矩阵特征值和特征向量的几何意义汇总_第1页
矩阵特征值和特征向量的几何意义汇总_第2页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、矩阵特征值和特征向量的几何意义（-by-by 小马哥整理）从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的 方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵：A=1.50.50.51.0?A=1.50.50.51.0?求这个变换的特征向量和特征值，分别是：0.850.530.530.85U0.850.530.530.85U ?=?=?（列向量 特征值为：1 1 入=1.8,1=1.8,1 2 2 入=0.69=0.69 注意，这里 U U 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有 1T1T U U U U -=-=。用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案:图

2、 1.11.1为方便演示笑脸图案在0,00,0和1,11,1围起来的单位正方形里，同时也用两个箭头标出来了特征向量的方向。经过矩阵A=1.50.50.51.0?A=1.50.50.51.0? ? ?的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案：图 1.11.1可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。根据特征向量的定义，我们知道 1U1U AUAU -=-=A,也即，T T U U AUAU = =A,那么：T TA A U U U U = =A假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵 C C,那么，矩阵 A*CA*C，即把矩阵 A A 作 用于 C C,可以理

3、解为：T TUUCUUCA我们从这个式子就可以看出来，A A 矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来 作用于 C C ,分成三步：第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U U 的转置，也就是 T T U U 进行了变换图 1.21.2第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵1.811.810.69?0.69? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放:图 1.31.3 第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘 可以了0,850,5310.53 0.85J10图1.41.4所以，从旋转和缩放的角度，一个矩阵变换就是，旋转-沿坐标轴缩放-转 回来，的三步操作多提一句，这里给的是个（半正定矩阵的例子，对于不镇定的矩阵，也是能分 解为，旋转-沿坐标轴缩放-旋转，的三步的，只不过最后一步和第一步的两个 旋转不是转回去的关系了，表达如下：T T U U V V= =E这个就是 SVDSVD 分

人人文库> 全部分类> 行业资料 > 信息产业

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论