三点共线向量表示及其性质应用

1、31111111平面内三点共线的向量表示及其性质应用本文给出了三点共线向量表示的证法探究，以启迪思维和拓展思路之目的，另外又给出了三点共线向 量表示在解题中的应用。例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若点数，使得PC=PA+( 1-)PB.证法探究：分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出发探寻线路，欲证PC=PA+ (1-)PB，只需证PC=PA+PB-PBPC-PB=(PA-PB)BC=BABC/BA.这样证明思路有了。证法：T向量BC与向量BA共线，BC=BA,即PC-PC=PA+PB-PB,PC=PA+ (1-)PB.证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如

2、何。考察向量等式BC=BA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC与BA同向，有 0W 1;当点C在线段AB延长线上时，则BC与BA反向， 有 1.此例题逆命题亦成立，即C在直线AB上，则存在实PB=(PA-PB)已知A,B,C是平面内三个点，P是平面内任意一点， 若存在实数 ，有PC=PA+PB, 且 + =1,则A,B,C三点共线.故此逆命题可作三点共线判定方法。为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：性质 1：已知A,B,C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若A,B,C三点共线，则存在 实数，使得PC=PA+ (1-)PB.或叙述为：已知A,B,C是平面内三个点，P是平面内任意

3、一点，若A,B,C三点共线，则存在实数，使得PC=PA+性质 2 :已知A,PB，则有 +=1.B,C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存在实数，有PC=PA+PB，且三点共线性质在解题中的应用：例 1 如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、不同的两点M、N，若AB=mAM，AC=nAN，则m n的值为_.1 -1AC =-mAM2+=1,则A,B,C三点共线.解析：连结AO，因为点O是BC的中点，所以有AO=1AB12 21又因为M、O、N三点共线，所以m21n 1，故m n 2.2值.点评：因为点O是BC的中点，所以ICO |ICB |-，由性质 1,21=1

4、-=，简便求出m n的2例 2(湖北省2011届高三八校第一次联考)如图2,在厶ABC中, AC， 112AN NC ，点P是BC上的一点，若A. 9则实数m的值为()D.-311111123解：H B, P,N 三点共线，又：AP2114AN mAB AN1183m 1 m，故选 C1111例3(广东省2015届高三六校联考)所示：点G是厶OAB的重心,P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线设OPr.xOA,OQ yOB，证明:证明：因为G是OG2 1(OA OB)1(OA OB)3 23OP xOAOA1OPHOQx4OAB 的1OQy1-是定值;yoG -(OA OB)-

5、(-Op -oQ)OG丄OP3x又P,G,Q 三点共线,13x13y例 4.如图，在ABC中,OCoA，4OD2OB，AD与BC交于M点，设(I)用a,b表示OM；(n)在已知线段OAa,OB为定值3yOF qOB.求证:解析：(I)因为B、1 =m -OA (1 m)OB=4AC上取一点E,丄7pM、在线段BD上取一点使EF过点M设OEpOA,OM=nOA (1n)OD= na-1故OM = a7(n)因为2 1.7qC三点共线，所以存在实数m使得OM=mOC1 -ma (1 m)b；又因为A、M、D三点共线,41(1n)b .由于a,b不共线，所以有23b7E、M、F三点共线，所以存在实数

6、(1 m)OB所以存在实数n使得使得OM=OEn,解得,1-(1n).(1 )OF4571TA 1.7q)qb.结合(I)，易得出(1 )q消去357点评：本题是以a,b作为一组基底，其他向量都由它们线性表示.解(I)=Pa (1中的实数m,n的几何意义为：mBM= - ,n=DM丨二1,m,n(0, 1)；解(n)中的实数|BC |7|DA|7= LF=丄|FE|7pAP例 5.如图，平行四边形ABCD中，点P在线段AB上，且m,Q在线PBQD45AQPR段AD上，且n，BQ与CP相交于点R，求 的值.QDRC解析：设PR=，则PR=BR=BC+( 1-AP)BP因为APm，所以 BP1BA

7、，RCPC11 1PBm 1且BR=BC+11BA11m1又AQn，二AQnAD：=nBC，二BQ BAAQ，即BQnBC BA又QDn1n 1n 1- BR与BQ共线，.n1=0,解得=n1 n1 (1)(m 1)(m 1)( n 1)点评：我们先要确定好一组基底BA, BC，看准BR,BQ如何由它们线性表示；而欲求目标数值，因P, R, C三点共线，中途要以BP, BC作基底，BR由它们线性表出时，分析清楚该两基底系数所表示的几何意义，由性质 1,得BR= BC+ （1- ）BP;最终BR与BQ都得转化到由BA, BC两基底线1 1性表示，此时容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果.平面

8、内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题 的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。例6（汕头市东山中学2014届高三第二次模拟考试）所示AE -3A. 2a7-b7,CE与BF相交于G点,记 AB a，ADB.2a訓7b，则2b7 为载体，求向量的问题，所以我C.3a71bD.也,在平行四边形ABCD中,TG分析：本题是以平面几何为背景，们很容易联想到点F、G B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内 三点共线定理求解。解：E,G,C 三点共线,由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得AJraTb)又;F,G,B 三点共线,TAGJraX2由平面

9、内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得1-4由两式可得:2x36 x73点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G B以及E,G,C三点在一条直线上），利用AGXLBra6例6的变式一：在三角形ABC中,AM : AB=1：3,AN:AC=1：4,BN与由平面内三点共线的向量式定理可得：m- 1m n 22 2解题后反思：要想达到正确运用三点共线性质解题之目的，首先做到，审视题意，考察图形，确定一组基底，根据CM相交于点P,且 AB a，AC b，试用 a、b表示 AP解：;N,P,B 三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得APAN：AC=1: 4,ANIAClb4N,x y 1,AP xABAC4又 C.P.M 三点共线,I由平面内三点共线定理可得:4存在唯一的一对实数11 1/ AM：AB=1：3 AM-ABa,33b1x -由两式可得：1 x3x 112x y 1, y81141例6的变式二：直线I过ABCD勺两条对角线AC与B