圆锥曲线146二级结论

1、圆锥曲线 146个相关结论结论 1：过圆 x2 + y2 = 2a2 上任意点 P 作圆 x2 + y2 = a2 的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.x2 y2结论 2：过圆 x2 + y2 = a2 + b2 上任意点 P 作椭圆 ( )2 + 2 =1, a > b > 0 的两条切线，则a b两条切线垂直，反之也成立.x2 y2结论 3：过圆 x2 + y2 = a2 b2 上任意点 P 作双曲线 ( )2 2 =1, a > 0,b > 0的两条切线，a b则两条切线垂直，反之也成立.结论 4：点M(x , y )在椭圆0 0( )2 ( )2 ( x m

2、 y n( )2 ( )2 (2 + 2 =1, a > b > 0, m,nÎ 上，过点 M 作a b椭圆的切线方程为(x m)(x m) (y n)(y n)0 02 + 2 =1.a b结论 5：点M(x , y )在椭圆0 0( ) ( ) (x m y n 2 22 22 + 2 =1, a > b > 0, m,nÎ 外，过点 M 作a b椭 圆 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A,B ， 则 切 点 弦 AB 的 直 线 方 程 为( )( ) ( )( )x m x m y n y n0 + 0 = .2 2 1a b结论

3、 6：点M(x , y )在椭圆0 0( ) ( ) (x m y n 2 22 22 2 1, 0, ,+ = a > b > m nÎ 内，过点 M 作a b椭圆的弦 A B（不过椭圆中心），分别过 A,B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线(x m)(x m) (y n)(y n)0 + 0 = .2 2 1a b结论 7：点M(x , y )在双曲线0 0( )2 ( )2 (x m y n2 2 1, 0, 0, , = a > b > m nÎ 上，过点a bM 作双曲线的切线方程为 (x m)(x m) (y n)(y

4、 n)0 2 0 2 =1.a b结论 8：点M(x , y )在双曲线0 0(x m) (y n) (2 22 2 =1, a > 0,b > 0, m,nÎ 外，过点a bM 作 双 曲 线 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A,B ， 则 切 点 弦 AB 的 直 线 方 程 为(x m)(x m) (y n)(y n)0 2 0 2 =1.a b结论 10：点M(x , y )在双曲线0 0(x m) (y n) (2 22 2 =1, a > 0,b > 0, m,nÎ 内，过点a bM 作双曲线的弦 A B（不过双曲线中心），分

5、别过 A,B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线( )( ) ( )( )x m x m y n y n0 2 0 2 =1.a b结论 11：点 ( , ) y n = p x m p > m nÎ 上，过点 M 作抛M x y 在抛物线( )2 2 ( ),( 0, ,0 0物线的切线方程为( )( ) ( )y0 n y n = p x+ x0 2m .结论 12：点M x y 在抛物线(y n)2 = 2p(x m),(p > 0, m,nÎ 外，过点 M 作抛( , )0 0物 线 的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A,B

6、， 则 切 点 弦 AB 的 直 线 方 程 为( )( ) ( )y0 n y n = p x+ x0 2m .结论 13：点M x y 在抛物线(y n)2 = 2p(x m),(p > 0, m,nÎ 内，过点 M 作抛( , )0 0物线的弦 AB，分别过 A,B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线(y n)(y n)= p(x+ x m) .0 0 2结论 14：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 的所在的直线必过相应的焦点 F，且 MF 垂直切点弦 AB.结论 15：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切

7、线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 的所在的直线必过相应的焦点 F，且 MF 垂直切点弦 AB.结论 16：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 的所在的直线必过相应的焦点 F，且 MF 垂直切点弦 AB.结论 17：AB 为椭圆的焦点弦，则过 A,B 的切线的交点 M 必在相应的准线上.结论 18：AB 为双曲线的焦点弦，则过 A,B 的切线的交点 M 必在相应的准线上.结论 19：AB 为抛物线的焦点弦，则过 A,B 的切线的交点 M 必在准线上.结论 20：点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A,B，则切点

8、弦 AB 就是通径.结论 21：点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 就是通径.结论 22：点 M 是抛物线准线与对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为A,B，则切点弦 AB 就是通径.结论 23：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的对称轴上任意一点 M(m, 0)(m > 0)作抛物线的两条切线，切点分别为 A,B ，则切点弦 AB 所在的直线必过 N(m,0) .结论 24：过椭圆x2 y2+ = a > b > 的对称轴上任意一点 M(m,n) 作抛物线的两条切2 2 1( 0)a

9、 b线，切点分别为 A,B .（1） 当 n = 0，m > a 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点æ öa2P ,0ç ÷mè ø.æ öb2（2） 当 m = 0，n > b时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P0， . ç ÷nè ø结论 25：过双曲线x y2 2 = a > b > 的实轴上任意一点 M(m, 0)( m < a) 作双曲线2 2 1( 0, 0)a b（单支）的两条切线，切点分别为 A,B ，则切点弦 AB 所在的

10、直线必过æ a2 öP ,0ç ÷mè ø.结论 26：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A,B ，弦 A,B 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行.结论 27：若椭圆x2 y22 + 2 =1(a > b > 0) 与双曲线a bx2 y22 2 =1(m > 0,n > 0)共焦点，则在m n它们交点处的切线相互垂直.结论 28：过椭圆外一定点 P 作其一条割线，交点为 A,B ，则满足| AP | BQ|=| AQ| BP |的动点Q的

11、轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论 29：过双曲线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A,B ，则满足| AP | BQ|=| AQ| BP |的动点Q的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论 30：过抛物线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A,B ，则满足| AP | BQ|=| AQ| BP |的动点Q的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论 31：过双曲线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A,B ，过 A,B 分别作双曲线的切线相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方

12、程.结论 32：过椭圆外一定点 P 作其一条割线，交点为 A,B ，过 A,B 分别作椭圆的切线相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论 33：过抛物线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A,B ，过 A,B 分别作抛物线的切线相交于点Q，则动点Q的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论 34：从椭圆x y2 22 2 1( 0)+ = a > b > 的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为a b圆： x2 + y2 = a2 .结论 35：从双曲线x2 y22 2 =1(a > 0,b > 0

13、) 的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的a b轨迹为圆： x2 + y2 = a2 .结论 36：F 是椭圆x2 y22 + 2 =1(a > b > 0) 的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径a bMF Îa c,a + c.结论 37：F 是双曲线x y2 22 2 1( 0, 0) = a > b > 的右焦点，M 是双曲线上任意一点.a b（1） 当 M 在双曲线右支上，则焦半径 MF ³ c a ；（2） 当 M 在双曲线左支上，则焦半径 MF ³ c + a.结论 38：F 是抛物线 y2 = 2px(p > 0

14、) 的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径 p pMF Î x + ³ . 0 2 2结论 39：（椭圆的光学性质）椭圆上任一点 M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 M 处的切线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）.结论 40：（双曲线的光学性质）双曲线上任一点 M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说 M 处的法线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）.结论 41：（抛物线的光学性质）抛物线上任一点 M 处的切线平分该点的两条焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角.结论 42：椭圆的准线上任一点 M 处的切点弦 PQ 过其相应的焦点 F，且 MFPQ.结论

15、43：双曲线的准线上任一点 M 处的切点弦 PQ 过其相应的焦点 F，且 MFPQ.结论 44：抛物线的准线上任一点 M 处的切点弦 PQ 过其焦点 F，且 MFPQ.结论 45：椭圆上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与相应的焦点 F 的连线交椭圆于 Q，则MQ 必与该椭圆相切，且 MFPQ.结论 46：双曲线上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与相应的焦点 F 的连线交双曲线于Q，则 MQ 必与该双曲线相切，且 MFPQ.结论 47：抛物线上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与焦点 F 的连线交抛物线于 Q，则MQ 必与该椭圆相切，且 MFPQ.结论 48：焦点在 x 轴上的椭

16、圆（或焦点在 y 轴）上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的充要条件为 P,Q,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论 49：焦点在 x 轴上的双曲线（或焦点在 y 轴）上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的充要条件为 P,Q,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论 50：焦点在 x 轴上的抛物线（或焦点在 y 轴）上三点 P,Q,M 的焦半径成等差数列的充要条件为 P,Q,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论 51：椭圆上一个焦点 F2 关于椭圆上任一点 P 处的切线的对称点为 Q，则直线 PQ 必过该椭圆的另一个焦点 F1.结论 52：双曲线上一个焦点 F2 关于双曲线上任一点 P

17、处的切线的对称点为 Q，则直线 PQ必过该双曲线的另一个焦点 F1.结论 53：椭圆上任一点 P（非顶点），过 P 的切线和法线分别与短轴相交于 Q,S，则 有 P,Q,S及两个焦点共于一圆上.结论 54：双曲线上任一点 P（非顶点），过 P 的切线和法线分别与短轴相交于 Q,S，则有P,Q,S 及两个焦点共于一圆上.结论 55：椭圆上任一点 P（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点 A,A的切线相交于 M,M，则必得到以 MM为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论 56：双曲线上任一点 P（非顶点）处的切线与过实轴两个顶点 A,A的切线相交于 M,M，则必得到以 MM为直径的圆经过该双曲线的两个焦

18、点.结论 57：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆结论 58：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆结论 59：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切结论 60：焦点在 x 轴上的椭圆（或焦点在 y 轴上）上任一点 M（非短轴顶点）与短轴的两个顶点 B, B的连线分别交 x 轴（或 y 轴）于 P, Q，则x x = a （或 y y = a2 ）.2P Q P Q结论 61：焦点在 x 轴上的双曲线（或焦点在 y 轴上）上任一点 M（非顶点）与实轴的两个顶点 B, B的连线分别交 y 轴（或 x 轴）于 P, Q，则y y = b2 （或 x x =

19、b2 ）.P Q P Q结论 62：P 为焦点在 x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则DPF F 与边1 2PF（或PF）相2 1切的旁切圆与 x 轴相切于右顶点 A（或左顶点 A）.结论 63：P 为焦点在 x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则DPF F 与的内切圆与 x1 2轴相切于右顶点 A（或左顶点 A）.结论 64：AB 是过椭圆x y2 22 2 1( 0)+ = a > b > 的焦点 F 的一条弦（非通径），弦 AB 的中垂a b| AB | 2线交 x 轴于 N，则=| NF | e.；结论 65：AB 是过双曲线x2 y22 2 =1( > 0,

20、 > 0) a b 的焦点 F 的一条弦（非通径，且为单支2 2 =1( > 0, > 0)a b | AB | 2弦），弦 AB 的中垂线交 x 轴于 N，则 | NF | e= .结论 66：AB 是过抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点 F 的一条弦（非通径），弦 AB 的中垂线交x 轴于 N，则| AB | NF |= 2 .结论 67：AB 是抛物线的焦点弦，分别过 A，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 在其准线上.结论 68：AB 是椭圆的焦点弦，分别过 A，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 在其相应的准线上.结论 69：AB 是双曲线

21、的焦点弦，分别过 A，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 在其相应的准线上.结论 70：AB 是过抛物线焦点 F 的焦点弦，以 AB 为直径的圆必与其准线相切.结论 71：AB 是过椭圆焦点 F 的焦点弦，以 AB 为直径的圆必与其相应的准线相切，与另一条准线相离.结论 72：AB 是过双曲线焦点 F 的焦点弦，以 AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得1的圆弧度数为定值，且为2 arccose.结论 73：以圆锥曲线的焦点弦 AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线；若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论 74：以圆锥曲线的焦点弦 AB 为直径作圆，

22、若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必1为双曲线，且此时截得的圆弧度数为定值，且为2 arccose.结论 75：AB 为过抛物线y2 = 2px(p > 0) 焦点 F 的焦点弦， A(x y ) B(x y ) 则1, 1 , 2 , 2 ,| AB |= x + x + p .1 2结论 76：AB 为过椭圆x2 y22 + 2 =1(a > b > 0)a b焦点 F 的焦点弦， ( ) ( )A x y B x y 则1, 1 , 2 , 2 ,| AB|= 2ae x + x .1 2结论 77：AB 为过双曲线x2 y22 2 =1( > 0, > 0

23、)a ba b焦点 F 的焦点弦， ( ) ( )A x1, y1 ,B x2 , y2 ,若AB 为单支弦，则| AB|= e x + x 2a；若 AB 为双支弦，则| AB|= e x + x +2a .1 2 1 2结论 78：F 为抛物线的焦点，A，B 是抛物线上不同的两点，直线 AB 交其准线 l 于 M，则FM 平分AFB 的外角.结论 79：F 为椭圆的一个焦点，A，B 是椭圆上不同的两点，直线 AB 交其相应的准线 l 于M，则 FM 平分AFB 的外角.结论 80：F 为双曲线的一个焦点，A，B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线 AB交其相应的准线 l 于 M，则

24、 FM 平分AFB.结论 81：F 为双曲线的一个焦点，A，B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线 AB 交其相应的准线 l 于 M，则 FM 平分AFB 的外角.结论 82：AB 是椭圆x2 y22 + 2 =1(a > b > 0) 过焦点 F 的弦，点 P 是椭圆上异于 A，B 的任一a b点，直线 PA、PB 分别交相应于焦点 F 的准线 l 于 M、N，则点 M 与点 N 的纵坐标之积为 b定值，且为 . c42x2 y2结论 83：AB 是双曲线 2 2 =1(a > 0,b > 0) 过焦点 F 的弦，点 P 是双曲线上异于 A，B 的a b任一点，直

25、线 PA、PB 分别交相应于焦点 F 的准线 l 于 M、N，则点 M 与点 N 的纵坐标之b4积为定值，且为 .c2结论 84：AB 是抛物线 y = 2px(p > 0)过焦点 F 的弦，点 P 是抛物线上异于 A，B 的任一点，直线 PA、PB 分别交准线 l 于 M、N，则点 M 与点 N 的纵坐标之积为定值，且为 p2 .结论 85：A，B 是椭圆x y2 2+ = > > 的长轴顶点，E(m, 0), F(m,0)(0 < m < a)，2 2 1(a b 0)a b点 P 是椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线 PA、PB 分别交直线下定值关系xa2=

26、 于 M、N，则有如mEM × FN、EN × FM ( )( )a m a m b2 2 2 + 2 2m2FM × FN( )( )a m a m b2 2 2 2 2m2EM × EN ( ) ( )2a m b a m2 + 2 2 2 2m2BM × FN( )( )a m a am b2 2 2 + 2m2AM ×FN( )( )a m a amb2 2 2 2m2AM ×BN( )( )a m a b2 2 2 2m2y × y ( )b m a2 2 2M Nm2k ×kAP BPk &#

27、215;kAM BNk ×kAN BMe2 1a m+ k ×k ( )e2 1AN AMa ma m k ×k ( )e2 1BN BMa + mk ×kFN EMk ×kEN FMb2a + m2 2结论 86：A，B 是双曲线x y2 22 2 =1( > 0, > 0) 的实轴顶点，E(m, 0), F(m,0)(m > a)， a b2 2 =1( > 0, > 0) 的实轴顶点，E(m, 0), F(m,0)(m > a)，a ba2点 P 是双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 PA、PB 分别

28、交直线 x = (m > a)于 M、mN，则有如下定值关系EM × FN、EN × FM ( )( )a m a +m +b2 2 2 2 2m2FM × FN( )( )a m a m b2 2 2 2 + 2m2EM × EN ( ) ( )2a +m +b a m2 2 2 2 2m2BM × FN( )( )a2 m2 a2 +am+b2m2AM ×FN( )( )a m a am b2 2 2 + 2m2AM ×BN( )( )a2 m2 a2 +b2m2y × y ( )b m a2 2 2M

29、Nm2k ×kAP BPk ×kAM BNk ×kAN BMe2 1a + m k ×k ( )e2 1AN AMa ma m k ×k ( )e2 1BN BMa + mk ×kFN EMb2k ×kEN FMa + m2 2结论 87：A，B 是椭圆x2 y22 2 1(a b 0)+ = > > 的任一直径（中心弦），点 P 是椭圆上任一点a b（不与 A，B 重合），则k ×k =e2 1.PA PB结论 88：A，B 是椭圆x y2 22 + 2 =1(a > b > 0) 的任一

30、弦（不过原点且不与对称轴平行），点 Ma b是弦 AB 的中点，若 k ,k 均存在，则OM ABk ×k =e2 1.OM AB结论 89：A，B 是椭圆x2 y22 + 2 =1(a > b > 0) 的任一弦（不与对称轴平行），若平行于 AB 的a b弦的中点的轨迹为直线 PQ，则有k ×k =e2 1.PQ AB结论 90：过椭圆x2 y22 + 2 =1(a > b > 0) 上任意一点 P（不是其顶点）作椭圆的切线 PA，则a b有k ×k =e2 1.PA OP结论 91：椭圆x y2 2+ = > > 及定点 F

31、(m,0)(a < m < a)，过 F 的弦的端点为 A，a b2 2 1( 0)a bB，过点 A，B 分别作直线xa2= 的垂线，垂足分别为 D，C，直线mxa2= 与 x 轴相交于mE，则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中点，且有 k + k = 0 .AE BE结论 92：椭圆x y2 2+ = > > 及定点 F(m,0)(m = ±c)，过 F 的弦的端点为 A、B，2 2 1(a b 0)a bE 为椭圆上任意一点，连接 AE，BE，且分别与准线xa2= 相交于 P，Q，则有 k ×k = 1.FQ FPm结论 93：椭 圆x y

32、2 2+ = > > 及定点 F(m,0)(a < m < a,m ¹ 0)，过 F 的弦的端点2 2 1(a b 0)a b为 A、B，E 为椭圆上任意一点，连接 AE，BE，且分别与直线xa2= 相交于 P，Q，则有mk ×k =FQ FPb2m2 a2.；结论 94：A，B 是双曲线x2 y22 2 =1( > 0, > 0)a ba b的任一直径（中心弦），点 P 是双曲线上任一点（不与 A，B 重合），则k ×k =e2 1.PA PB结论 95：A，B 是双曲线x2 y22 2 =1(a > 0,b >

33、0)的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），a b点 M 是弦 AB 的中点，若 k ,k 均存在，则 k ×k =OM AB OM ABb2a2.结论 96：A，B 是双曲线x2 y22 2 =1( > 0, > 0)a ba b的任一弦（不与对称轴平行），若平行于 ABk ×k =e2 1. 的弦的中点的轨迹为直线 PQ，则有PQ AB结论 97：过双曲线x2 y22 2 =1(a > 0,b > 0) 上任意一点 P（不是其顶点）作双曲线的切线 PA，a b则有k ×k =e2 1.PA OP结论 98：双曲线x y2 2及定点 F(m

34、,0)(m > a Ú m < a)，过 F 的弦的端2 2 =1(a > 0,b > 0)a b点为 A，B，过点 A，B 分别作直线xa2= 的垂线，垂足分别为 D，C，直线mxa2= 与 x 轴m相交于 E，则直线 AC 与 BD 恒过 EF 的中点，且有 k + k = 0 .AE BE结论 99：双曲线x2 y2及定点 F(m,0)(m = ±c)，过 F 的弦的端点为 A、2 2 =1(a > 0,b > 0)a bB，E 为双曲线上任意一点，连接 AE，BE，且分别与准线xa2= 相交于 P，Q，则有mk ×k =

35、 1.FQ FP结论 100：双曲线x2 y2及定点 F(m,0)(m > a Ú m < a)，过 F 的弦的2 2 =1(a > 0,b > 0)a b端点为 A、B，E 为双曲线上任意一点，连接 AE，BE，且分别与直线xa2= 相交于 P，Q，m则有k ×k =FQ FPb2a m2 2.结论 101：抛物线 y2 = 2px(p > 0)及定点 F(m, 0)(m > 0) ，过 F 的弦的端点为 A，B，过A，B 分别作直线 x = m 的垂线，垂足分别为 D，C，直线 x = m 与 x 轴相交于 E，则直线 AC 与 BD

36、 恒过 EF 的中点，且有 k + k = 0 .AE BEF m çæm = ÷öp结论 102：抛物线 y2 = 2px(p > 0)及定点 ( ,0)è 2 ø，过 F 的弦的端点为 A、B，E 为抛物线上任意一点，连接 AE，BE，分别与准线 x = m 相交于 P，Q，则 有 k ×k = 1.FP FQ结论 103：抛物线 y2 = 2px(p > 0)及定点 F(m,0)(m > 0)，过 F 的弦的端点为 A、B，E为抛物线上任意一点，连接 AE，BE，分别与直线 x = m 相交于 P，Q

37、，则 有pk ×k = .FP FQ2m结论 104：抛物线 y2 = 2px(p > 0)的焦点弦与抛物线相交于 A，B，过 B 作直线 BC 与 x轴平行，交准线于 C，则直线 AC 必过原点（及其准线与 x 轴交点 E 与焦点 F 的线段的中点）.x2 y2结论 105：AB 为过椭圆 + = a > b > 的焦点 F 的弦，其相应的准线与 x 轴交点为2 2 1( 0)a bE，过 A，B 作 x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 M，N，则直线 AN，BM 均过线段EF 的中点.x y2 2结论 106：AB 为过双曲线 的焦点 F 的弦，其相应的准线

38、与 x 轴交点2 2 =1(a > 0,b > 0)a b为 E，过 A，B 作 x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于 M，N，则直线 AN，BM 均过线段 EF 的中点.结论 107：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.x2 y2结论 108：AB 为垂直于椭圆 + = a > b > 长轴的动弦，其准线与 x 轴交点为 Q，则2 2 1( 0)a b直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该椭圆上.x y2 2结论 109：AB 为垂直于双曲线 2

39、2 = l(l ¹ 0) 实轴的动弦，其准线与 x 轴交点为 Q，则a b直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该双曲线上.结论 110：AB 为垂直于抛物线 ( )( ) y2 = tx 或x2 = ty t ¹ 0 对称轴的动弦，其准线与 x 轴交点为 Q，则直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该抛物线上.结论 111：已知圆锥曲线的焦点弦 AM（不为通径，若为双曲线则为单支弦），则在 x 轴上有且只有一点 Q 使 ÐAQF = ÐMQF .结论 112：过 F 作圆锥曲线的一条弦 AB（若为双曲线则

40、为单支弦），分别过 A，B 作准线 l的垂线（Q 是其相应准线与 x 轴的交点），垂足为 A1，B1，则直线 AB1 与直线 A1B 都经过QF 的中点 K，即 A、K、B1 及 B、K、A1 三点共线.结论 113：A，B 分别为椭圆x2 y22 2 1( 0)+ = a > b > 的右顶点和左顶点，P 为椭圆上任一点a b（非长轴顶点），若直线 AP，BP 分别交直线xa2= 于 M，N，则以线段 MN 为直径的圆必m经 过 两 个 定 点 ， 且 椭 圆 外 定 点 为æ + öa b a m2 2 2Qç ,0÷ç 

41、47;mè ø， 椭 圆 内 定 点 为æ öa b a m2 2 2Rç ,0÷.ç ÷mè ø结论 114：A，B 分别为双曲线x2 y22 2 =1(a > 0,b > 0)a b的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线 AP，BP 分别交直线xa2= (m>a)于 M，N，则以线段 MN 为m直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为æ + öa b m a2 2 2Qç ,0÷ç ÷m

42、2; ø，椭圆内定点为æ öa b m a2 2 2Rç ,0÷.ç ÷mè ø结论 115：过直线 x = m(m ¹ 0)但在椭圆x y2 22 2 1(a b 0)+ = > > 外一点 M 向椭圆引两条切a bæ ö2 2 2a b mN ,0 ，且有k ×k = .线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点 ( )ç ÷ AB MNè øm a a m2 2 2x2 y2结论 116：过直线 x =

43、m(m ¹ 0)但在双曲线外（即双曲线中心所在2 2 =1( > 0, > 0)a ba b区域）一点 M 向双曲线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点æ ö2 2 2a b mN ,0 k ×k =，且有 .çè ÷ø AB MN( ) m a2 m2 a2结论 117：过直线 x = m(m ¹ 0)但在抛物线y2 = 2px(p > 0)外（即抛物线准线所在区域）一 点 M 向 抛 物 线 引 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 A ， B ， 则 直 线 A

44、B 必 过 定 点pN (m,0)，且有k ×k = .AB MN2m结论 118：设点 M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点 M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过准线对应的焦点 F，且 FMAB.结论 119：过直线 mx + ny =1但在椭圆x y2 22 + 2 =1(a > b > 0) 外一点 M 向椭圆引两条切线，a b切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点 ( )N ma2 ,nb2 .结论 120：过直线 mx + ny =1但在双曲线x y2 22 2 =1(a > 0,b > 0)a b

45、外（即双曲线中心所在区域）一点 M 向双曲线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点 ( )N ma2 ,nb2 .结论 121：过直线 mx + ny =1(m ¹ 0)但在抛物线y2 = 2px(p > 0)外（即抛物线准线所在区域）一点 M 向抛物线引两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 必过定点Næ 1 pn ö,ç ÷.è m m øx2 y2 + = > > 的左右顶点，点 P 是直线 x = t (| t |¹ a,t ¹ 0)结论 122：A，B 是椭

46、圆 a b2 2 1( 0)a b上的一个动点（P 不在椭圆上），直线 PA 及 PB 分别与椭圆相交于 M，N，则直线 MN 必与æ ö2ax 轴相交于定点 ç ÷Q ,0.è øt结论 123：A，B 是双曲线x y2 2的顶点，点 P 是直线 x = t (| t |¹ a,t ¹ 0)2 2 =1(a > 0,b > 0)a b上的一个动点（P 不在双曲线上），直线 PA 及 PB 分别与双曲线相交于 M，N，则直线 MNæ ö2a必与 x 轴相交于定点Q ,0.ç

47、 ÷è øt结论 124：A，B 是抛物线 y2 = 2px(p > 0)上异于顶点 O 的两个动点，若直线 AB 过定点N(2p,0)OAOBA，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值若 OAOB直线 AB 过定点N(2p,0)A，B 的横坐标之积、纵坐标之积均为定值( ) 2SD min = 4pAOB若 OAOB过 O 作 OMAB动点 M 的轨迹方程为 x2 + y2 2px = 0(x ¹ 0)结论 125：过抛物线 y2 = 2px(p > 0)上任意一点 M( )x0 , y0 作两条弦 MA，MB，则 MAMB的充要条件是直线

48、AB 过定点 N( )x0 + 2p,y0 .结论 126：过抛物线 y2 = 2px(p > 0) 上任意一点 M ( )x0 , y0 作两条弦 MA，MB，则æ 2p ö k ×k = l (l ¹ 0)的充要条件是直线 AB 过定点 N. x , yMA MB 0 0ç ÷结论 127：过椭圆x2 y2+ = > > 上任意一点 M( )a b x y 作两条弦 MA，MB，则 MA0 , 02 2 1( 0)a bæ 2 2 2 2 öa b b aMB 的充要条件是直线 AB 过定点

49、N 2 2 , 2 2x y .ç + + ÷0 0è øa b b a特别地，（1）当 M 为左、右顶点时，即x = ±a y = 时，MAMB 的充要条件是直0 , 0 0æ ± ( ) öa a b2 2 2ç ÷线 AB 过定点 N 2 2 ,0ç + ÷a bè ø（2）当 M 为上、下顶点时，即x = y = ±b 时，MAMB 的充要条件是直线 AB 过0 0, 0æ ± ( )öb b a2 2 2&

50、#231; ÷ 定点 N 0,ç + ÷a b2 2è ø结论 128：过双曲线x2 y22 2 =1(a > 0,b > 0)a b上任意一点 M( )x0 , y0 作两条弦 MA，MB，则0 , 0æ + + ö2 2 2 2a b b aMAMB 的充要条件是直线 AB 过定点 Nç ÷2 2 x , 2 2 y.0 0è øa b b a特别地，当 M 为左、右顶点时，即x0 = ±a, y0 = 0时 ，MAMB 的充要条件是直线 ABæ &

51、#177; + ö( )a a b2 2 2ç ÷过定点 N 2 2 ,0ç ÷a bè ø结论 129：过二次曲线 ( )Ax2 + By2 +Cx+ Dy = E A,B,C, D,EÎ A B 0 上任意一点 Mæ 2Ax C 2By D ö+ +( )x0 , y0 作两条弦 MA，MB，若 MAMB，则直线 AB 过定点 N 0 0x , y .ç + + ÷0 0è A B A B ø结论 130：A，B 是椭圆x2 y22 2 1(a b 0

52、)+ = > > 上不同的两个动点，若 OAOB，则a b( ) 2 a +b2 21 1 + æ ö a+b æ öa b 1 1 1 12 2+ = ， + = + = ， .ç ÷ ç ÷| OA| | OB | a b |OA| |OB| ab |OA| |OB| ab2 2 2 2è ø è ømin max结论 131：A，B 是双曲线x y2 22 2 =1(b > a > 0)a b上不同的两个动点（在同一支上），若 OA1 1 b a2 2OB，则+ = .| OA| | OB | a b2 2 2 2结论 132：抛物线椭圆双曲线y2 = 2px( p > 0)x2 y22 2 1+ =a b(a > b > 0)x2 y22 2 =1a b(a > b > 0)对称轴长轴实轴存在定点( ,0)M pæ öa b2 2M ç±a 2 2 ,0÷ç + ÷a bè ø使得过该点的任意弦 AB 恒有1 1 1+ =| MA| |