不可压缩粘性流体流动§1粘性流体中应力

1、第七章不可压缩粘性流体的流动1 粘性流体中的应力2 不可压缩粘性流体运动的基本方程4 边界层的概念5 边界层微分方程6 边界层动量积分式7 平板边界层的近似计算8 曲面边界层的流动分离9 绕流物体的阻力1 粘性流体中的应力（简介）应力的表示法：ijp 第一个下标表示应力作用面的法线方向；第二个下标表示应力作用方向。iip理想流体没有切向力，只有法向力实际流体既有法向力，也有切向力，如图，由于应力的对称性，应力中只有6个分量是独立的。它们是：主应力：xxyyzzppp切应力：xyyxxzzxzyyzpppppp 2xxuppx对不可压流体，主应力可表示为： 2zzwppz 2yyvppy一般情况

2、下，三个法向应力不相等，其关系是：1()3xxyyzzpppp 对理想流体：xxyyzzpppp()()()xyyxyzzyzxxzvuppxywvppyzuwppzx切应力可表示为：这说明粘性流体中三个互相垂直的法向应力的平均值的负值等于该点的动压强。7-2 不可压粘性流体运动的基本方程简介 将微元体所受的惯性力、质量力和表面力代入牛顿第二定理Fma222222()xxpuuuafxxyz可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方程222222()yypvvvafyxyz222222()zzpwwwafzxyz21DVfpVDt此式称为NS方程222222222222222222()()()xy

3、zuuuupuuuuvwftxyzxxyzvvvvpvvvuvwftxyzyxyzwwwwpwwwuvwftxyzzxyz矢量表达：将加速度展开有: N-S方程与连续性方程联立，四个方程四个未知数u、v、w和p，方程为封闭的方程组。 加上初始条件，边界条件，就可以解该方程。实际上N-S方程是非线性偏微分方程，很难求解。它的解有以下几种处理方法：精确解： N-S方程中的加速度对流项是非线性项，这使得方程的求解非常困难。对于某些简单的流动，非线性对流项消失，N-S方程变为线性的方程，用解析的方法求出其解，这类解称为精确解。 在文献中能查到的精确解至今为止只有几十个，而且其中的大部分不能够直接应用到

4、实际问题中去。近似解： 小雷诺数Re情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力得到简化的线性方程。 大雷诺数Re情况，若将粘性力全部略去，只在贴近物面很薄的一层“边界层”中考虑粘性的影响，且根据问题的特点，略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程（仍是非线性的）。 对于中等雷诺数Re的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求N-S方程的数值解。 7-4 边界层的概念 1、边界层的形成：当流体绕流物体时，物面情况如图边界层外边界线当Re很小时，沿y轴方向，速度缓慢增加，直至无穷远才达到 。V当Re很大时，整个流场可以明显地分成性质

5、很不相同的两个区域。 1） 紧贴物面非常薄的一层区域称为边界层。 在该区域内，速度分量u 沿物面的法向变化非常迅速，即 很大。虽然在大Re数情形，但因 很大，故粘性应力uyuyuy仍然可以达到很高的数值。它所起的作用与惯性力同等重要。因此在边界层内不能全部忽略粘性力。 我们将这种在大雷诺数下紧靠物面处流速从零急剧增加到与来流同量级大小的薄层称为边界层。uy2） 边界层外的整个流动区域称为外部流动区域。 在该区域内， 很小，因此粘性应力在大Re数情形下比惯性力小得多可以将粘性力全部略去，因而把流体近似地看成是理想的。对于均匀来流绕过物体的流动而言，在整个外部流动区域中不仅可把流体视为理想的，而且

6、运动是无旋的。 边界层的内外边界是没有 明显的分界线，一般在实际应用中，把边界层厚度规定为：0.99V当物面法向速度达到 时的法向距离定义为边界层厚度，用来表示。流体在前驻点处速度为零，0，沿流动方向增加。附面层外边界线与流线不重合，流线可深入到边界层内。边界层具有以下特点： 0py uy1.与物体的长度相比，附面层的厚度很小2.在内， 很大。3.沿流动方向增大。4.由于很小，可以近似认为附面层内外同一截面上的压力相等，即 对于平板还有 全流场压力不变。0px证明：如图，在11截面上有 则0py111ppVV 112222pVpVgggg1 V1220在22截面上有 则0py222ppVV由于

7、1和2同属边界层外边界上，可看成无旋流，由势流的伯努利方程：12VVV而1212pppp即0pxyx 层流边界层 5.边界层内的流动也可分为层流和紊流，当两种状态都存在，称混合边界层。如图混合边界层 V0 V0 xc U UU粘性底层层流边界层层流边界层紊流边界层紊流边界层过渡过渡区区边界层界限边界层界限xcrxyUxUxx 56R510310exexcRxV *由层流转化成紊流的雷诺数为：转捩点：二、排移厚度 、动量损失厚度*0(1)udyU定义：边界层内的速度为 ，外部势流的速度为 。对于平板( , )u x y( )U x( )U xV排移厚度 由于流速受到壁面的阻滞而降低，使得边界层内

8、通过的流量与理想流体时通过的流量减少，相当于边界层的固体边界向流动内区域移动了 。* 的物理意义：*0(1)udyU *00(1)uUUdyUUudy由第一项 表示当流体是理想流体，通过面积1时的质量流量，图中矩形面积abcd。U 第二项 表示由于粘性有边界层存在，通过面积1时的质量流量，图中面积acda。0udy*U 为理想流体和实际流体通过同一面积的质量流量的差 ，图中面积abca，也可看成以速度U通过面积 时的质量流量。*1称为动量损失厚度。*0(1)uudyUU 边界层内流速的降低不仅使通过的流体质量减少，而且也使通过的流体的动量减少。两者相差相当于将固体壁面向流动内部移动一个的 距离

9、。*定义：物理意义：例：已知二元平板层流边界层的速度分布可用如下函数近似：sin()uU abyc其中U为无穷远处来流，a.b.c 为待定常数,试用边条及外部势流的衔接条件确定 a.b.c，并求出 , 。*y7-5 边界层微分方程（简介）流体绕物体的流动势流区边界层区势流理论边界层方程直接解N-S方程推导边界层方程是简化的N-S方程基本思想： N-S描述了流体所受的惯性力、压力、质量力和粘性力之间的数学关系。如果某种力与其它力相比是小量，则这个力就可以忽略不计。 在边界层中，边界层厚度与物体的长度的比值 是一个小量。/L记为1L 引入特征量:将N-S方程中的各物理量无量纲化。,xyuvpxyu

10、vpLUVP这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级N-S方程的无量纲化222222()()( )uVLuPpuLuuvxUyxULUxy 1111121211222222222()()()( )()()VvV LvPLpVvVLvuvUxyyULUUUxUy 121111121211连续性方程()0uVLvxUy111分析各量纲略去小量得：2200uupuuvxyxypyuvxy 第二个方程得到重要得结论： 边界层的压强沿y方向是不变的由伯努利方程得1dpdUUdxdx边界层微分方程组可改写为：2200uudUuuvUxydxypyuvxy边界条件为00yuv()U(x)yu或简化的边界层微分

11、方程仍是非线性的，在个别情况可用相似性法求解，一般情况要用级数展开法和数值计算法。工程上大量应用一种近似解的方法即边界层动量积分式。7-6 边界层动量积分关系式 取一控制体，其边界由壁面、边界层外缘和相距为dx的两个横截面构成。讨论控制体内质量和动量的变化经AB流入的质量和动量：20u dy经CD流出的质量和动量2200()du dyu dy dxdx0udy000()()dududx dyudyudy dxdxdx经边界层外缘AC流入控制体的质量应等于CD面上流出减AB面上流入0()dudy dxdx故由AC流入的动量流量为0()dUudy dxdx规定流出为正，流入为负，控制体内流体动量变

12、化量为200)ddu dyUudy dxdxdx再讨论受力情况AB面上受力：pCD面上受力：()()dppdxddx由于AC处于边界层外()sin2dp dxpACpddx壁面BD上的受力：0dxAC面上受力：边界上，可看成理想流体，粘性切应力可忽略，只有受压力21()xxxFQ VVx方向总的受力为：00()()ddppppdxdxdxpddxdxdpdxdx由动量方程有0()dpdxdx200)ddu dyUudy dxdxdx化简：2000)dddpu dyUudydxdxdx 注意到dpdUUdxdx00000dddUUudyUudyudydxdxdxddUuUdyudydxdx可将方

13、程改写为000()ddUdUu uU dyUudydxdxdx均质不可压缩流体常数，有2000(1)(1)duudUuUdyUdydxUUdxU将 代入*0(1)uudyUU*0(1)udyU方程是以x为变量的一阶常微分方程，它有三个未知量，因此方程不封闭，需要补充两个关系式才能求解。*00u、 、或*021(2)ddUdxU dxU各项除以 得卡门动量积分关系式2U7-7 平板边界层的近似计算*021(2)ddUdxU dxU对于平板问题：*02ddxU三个未知数，需要补充两个方程，一般是给定u和 ，u和 的近似表达式越接近实际，求出的 就越精确。*0(1)uudyUU00( )x由UVco

14、nst一、层流平板边界层1、假设速度分布为一多项式：23401234ucc yc yc yc y2、多项式系数的确定，条件00 ,0c0yu有已知板长为L板宽为B,求平板上的摩擦阻力和边界层的厚度。步骤：a),yuUV有2341234Uccccb)c)d),0uyy2312340234cccc0 ,0yuv222002c0yuy得234202c0yucy得可解得5个系数 13434022,2,0UUUccccc,0 ,0uUyuUvxxe)002yuUy故速度分布为：342( )2( )( )uyyyU3、 的补充式04、求*037(1)315uudyUU5、将 和 代入动量积分式：0*02d

15、dxU有：372315ddxU是常微分方程372315ddxU积分2126137xcU当0,00 xc故25.845.845.84exxxxxRUUeR 随 x 而 ，随 而 ，即边界层厚度随流动方向增厚且雷诺数越大，边界层越薄。注意：边界层厚度表达式不止一个，但与x 和 的规律不变。eR6、求摩擦阻力0由20210.343exUUReLVLALbRLb沿板长积分2000.686DeLLdFRbxU A式中用摩擦阻力系数表示阻力：令 有212DfFcU A1.732feLcR二、平板湍流边界层简介 层流边界层限于临界雷诺数以下的区域，对于大多数工程问题，都是大于临界雷诺数的湍流边界层问题。为了

16、计算简单，一般认为湍流边界层从前缘点开始，其计算方法与层流边界层相同，只不过速度分布 借用圆管紊流 次方规律：1/ 71/ 7max0max()( )uyuyuru17 208V切应力分布也借用圆管紊流规律：由此解出 和 。结果比较：fc1） 的比较：层流： 5.84exxR紊流：与 正比 12x50.381exxR45x与 正比2） 的比较：1.732feLcRfc层流：紊流：50.074feLcR对一定的 ，紊流的摩阻系数大于层流的摩阻系数。eLR紊流边界层的厚度比层流边界层的厚度随 x 增加而增加得快。三、平板混合边界层简介 当流体绕流平板时，在前端出现的是层流边界层，只有超过一定的位置

17、后，边界层才会完全变成湍流。 0ABxc 从层流转变为湍流的点称为转捩点，此时的雷诺数称为临界雷诺数。56Re510310ccxV x计算思路：计算oA段层流的摩阻系数计算oB整板上的摩阻系数计算oA段紊流的摩阻系数foAc层foBc紊foAc紊混合边界层的摩阻系数：fc （ ）foAc层foBc紊foAc紊7-8 曲面边界层的流动分离 在正常情况下，边界层中的流动方向与主流方向一致，但是对非流线型物体，往往会发生下列现象： 物面上的边界层在某个位置上与物面分离，所谓分离是指在物面附近出现与主流方向相反的回流。 边界层分离又称为边界层的脱体，分离点又称为脱体点。流线型物体在非正常情况下也能产生

18、分离。 在某些特殊情况下，分离了的边界层有可能再次附着在物面上，从而在物面附近形成封闭的回流区， 一、分离流动的特点 对平板边界层有 且在边界层外边界上各点的速度为常数。当流体绕流曲面时，由于 固壁曲面使过流截面发生变化，因而边界层外边界上的速度 则各点的压力 p 也不相等，即 这对流动有很大影响。0,0ppxyUc0,0ppyx讨论流体绕流曲面时压力和速度的变化:00puxxoM oMAB在 段：流体降压增速当到达曲面最高点 M处，压力降至最小，速度达到最大。0px MA 0dpdx0ux在 段，由于过流截面的变化，流体的动能减小压力要升高 此时，流体的动能不仅要克服摩擦阻力，还要转化成压能

19、，使得流体速度急剧减小，边界层厚度不断增厚，到达曲面A点时边界层内流体的动能被耗尽，这部分流体便停止不前。而此同时，主流的流体可伸入边界层内，使得A点后的流体压力继续升高，曲面附近的流体被迫反向倒流而使边界层与壁面分开，这种现象称为边界层分离。A点称为分离点。发生分离后，主流和回流碰撞产生漩涡，在物体后部形成尾涡区，漩涡的运动要消耗能量，使得物体后部的压力不能恢复到物体前部的压力，使得物体前后形成压力差，产生阻力。这种阻力称压差阻力。 在分离点及其上下游作速度剖面图，可以发现，在分离点A上满足 00yuy 上式是普朗特首先作为分离判据提出来的，显然在分离点上 。 0wA点之前：00yuyA点之

20、后：00yuyA点：二、分离机理 顺压梯度区 ，由于顺压差引起边界层区中流动加速 ，动能不断增加，因而边界层中流动不会出现滞止。 逆压梯度区 ，逆压差引起边界层区中流动减速 ，另一方面主流区提供给边界区的动能又有所减小。故在逆压梯度作用下，可能首先产生滞止。 0dpdx 0dpdx00yuy00yuy 逆压梯度越大，则越易产生分离。在逆压梯度区足够长的区域中，最终将产生分离。由此可知：粘性流体在低压增速区域不会发生边界层分离，只有在增压降速过程才有可能发生分离。分离条件：1）逆压流动2）粘性的滞止作用 0dpdx00yuy三、锐缘效应 在自然界或在工程问题中，我们发现，流体绕过任何物体的尖缘时

21、，总要出现分离。 迎流面为顺压梯度区，背流面为逆压梯度区。当流体绕过此物体时，由于流体离心作用，在2点附近压力最低。曲率越大，则此点压力越低，因此，对于曲率大的物体边缘，在其背流面很容易产生分离。当边缘为尖角时，则必然产生分离。 分离点的位置与物体的形状有关：钝头体，分离点靠前，后面的涡区大；流线形的物体分离点靠后，甚至可不分离。 沿汽车外表面在档风玻璃前和尾部都会发生附面层分离。 7-9 绕流物体的阻力 物体在粘性流体中运动时，会受到阻力作用。平板的阻力计算已介绍，曲面受到的阻力一般需通过试验来确定。如图将一翼形固定，让气流以 绕翼形流动，这时，翼形受到的作用一、绕流阻力的计算：0u力为 F

22、,可将 F 分解成 FL 和 FDFFDFLu0p升力LLFVFDF绕流阻力 绕流阻力从机理上可分析是由两部分组成：一是由粘性直接作用的结果,二是由粘性间接作用的结果，其物理表达式为：cossinDllFdLpdL 是作用在壁面上的切应力，由它引起的阻力称摩擦阻力。212DDFcV A p是作用在壁面上的压应力,由它引起的阻力称压差阻力。式中： 阻力系数虽然产生阻力的机理分析得很清楚，但要从量上求出各部分的大小却很困难依靠实验和因次分析法可得到阻力计算式DcA迎流面积（与来流垂直）二、影响FD的因素：1、与粘性有关。 ，摩阻增大。2、与物体形状有关，与物体的方位有关。在相同条件下，迎流面积越大

23、，尾部漩涡区越大，前后压差越大，压阻增大。与物体所放的方位有关，同是流线形的机翼，有攻角和无攻角的涡区不同。3、与物体的粗糙度有关。表面粗糙度越大，越易形成紊流边界层使得摩阻增大，但紊流度越大，流体的动能越大，分离点后移，压阻减小。可能总阻力减小。要综合考虑。光滑柱面4、与来流 有关，即与 有关。VeR 越大越易形成紊流边界层，摩阻增大但分离点后移压阻减小eR粗糙柱面 大量试验表明，在不同雷诺数条件下，流动现象的差异是明显的。 以绕流小球流动为例： 在Re1条件下其特点为：流动上下，前后对称，呈稳定层流状态。物体阻力来源于物面粘性切应力的合力，即摩擦阻力。 在 35Re3040条件下，其特点为在背风面出现对称旋涡区。物体阻力由两部分组成：摩擦阻力和压差阻力（物面上压力的合力在流动方向的分量）。摩擦阻力与压差阻力具有同等重要性。 在3040Re8090条件下，其特点为在背风区的对涡区出现摆动，但仍呈层流状态。物体阻力由摩擦阻力和压差阻力组成，它们具有同等重要性。 在8090Re150300条件下，其特点是在背风面旋涡交替脱落，从而形成两排向下游运动的涡列，通常称它为卡门