r5 5o o o o o o4 4 3 3 2 2囲磨熾七羽e e1 10 0度比同阶数巴特沃斯特性更陡度比同阶数程时的衰减就超过6NdB 在阶数 N一定时，波纹越大，截频衰减陡度越陡。相位响应也是非线性，但较之比巴 特沃斯为差。总结经过了将近一个周的课程设计， 我学会的如何使用 matlab 来进行滤波器的 设计，通过这次课程设计我不仅学到了许多关于 matlab 的知识，认识到了 matlab 的强大功能