应用随机过程(第三章)

1、第三章 Poisson过程3.1 Poisson过程 定义3.1.1 随机过程 称为计数过程，如果 表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1） 且取值为整数；（2） 时， 且 表示 时间内事件A发生的次数。 0, ttNts 0tN tN tNsN sNtNts,定义. 计数过程称为参数为的Poisson过程，如果：（1） ；（2）过程有独立增量；（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为t的Poisson分布，即对一切 ，有： 0, ttN 00 N0, 0ts , 2 , 1 , 0,!nensNstNPntnPoisson的特性平稳增量性。由 ，知

2、是单位时间内发和事件的平均次数。称为Poisson近程的强度或速率。例3.1.1 售票处乘客以10人小时的平均速率到达，则9：00 10：00最多有5名乘客的概率？10：00 11：00没有人的概率？ ttNE例3.1.2 保险公司接到的索赔次数 设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到的索赔要求是4次，则一年中它要付出的金额平均是多少？ !124124012nnenNNP 48124012 NNEPoisson过程的等价定义 设 是一个计数过程，它满足： N(0)=0； 过程有平稳独立增量； 存在0，当h0时有：(1) 当h0时有： 0, ttN hohtNhtNP1 hotNhtNP2定理

3、3.1.1 满足上述条件(1) (4) 的计数过程 是Poisson过程。 反过来Poisson过程一定满足这四个条件。 0, ttN例3.1.3 事件A的发生形成强度为的poisson过 程 ，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t被记录下来的事件总数，则 是一个强度为p的Poisson过程。 0, ttN 0, ttM mntNPmntNmtMPmtMPn00!1ntnmtnmmnmeppCnm0!1nnmtppttnme!0!1!mptptnntpmptteenm例3.1.4 设每条蚕产卵数服从poisson分布，强度为，而每个卵变成成虫的概率为p，且每个卵是

4、否变成成虫彼此间没有关系，求在时间0，t内每条蚕养活k条小蚕的概率。ptkptek!例3.1.5 天空中的星体数服从Poisson分布，其参数为V，V为被观测区域的体积。若每个星球上有生命存在的概率为p，则在体积为V的宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度为pV的Poisson 分布。与Poisson过程相联系 若干分布0123 tN0T1T2T3Tt1X2X3X与 的分布 表示第n次事件发生的时间； 规定 ， 表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔， 定理3.2.1 服从参数为的指数分布，且相互独立。 nT, 2 , 1n00TnX, 2 , 1nnXnT, 2 , 1nXn 01tNtX

5、tetNPtXP01tetXP11 sXsNtsNPsXtXP1120 0sNtsNPte定理3.2.1 服从参数为n和的分布。证明： , 2 , 1nTnniinXT1Xi独立且服从相同的指数分布指数分布分n=1的分布，且具有可加性。定理得证。证明2 tTntNn ntNPtTPnnjjttje!对上式两端对t求导，可得Tn 的密度函数为： !1!1jtnjtnjjttnjjeetf!11nttne tnnetn1定义3.2.1 计数过程 是参数为的Poisson过程，如果每次事件发生的时间间隔X1，X2， ， 相互独立，且服从同一参数为的指数分布。 0, ttN例3.2.1 设从早上8：0

6、0开始有无穷人排队，只有一名服务员，且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:00为止平均有多少人已经离去？已有9人接受服务的概率是多少？ 过程的是强度为PoissontN3 12!1204enNNPnn 12!9129904eNNP例3.2.2 假定某天文台观测到的流星流是一个Poisson过程，以往资料统计，平均每小时观察到3颗流星，试求上午8：00 12：00期间，该天文台没有观测到流星的概率？ 过程的是强度为PoissontN3 4304PNN 1212!0120004eeNNP事件发生时刻的条件分布 11tNsTP考虑n=1的情形，对于st有： 11

7、;1tNPtNsTP 1A,(AtNPtssP没有发生内之前，发生在时刻 101tNPsNtNPSNPtststeesets定理3.2.3 在已知N(t)=n的条件下，事件发生的n 个时刻T1，T2，,Tn的联合密度函数为nntnttttttfn21!210,例3.2.3 乘客按强度为的Poisson过程来火车站，火车在t 时刻启程，计算(0，t内到达的乘客等车时间总和的数学期望。 解：即要求计算 其中Ti是第i个乘客的到达时间。 tNiiTtE1 由于N(t)为一随机变量，取条件期望 tNiintNTtE1 niintNTtE1 221ntntntntNTEntnii 211ntUEntNT

8、Eniinii tNiiTtE1 tNiitNTtEE1 02nntNPnt 02nntNPnt 222ttNEt例3.2.4 事件A的发生形成强度为的poisson过 程 ，如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t被记录下来的事件总数，则 是一个强度为p的Poisson过程。现在设A在时刻s时，被记录到的概率为p(s) 那么 还是Poisson过程吗？ 0, ttN 0, ttM 0, ttM M(t) 已不是一个Poisson过程，它仍具有独立增量性，不在具有平稳增量性。 mtMP kmtNPkmtNmtMPk0 kmtNmtMPkmppmkm1内发生且被记录事件

9、在, 0tPp dssPt0时刻发生且被记录事件在 ttdssPtdssPt0011 kmtNPkmtNmtMPk0tkmkmkekmtppmkm!10tkmkmkekmtppkmkm!1!0kkktmtkpempt!1!0ptmemtp!Poisson过程的推广非齐Poisson过程定义3.3.1 计数过程 称作强度函数为 的非齐Poisson过程，如果：(1)(2) 具有独立增量 0, ttN 00tt 00 N 0, ttN(3)(4) hotNhtNP2 hohttNhtNP1定义3.3.2 计数过程 称为强度函数为 的非齐次Poisson过程，若： （1） （2） 具有独立增量； 0

10、, ttN 0, 0tt 00 N 0, ttN（3）对任意实数为具有参数的Poisson分布。称为非齐Poisson过程的均值函数（累积强度函数） tNstNst, 0, 0 duutmstmstt tduutm0定理3.3.1 设 为强度函数为 的非齐次Poisson过程，对任意 令：则 是一个强度为1的Poisson过程。 0, ttN t0t tmNtN1 tN例3.3.1 设某设备的使用年限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维修一次。试求它在使用期内只维修过1次的概率？ 解： 10550215 . 21ttt 100501055 . 45 . 04 . 0

11、10dtdtduum 100501055 . 45 . 04 . 010dtdtduum 5 . 4! 15 . 411010eNNP复合Poisson过程 定义3.3.3：称随机过程 为复合Poisson过程，如果对于 ，它可表示为： 其中 是一个Poisson过程， 是一族独立同分布的随机变量，并且与 独立。 0, ttX0t tNiiYtX1 0, ttN, 3 , 2 , 1,iYi 0, ttN例3.3.2 保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程 ，每次的赔付金额Yi都相互独立，且有相同的分布F，且每次的索赔额与与它发生的时间无关。则0，t内保险公司赔付的总额 就是一个复合

12、Poisson 过程，其中： 0, ttN 0, ttX tNiiYtX1例3.3.3（顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某服务系统的时刻 形成一个强度为的Poisson 过程，在每个时刻 都可以同时有多名顾客到达。Yn表示时刻Sn到达的顾客人数，假设Yn n=1,2,3相互独立，且与Sn也独立，则在0 ，t时刻内到达服务系统的总人数可用一复合Poisson过程来描述。,21SS, 2 , 1,nSn例3.3.4 设顾客按照参数为的Poisson过程进入一个商店。又设每个顾客消费金额形成一个独立同分布随机变量。以X(t)记到时刻t为止顾客在此商店的消费总额，易见是一个复合Poisson过程。

13、0, ttX定理3.3.2设 是一个复合Poisson过程，Poisson过程 的强度为，则：（1） 有独立增量；（2） 若 ，则 0,1tYtXtNii 0,ttN tX2iYE 1YtEtXE 21YtEtXVar例3.3.5 保险公司索赔模型中，设索赔要求以每月平均两次的速率的 Poisson过程到达保险公司。每次赔付服从均值为10000万元的正态分布，则一年中保险公司的平均赔付额为多少？ 10000122121YtEXE例3.3.6 顾客以每分钟6人的平均速率进入商场，服从Poisson 过程。每位顾客买东西的概率为0.9，且 每位顾客是否买东西互不影响，也与进入商场的人数无关。求一天

14、（12）小时在该商场买东西的顾客人数。12606t位顾客在商场未买东西第位顾客在商场买东西第iiYi01 以 表示在时间0，t内到达商场的人数， 以 表示在时间0，t内在商场买东西的人数， tN14320121NE tN2 9 . 0111tYEtNEtNii 若以Zi 表示第i位顾客在商场消费金额，且 则 表示在时间0，t内该商场的营业额。5 . 0 ,200 BZi tNiiZtN11322003720612NE条件Poisson 过程 定义3.3.4 设随机变量0，在=的条件下，计数过程 是参数为的Poisson过程，则称 为条件Poisson过程。 设的分布为G，则 0, ttN 0, ttN 0!dGen