宋怀波第6讲：图像变换.

1、第第1页页第第3章章 图像图像变换变换3.1 傅里叶变换傅里叶变换3.2 离散余弦变换离散余弦变换3.3 小波变换及其应用小波变换及其应用第第2页页第第3章章 图像图像变换变换p图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，图像是二维信号，其坐标轴是二维空间坐标轴，p图像本身所在的域称为空间域（图像本身所在的域称为空间域（Space Domain）。）。p图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，图像灰度值随空间坐标变化的快慢也用频率来度量，称为空间频率（称为空间频率（Spatial Frequency）。）。第第3页页第第3章章 图像图像变换变换例例3.1:函数分解函数分解函数系数具有重要意

2、义函数系数具有重要意义分解和合并的过程可逆分解和合并的过程可逆1. 1.由下自上分辨率逐渐增加；由下自上分辨率逐渐增加；2. 2.由下自上细节逐渐增加。由下自上细节逐渐增加。第第4页页第第3章章 图像图像变换变换直流成分直流成分低频成分低频成分高频成分高频成分高频成分高频成分第第5页页第第3章章 图像图像变换变换n例例3.5：平移性质：平移性质第第6页页第第3章章 图像图像变换变换n频率域频率域 由傅立叶变换和频率变量由傅立叶变换和频率变量( u, v)定义的空间定义的空间 基本性质基本性质(中心点平移后中心点平移后)（1）变化最慢的频率成分）变化最慢的频率成分(u=0, v=0)对应一幅图像

3、的平均灰度对应一幅图像的平均灰度（2）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素）低频（原点附近）对应图像灰度变化慢的像素（3）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素）高频（远离原点）对应图像灰度变化快的像素第第7页页第第3章章 图像图像变换变换两个缺点：两个缺点： (1)要进行复数运算，计算比较费时要进行复数运算，计算比较费时 (2)很多图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚。很多图像的高频项衰减的很快，在频域不清楚。解决方法：解决方法：vuFvuD,1lg,第第8页页第第3章章 图像图像变换变换 3.1 背景背景3.2 傅立（里）叶变换和频率域傅立（里）叶变换和频率域 3.3离散余弦变换离散

4、余弦变换3.4 沃尔什变换沃尔什变换 3.5 MatLab函数函数第第9页页第第3章章 图像图像变换变换n简介简介 傅立叶变换计算的对象是复数，计算速度慢，但傅立叶变换计算的对象是复数，计算速度慢，但功能强大功能强大 为了提高计算速度，提出了计算对象是实数的变为了提高计算速度，提出了计算对象是实数的变换，如换，如离散余弦离散余弦和和沃尔什沃尔什等变换等变换 余弦变换应用广泛余弦变换应用广泛图像压缩编码图像压缩编码语音信号处理语音信号处理第第10页页第第3章章 图像图像变换变换n二维离散余弦变换定义二维离散余弦变换定义 正变换正变换NvyNuyyxfNvuFNuyyxfNuFNvyyxfNvFy

5、xfNFNxNyNxNyNxNyNxNy2) 12(cos2) 12(cos),(2),(2) 12(cos),(2)0 ,(2) 12(cos),(2), 0(),(1)0 , 0(1010101010101010第第11页页第第3章章 图像图像变换变换n二维离散余弦变换定义二维离散余弦变换定义 反变换反变换NvyNuxvuFNNuxuFNNvyvFNFNyxfNuNvNuNv2) 12(cos2) 12(cos),(22) 12(cos)0 ,(22) 12(cos), 0(2)0 , 0(1),(11111111第第12页页第第3章章 图像图像变换变换离散余弦变换的优点离散余弦变换的优点

6、运算速度快、易于实现等优点，它的快速算法已可运算速度快、易于实现等优点，它的快速算法已可由专用芯片来实现，因而被广泛采用。由专用芯片来实现，因而被广泛采用。研究较早，技术成熟，允许将研究较早，技术成熟，允许将8 8图像的空间表达式图像的空间表达式转换为频率域，只需少量数据来表示图像。转换为频率域，只需少量数据来表示图像。硬件和软件中都容易实现。目前国际上已经制订了硬件和软件中都容易实现。目前国际上已经制订了基于离散余弦变换的静止图像压缩标准基于离散余弦变换的静止图像压缩标准JPEG和运动和运动图像压缩标准图像压缩标准MPEG。第第13页页第第3章章 图像图像变换变换将源图像划分为若干个子块，每

7、个子块包含将源图像划分为若干个子块，每个子块包含8 88 8个像素个像素第第14页页第第3章章 图像图像变换变换第第15页页第第3章章 图像图像变换变换MATLAB中有两个二维离散变换函数中有两个二维离散变换函数:nDCT2 n反变换则为反变换则为IDCT2 第第16页页第第3章章 图像图像变换变换n例子例子: 离散余弦变换离散余弦变换1. 1.变换系数由左上角开始减小变换系数由左上角开始减小2. 2.信息可用较少的系数表达，信息可用较少的系数表达，编码的效率高编码的效率高第第17页页第第3章章 图像图像变换变换n例例: 几种变换比较几种变换比较原始图像原始图像 傅立叶变换傅立叶变换离散余弦变

8、换离散余弦变换 沃尔什变换沃尔什变换第第18页页第第3章章 图像图像变换变换 3.1 背景背景3.2 傅立（里）叶变换和频率域傅立（里）叶变换和频率域 3.3离散余弦变换离散余弦变换3.5 小波变换小波变换第第19页页第第3章章 图像图像变换变换 首先由首先由Morlet在在1974年提出，通过物理的直观和信号处理的年提出，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了实际需要经验的建立了反演公式反演公式，但未得到数学家的认可。，但未得到数学家的认可。 80年代，年代，Stromberg证明了小波函数的存在，构造了第一个证明了小波函数的存在，构造了第一个类小波基类小波基。 1984年法国地球物

9、理学家年法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时在分析地震波的局部性质时，发现付立叶变换难以达到要求，因而引入小波的概念。，发现付立叶变换难以达到要求，因而引入小波的概念。 1986年，数学家年，数学家Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与偶然构造出一个真正的小波基，并与Mallat合作建立了构造小波基的统一方法。合作建立了构造小波基的统一方法。 1987年，年，Mallat将计算机视觉领域的多尺度分析引入到小波将计算机视觉领域的多尺度分析引入到小波分析中。分析中。 DaubechiesTen Lectures on Wavelets 第第20页页第第3章章 图像图像变换变换3

10、.5.1 小波介绍小波介绍3.5.1.1 小波简史小波简史3.5.1.2 小波概念小波概念3.5.1.3 小波分析小波分析3.5.1.4 小波定义小波定义3.5.2 哈尔函数哈尔函数3.5.2.1 哈尔基函数哈尔基函数3.5.2.2 哈尔小波函数哈尔小波函数3.5.2.3 函数的规范化函数的规范化3.5.2.4 哈尔基的结构哈尔基的结构3.5.3 哈尔小波变换哈尔小波变换3.5.4 规范化算法规范化算法3.5.5 二维哈尔小波变换二维哈尔小波变换3.5.5.1 二维小波变换举例二维小波变换举例3.5.5.2 二维小波变换方法二维小波变换方法第第21页页第第3章章 图像图像变换变换n小波小波(w

11、avelet)是什么是什么 在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数在有限时间范围内变化且其平均值为零的数学函数 具有有限的持续时间和突变的频率和振幅具有有限的持续时间和突变的频率和振幅 在有限的时间范围内，它的平均值等于零在有限的时间范围内，它的平均值等于零第第22页页第第3章章 图像图像变换变换持续宽度相同持续宽度相同振荡波振荡波波与小波的差异：第第23页页第第3章章 图像图像变换变换 部分小波部分小波 许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如：许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名，例如：nMoret小波函数是小波函数是Grossmann和和Morlet在在1984年开发

12、的年开发的ndb6缩放函数和缩放函数和db6小波函数是小波函数是Daubechies开发的开发的图3.5-1 部分小波第第24页页第第3章章 图像图像变换变换 1807: Joseph Fourier 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式余弦函数之和，叫做傅立叶展开式n小波简史小波简史 小波变换小波变换 (wavelet transform)是什么是什么 老课题：函数的表示方法老课题：函数的表示方法 新方法：新方法：FourierHaarwavelet transform 第第25页页第第3章章 图像图像变换变换

13、p只有频率分辨率而没有时间分辨率；只有频率分辨率而没有时间分辨率；p可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候些频率的信号出现在什么时候第第26页页第第3章章 图像图像变换变换 1909: Alfred Haar发现并使用了小波，后来被命名为哈尔发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波小波第第27页页第第3章章 图像图像变换变换 1945: Gabor 开发了开发了STFT (short time Fourier transform)( ,)( )where: ( )signal ( )= windo(wing )f

14、unctionj tgSTFTs tedts tg ttSTFT的时间-频率关系图 第第28页页第第3章章 图像图像变换变换 1980：Morlet20世纪世纪70年代，法国地球物理学家年代，法国地球物理学家Morlet提出提出小波变换的概念。小波变换的概念。 20世纪世纪80年代年代, 开发了连续小波变换开发了连续小波变换 1986：Y.Meyer法国科学家法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数衰减性的光滑函数，用于分析函数用缩放与平移均为用缩放与平移均为2 j(j0的整数的整数)的倍数构造了的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，

15、使小波分析得到发展空间的规范正交基，使小波分析得到发展第第29页页第第3章章 图像图像变换变换 1988：Mallat算法算法Mallat提出多分辨率概念，并提出了正交小提出多分辨率概念，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法算法其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位分析中的地位第第30页页第第3章章 图像图像变换变换 小波理论与工程应用小波理论与工程应用Daubechies最先揭示了小波变换和滤波器组间的最先揭示了小波变换和滤波器组间的内在关系，使离散小波分析变成为现实内在关系，使离散小波分析变

16、成为现实Coifman和和Wickerhauser等著名科学家在把小波等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献自从自从Mallat和和Daubechies发现滤波器组与小波基发现滤波器组与小波基函数有密切关系后，小波分析在信号处理中得到函数有密切关系后，小波分析在信号处理中得到极其广泛的应用极其广泛的应用第第31页页第第3章章 图像图像变换变换小波分析小波分析/小波变换小波变换目的：目的：获得时间和频率域之间的相互关系获得时间和频率域之间的相互关系 小波变换小波变换通过通过平移平移母小波母小波获得信号的时间信息获得信号的时间信息通过通

17、过缩放缩放母小波母小波的尺度获得信号的频率特的尺度获得信号的频率特性性第第32页页第第3章章 图像图像变换变换n连续小波变换连续小波变换 傅立叶分析傅立叶分析 用一系列不同频率的正弦波表示一个信号用一系列不同频率的正弦波表示一个信号 一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数一系列不同频率的正弦波是傅立叶变换的基函数 小波分析小波分析 用母小波通过用母小波通过移位移位和和缩放缩放后得到的一系列小波表示后得到的一系列小波表示一个信号一个信号 一系列小波可用作表示一些函数的基函数一系列小波可用作表示一些函数的基函数 凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析凡能用傅立叶分析的函数都可用小波分析 小波变换

18、可理解为用经过缩放和平移的一系列函数小波变换可理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换用的正弦波代替傅立叶变换用的正弦波 用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波用不规则的小波分析变化激烈的信号比用平滑的正弦波更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好更有效，或者说对信号的基本特性描述得更好第第33页页第第3章章 图像图像变换变换CWT的变换过程示例，可分为的变换过程示例，可分为5步步n小波小波 (t)和原始信号和原始信号f(t)的开始部的开始部分进行比较分进行比较 n计算系数计算系数C该部分信号与小该部分信号与小波的近似程度；波的近似程度；C值越高表示信号值越高表示信号与小波相

19、似程度越高与小波相似程度越高n小波右移小波右移k得到的小波函数为得到的小波函数为 (t-k) ，然后重复步骤，然后重复步骤1和和2，直到直到信号结束信号结束 n扩展小波，如扩展一倍，得到的扩展小波，如扩展一倍，得到的小波函数为小波函数为 (t/2) n重复步骤重复步骤14 图3.5-3 连续小波变换的过程第第34页页第第3章章 图像图像变换变换fb小波变换的粗略解释 第第35页页第第3章章 图像图像变换变换尺度尺度a a较大较大距离远距离远视野宽视野宽概貌观察概貌观察尺度尺度a a较小较小距离近距离近视野窄视野窄细节观察细节观察分析分析频率低频率低分析分析频率高频率高多分辨分析多分辨分析第第3

20、6页页第第3章章 图像图像变换变换不同a值下小波分析区间的变化不同a值下分析小波频率范围的变化4a2a3a4aaa2a3a4a0第第37页页第第3章章 图像图像变换变换 连续小波变换用下式表示连续小波变换用下式表示(,)( ) (, )C scale positionf tscale position t dt该式含义：该式含义：信号信号f(t)与被缩放和平移的小波函数与被缩放和平移的小波函数之积在信号存在的整个期间里求和之积在信号存在的整个期间里求和CWT变换的结果是许多小波系数变换的结果是许多小波系数C ，这些系数，这些系数是缩放因子和位置的函数是缩放因子和位置的函数n离散小波变换离散小波

21、变换 类似连续小波变换类似连续小波变换第第38页页第第3章章 图像图像变换变换图3.5-5 离散小波变换分析图 DWT得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图得到的小波系数、缩放因子和时间关系，见图3.5-5 图图(a)是使用是使用Gabor开发的短时傅立叶变换得到的开发的短时傅立叶变换得到的 图图(b)是使用是使用Morlet开发的小波变换得到的开发的小波变换得到的第第39页页第第3章章 图像图像变换变换 执行执行DWT的有效方法的有效方法用用Mallat开发的滤波器，称为开发的滤波器，称为Mallat算法算法DWT的概念见图的概念见图3.5-6。S表示输入信号；通过表示输入信号；通过两个互

22、补的滤波器产生两个互补的滤波器产生A和和D两个信号两个信号图3.5-6 双通道滤波过程nA表示信号的近似值，大表示信号的近似值，大的缩放因子产生的系数，的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量表示信号的低频分量nD表示信号的细节值，小表示信号的细节值，小的缩放因子产生的系数，的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量表示信号的高频分量第第40页页第第3章章 图像图像变换变换正变换正变换 依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为像都被分解为4 4个四分之一个四分之一大小的图像。大小的图像。第第41页页第第3章章 图像图像变

23、换变换第第42页页第第3章章 图像图像变换变换 小波分解树与小波包分解树小波分解树与小波包分解树 由低通滤波器和高通滤波器组成的树由低通滤波器和高通滤波器组成的树 原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解原始信号通过一对滤波器进行的分解叫做一级分解。信号可进行多级分解。信号可进行多级分解。 小波分解树小波分解树 对信号的高频分量不再继续分解，对低频分量连续对信号的高频分量不再继续分解，对低频分量连续进行分解，得到许多分辨率较低的低频分量进行分解，得到许多分辨率较低的低频分量 小波包分解树小波包分解树 不仅对低频分量进行分解，对高频分量也进行分解不仅对低频分量进行分解，对高频分量也进行分解，

24、不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也，不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量可得到许多分辨率较低的高频分量 第第43页页第第3章章 图像图像变换变换图3.5-7 小波分解树第第44页页第第3章章 图像图像变换变换图3.5-8 三级小波包分解树1332 SAAADDADDD第第45页页第第3章章 图像图像变换变换图图3.5-9 3.5-9 降采样过程降采样过程 注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍换时，得到的数据将是原始数据的两倍如果原始信号的数据样本为如果原始信号的数据样本为1

25、000个，滤波后个，滤波后的数据为的数据为2000个。根据奎斯特采样定理，采个。根据奎斯特采样定理，采用降采样的方法，每个通道中每两个样本数用降采样的方法，每个通道中每两个样本数据中取一个据中取一个第第46页页第第3章章 图像图像变换变换n小波重构小波重构 重构概念重构概念把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构重构 两个过程两个过程在使用滤波器做小波变换时包含在使用滤波器做小波变换时包含滤波滤波和和降采样降采样两个过程，在小波重构时也包含两个过程，在小波重构时也包含升采样升采样和和滤波滤波两个过程两个过程第第47页页第第3章章 图像图像变换变换图3

26、.5-10 小波重构方法图3.5-11 升采样的方法第第48页页第第3章章 图像图像变换变换n哈尔基函数哈尔基函数 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号，如用基函数的加权和表示定的信号，如用基函数的加权和表示 哈尔基函数哈尔基函数定义在半开区间定义在半开区间0，1)上的一组分段常值函数集上的一组分段常值函数集生成矢量空间生成矢量空间V0的常值函数的常值函数000101: ( )0 xVx其他第第49页页第第3章章 图像图像变换变换 生成矢量空间生成矢量空间V1的常值函数的常值函数110100.5: ( ) ,0 xVx其他1110.51( )0 xx其他 第第50页页第第3章章 图像图像变换变换 生成矢量空间生成矢量空间V2的常值函数的常值函数012322221,