2016-2017届山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

1、2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1全集U=R，集合A=x|2x2x10，B=x|1x2，xZ，则图中阴影部分所表示的集合为（）A1，2B1，0C0，1D1，22给定下列两个命题：p1：a，bR，a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p23在等差数列an中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A30B24C18D124圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距离为1，则a=（）ABCD25已知，是两个平面，直线l，则“”是“l”的（）

2、A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不要条件6平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A矩形B菱形C正方形D梯形7若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，则直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A1BCD8已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）单调递增若实数a满足f（log2a）+f（a）2f（1），则a的最小值是（）AB1CD29将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值为（）ABCD10已知函数f（x）=|xex|t有三个零点，

3、则实数t的取值范围为（）A（0，）B（0，1）C（，1）D（0，二、填空题11已知函数f（x）=m|x3|，若不等式f（x）2的解集为（2，4），则实数m的值为12已知x0，y0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是13在ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 ABCD中，若G为BCD的重心，则可得一个类比结论：14一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积15定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是三、解答题16（12分）已知f（x）=cos

4、x（msinxcosx）+sin2（+x）（m0）的最小值为2（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosAacosB，求f（C）的取值范围17（12分）在如图所示的空间几何体中，边长为2的正三角形ABC所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，DE在平面ABE内的射影为AEB的平分线且DE与平面AEB所成的角为60°，DE=2（）求证：CD平面ABC；（）求二面角ABED的余弦值18（12分）设正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14（）求数列an的通项公式；（）设bn=an1，求+1

5、9（12分）已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润20（13分）已知椭圆E：+=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形（）求椭圆E的方程（）设过点M（0，t）（t0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围21（14分）已知函数

6、f（x）=（mx1）exx2（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为e2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）x2+mxm有且仅有两个整数解，求实数m的取值范围2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（2016秋泰安期末）全集U=R，集合A=x|2x2x10，B=x|1x2，xZ，则图中阴影部分所表示的集合为（）A1，2B1，0C0，1D1，2【分析】阴影部分表示的集合为BUA，根据集合关系即可得到结论【解答】解：阴影部分表示的集合为BUA，UA=A=x|2x2x10=x|x1，B=1，0，1，2，BUA

7、=0，1，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据图象确定集合关系是解决本题的关键，比较基础2（2016秋泰安期末）给定下列两个命题：p1：a，bR，a2ab+b20；p2：在三角形ABC中，AB，则sinAsinB则下列命题中的真命题为（）Ap1Bp1p2Cp1（p2）D（p1）p2【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可【解答】解：a2ab+b2=（ab）2+b20，a，bR，a2ab+b20不成立，即命题p1为假命题在三角形ABC中，若AB，则ab，由正弦定理得sinAsinB成立，即命题p2为真命题则（p1）p2为真命题，其余为假命题，故选：D【

8、点评】本题主要考查复合命题的真假判断，根据条件分别判断两个命题的真假是解决本题的关键3（2016秋泰安期末）在等差数列an中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A30B24C18D12【分析】由等差数列的性质得2a1+13d=12，再由3a7+a9=4a1+26d，能求出结果【解答】解：等差数列an中，a5+a10=12，2a1+13d=12，3a7+a9=4a1+26d=2（2a1+13d）=24故选：B【点评】本题考查等差数列的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用4（2016新课标）圆x2+y22x8y+13=0的圆心到直线ax+y1=0的距

9、离为1，则a=（）ABCD2【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案【解答】解：圆x2+y22x8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y1=0的距离d=1，解得：a=，故选：A【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档5（2016秋泰安期末）已知，是两个平面，直线l，则“”是“l”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不要条件【分析】利用面面垂直的判定定理即可判断出结论【解答】解：l，直线l，反之不成立“”是“l”的必要不充分条件故选：C【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、面面垂直的判定定理，考查了推理能力与计算

10、能力，属于基础题6（2013济宁一模）平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A矩形B菱形C正方形D梯形【分析】根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形再由，得对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形【解答】解：，即，可得线段AB、CD平行且相等四边形ABCD是平行四边形又，即，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B【点评】本题给出向量条件，判断四边形ABCD的形状，着重考查了平面向量的线性运算、数量积运算及其性质，考查了菱形的判定方法，属于中档题7（2016秋泰安期末）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，则

11、直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A1BCD【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是AOB，动直线x+y=a（即y=x+a）在y轴上的截距从2变化到1知ADC是斜边为3的等腰直角三角形，EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=SADCSEOC=×3××1×1=故答案为：D【点评】本题考查二元一次不等式组与其平面区域及直线方程的斜截式考查数形结合思想以及计算能力8（2016秋泰安期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且

12、在区间0，+）单调递增若实数a满足f（log2a）+f（a）2f（1），则a的最小值是（）AB1CD2【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行化简，即可得到结论【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，等价为f（log2a）+f（log2a）=2f（log2a）2f（1），即f（log2a）f（1）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）单调递增，f（log2a）f（1）等价为f（|log2a|）f（1）即|log2a|1，1log2a1，解得a2，故a的最小值是，故选：C【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用9（

13、2016秋泰安期末）将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则的值为（）ABCD【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）（）的图象向右平移（0）个单位长度后，得到函数g（x）=sin2（x）+=sin（2x2+）的图象，由于f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），sin=，sin（2+）=，=，2+=，=，故选：D【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题10（2016秋泰安期末）已知函数f（x）=|x

14、ex|t有三个零点，则实数t的取值范围为（）A（0，）B（0，1）C（，1）D（0，【分析】令f（x）=0，即为方程|xex|=t有三个不相等的实数解，即y=t与函数y=|xex|的图象有三个交点，利用导数法分析g（x）=xex的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xex|的图象，数形结合可得答案【解答】解：令f（x）=0，即为|xex|=t，令g（x）=xex，则g（x）=（1+x）ex，当x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，故g（x）=xex在（，1）上为减函数，在（1，+）上是减函数，g（1）=，又由x0时，g（x）0，当x0时，g（x）0，故函数y=|xex|的

15、图象如下图所示：故当t（0，）时，y=t与函数y=|xex|的图象有三个交点，即方程|xex|=t有三个不相等的实数解，故t的取值范围是（0，），故选：A【点评】本题考查的知识点是零点的存在性及零点的个数，其中结合函数图象的对折变换画出函数y=|xex|的图象，是解答的关键二、填空题11（2016秋泰安期末）已知函数f（x）=m|x3|，若不等式f（x）2的解集为（2，4），则实数m的值为3【分析】由题意，即可求出实数m的值【解答】解：由题意，m=3，故答案为3【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，比较基础12（2015南关区校级三模）已知x0，y0，lg2x+lg8y=lg

16、2，则+的最小值是4【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（ ）=2+2+2=4， 当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4【点评】本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换13（2016秋泰安期末）在ABC中，若D为BC 的中点，则有，将此结论类比到四面体中，在四面体 A

17、BCD中，若G为BCD的重心，则可得一个类比结论：【分析】“在ABC中，D为BC的中点，则有，平面可类比到空间就是“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”，可得结论【解答】解：由“ABC”类比“四面体ABCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体ABCD中，G为BCD的重心，则有故答案为：【点评】本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论14（2016秋泰安期末）一个几何体的三视图如图所示，求此几何体的体积【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体

18、，边长为4的组合体分别求得体积再相加【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64V四棱锥=Sh1=×42×3=16所以V=64+16=80【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键15（2016秋泰安期末）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f（x）的图象如图所示若两正数a，b满足f（2a+b）1，则的取值范围是【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围

19、，最后利用不等式的性质得到答案【解答】解：由图可知，当x0时，导函数f'（x）0，原函数单调递增，两正数a，b满足f（2a+b）1，又由f（4）=1，即f（2a+b）4，即2a+b4，又由a0b0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（2，2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则（，3）；故答案为：（）【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减三、解答题16（12分）（2016秋泰安期末）已知f（x）=cosx（msinxcosx）+sin2（+x）（m0）的最

20、小值为2（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosAacosB，求f（C）的取值范围【分析】（）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x），其中tan=，由其最小值为2，可得m，进而可求，求得函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解（）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinC=2sinCcosA，结合sinC0，可求A=，由范围C（0，），可得2C的范围，利用正弦函数的性质即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（）f（x）=cosx（msinxcosx）+sin2（+x）=msinx

21、cosxcos2x+sin2x=msin2xcos2x=sin（2x），其中tan=，由其最小值为2，可得：=2，解得：m2=12，m0，可得：m=2，tan=，=，f（x）=2sin（2x），令2k2x2k+，kZ，解得：kxk+，kZ，函数f（x）的单调递增区间为：k，k+，kZ6分（）bcosA=2ccosAacosB，即bcosA+acosB=2ccosA，由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，C为三角形内角，sinC0，cosA=，可得A=，C（0，），可得：2C（，），sin（2C）（，1，f（C）=2sin（2C

22、）（1，212分【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题17（12分）（2016秋泰安期末）在如图所示的空间几何体中，边长为2的正三角形ABC所在平面与正三角形ABE所在平面互相垂直，DE在平面ABE内的射影为AEB的平分线且DE与平面AEB所成的角为60°，DE=2（）求证：CD平面ABC；（）求二面角ABED的余弦值【分析】（）取AB中点O，连结OC，OE，以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CD平面ABC（）求出平面AB

23、E的法向量和平面BED的法向量，利用向量法能求出二面角ABED的余弦值【解答】证明：（）取AB中点O，连结OC，OE，ABC与ABE均为边长为2的正三角形，且平面ABC平面ABE，CO平面ABE，COAO，COOE，又OEAO，以OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），B（1，0，0），C（0，0，），E（0，0），O（0，0，0），又ED在平面ABE内的投影为AEB的平分线，且DE于平面ABE所成角为60°，DE=2，D（0，），=（0，），=（1，0，0），=（0，0，），=0，=0，CDOA，CDOC，又OAOC=O，C

24、D平面ABC解：（）OC平面ABE，取=（0，0，）为平面ABE的法向量，设平面BED的法向量=（x，y，z），则有：，取z=1，得=（3，），设二面角ABED的平面角为，则有：cos=二面角ABED的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18（12分）（2016秋泰安期末）设正项数列an的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14（）求数列an的通项公式；（）设bn=an1，求+【分析】（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14可得n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1n=2时，2+a2+a3=

25、+2=14，解得a2，可得Sn+1=2Sn+2，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出（II）bn=an1=2n1，可得=利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14n=1时，a1+a2=+a1，a20，解得a1=2n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2=4，Sn+1=2Sn+2，n2时，Sn=2Sn1+2，可得：an+1=2an（n=1时也成立）数列an是等比数列，首项与公比都为2，an=2n（II）bn=an1=2n1，=+=+=1【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中

26、档题19（12分）（2016秋泰安期末）已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润【分析】（）根据年利润=年销售收入年总成本，可得年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（）由（）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果【解答】解：（）当0x10时

27、，y=x（13.5x2）205.4x=8.1xx320，当x10时，y=（）x205.4x=1482（+2.7x），y=，（）当0x10时，y=8.1x2，令y=0可得x=9，x（0，9）时，y0；x（9，10时，y0，x=9时，ymax=28.6万元；当x10时，y=1482（+2.7x）148120=22（万元）（当且仅当x=时取等号）（10分）综合知：当x=9时，y取最大值（11分）故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大（12分）【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定

28、义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者20（13分）（2016秋泰安期末）已知椭圆E：+=1（ab0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形（）求椭圆E的方程（）设过点M（0，t）（t0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|AB|=2，点M在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4ktx+2t22=0，由此利用

29、根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出t的取值范围【解答】解：（1）由题意，解得a=，b=c=1椭圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，A，B为椭圆的上下顶点，且|AB|=2，点N总在以线段AB为直径的圆内，且t0，0t1，点M在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4ktx+2t22=0，直线l与椭圆E有两个公共点，=（4kt）24（2k2+1）（2t22）0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，设AB的中点G（x0，y0），则=，G（，），|NG|=，|AB|=2，点N总位于以线段AB为直径的圆内，|NG|对于kR恒成立，化简，得2t2k4+7t2k2+3t22k4+3k2+1，整理，得t2，而g（k）=1