圆锥曲线解题方法技巧归纳(整理)

1、圆锥曲线解题方法技巧归纳一、知识储备：1,直线方程的形式(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容夹角公式：tank2k11k2ki(3)弦长公式直线ykxb与圆锥曲线两交点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离:AB/k2|xx2J(1k2)(x1x2)24x1x2或ABJj|y1y2(若 A 点为交点，另一点不在圆锥曲线上，上式仍然成立。)(4)两条直线的位置关系11l2k1k2=-1l1l2k1卜2且 4b22、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式(三种形式)22标准方程：1(m0,n0且mn)mn距离式方程：,(xc)2y2

2、,(xc)2y22a参数方程：xacos,ybsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程：1(mn0)mn参数方程：x二atane,y-b距离式方程：|,(xc)2y2J(xc)2y2|2a倾斜角与斜率ktan,0,)点到直线的距离dAxoBy。C;A2B2两直线距离公式ICT心|(3)、三种圆锥曲线的通径(6)、记住焦半径公式：(1)椭圆焦点在x轴上时为ae%;焦点在y轴上时为aey0,可简记为“左加右减，上加下减”(2)双曲线焦点在x轴上日t为e|x0|a(3)抛物线焦点在x轴上时为|Xi|(,焦点在y轴上时为|yj(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形二、方法储备1、点差法(中点弦问

3、题)2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办?设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0,以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(x,y1),B(x2,y2),将这两点代入曲线方程得到。两个式子，然后。1-，整体消元椭圆：空；双曲线:a竺抛物线：2Pa(4)、 圆锥曲线的定义焦点三角形面积公式:P在椭圆上时，SF1PF2b2tan-2,F1PF2,cosP在双曲线上时，SF1PF2b2cot-2,PF?PF2MM|cos)设AX1,y1、Bx2,y2,?二二】为椭圆4%二1ab的弦AB中

4、点则有XiVi“/二1ViT=1;两式相减得XIX2XIX2火力kAB=3,若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点8ky1y25k2,yy24b280k245k2代入（2）式得-2-9b32b160,解得b4（舍）或bF 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为ykxb,就意味着 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆4x25y280上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点（点 A 在 y 轴正半轴上）.（1）若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程；（2）若角 A 为

5、90,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率，从而写出直线 BC 的方程。第二问抓住角 A 为90可得出 ABAC,从而得X1X2y1y214（yiy?）160,然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程；解：(1)设 B(x1,2222X1y1.2yd1,120162016加小(X1X2)(X1两式作差有2220y1),C(X2,y2),BCX2)(y1y2)(yy)16F（2,0）为三角形重心，所以由勺一X23中点为（X0,y0）,F（2,0）则有00里0542,代2,得X03由-y1y2-0得y0

6、3入（1）得卜65直线 BC 的方程为 6X2）由 ABAC 得x1X2设直线 BC 方程为y5y280y*14(y1y2)160(2)22kxb,代入4x5y80,得(42225k)x10bkx5b800X1X210kb2)45k2X1X22_5b8045k2依题意，记 A，一1，其中c51ABi为双曲线的半焦距，h是梯形的高,由定比分点坐标公式得X0cc-21，V。2设双曲线的方程为与a2yb2则离心率由点 C、E 在双曲线上,将点E 的坐标和ea代入双曲线方程得hjb2分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能4士/1,4、y9直线过定点(0,),设

7、D(x,y),则99xy41,即9y29x232y160 x力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系xOy,如图，若设C-,h2，代22入与I_1,求得hJU,进而求得XEIH-yEHI,再代入22xy7Tab函数f(a,b,c,0,整理f(e,)0,此运算量可见是难上加难h可采取设而不求的解题策略，建立目标函数f(a,b,c,)0,整理f(e,)0,化繁为简.解法一：如图，以 AB 为垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy,则 CDLy轴因为双曲线经过点 CD,且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 GD 关于y轴对称围DB工解法二: 建系同解法一,AEaex

8、EXEcc21AE又AC解得3/日4得，3e22所以双曲线的离心率的取值范围为777而5、判别式法22-例 3 已知双曲线C工二 1,直线l过点AJ2,0,斜率为k,22当0k1时，双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l的距离为72，试求k的值及此时点 B 的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点作与l平行的直线，必与双曲线 C 相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路:3e211Ye所以双曲线的离心率的取值范围为7,V10分析：考虑A

9、E,AC为焦半径，可用焦半径公式,AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，达到设而不求的解题策略.由式得b2将式代入式，整理得解得.7e.10l:yk(x2)0k1直线1在I的上方且到直线I的距离为42I:ykx2k22v2k把直旗I 喻方。代入双曲线方程，消去v,令判别式0解得k的值解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线I的距离为 J2”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:问题0关 于x的 方程.kxV2x2A-2_1V20k1有唯一。转化为一元二次方程根的问题求解简解：设点M(x,v2x2)为双曲线

10、 C 上支上任一点，则点 M 到直线I的距离为:kxx2x2v2k_&,k21于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0k1,所以V2x2xkx,于是关于x的方程kx2x22k2(k21)从而有kx2x242kkx2x22k.2_2x2(2(k21).2k2(k21)2kkx0-2k1x2k2(k1).2kx.2(k1),2k20.kx)2,k21x22k2(k21)2kx2(k21)2kkx0.2(k21)22k20,由0k1可知:方程k21x22k.2(k2-1).2kx2(k21)22k20的二根同正，故，2(k21)J2kkx0恒成立，于是等价于由如上关于x的方程有唯一解,得

11、其判别式.一2.50,就可解得k5点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.2例 4 已知椭圆 C：x22y28和点 P(4,1),过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点，在线一.一，.AP段 AB 上取点 Q 使PBAQ-,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程.QB分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q 的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的由于点Q(x,y)的变化是由直线 AB 的变化引起的，自然可选择直线 AB 的斜率k作

12、为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点 Q 在直线 AB 上；另一方面就是运用题目条件:APAQ一,来转化.由 A、B、P、Q 四点共线，不难得到义4(xAXB)2XAXB,要建立x与kPBQB，x8(XAXB)的关系，只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程，利用韦达定理即可通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题,已经做到心中有数.在得到xfk之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,yv1的万程(不含k),则可由yk(x4)1解得k-一,直接代入xfk即可得到轨x4迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设Ax11yl,B(x

13、2,y2),Q(x,y),则由-AQ-可得：-x1-包，PBQBx24x2x解之得：x4(x1x2)2x1x2(1)8(x1x2)设直线 AB 的方程为：yk(x4)1,代入椭圆 C 的方程，消去y得出关于 x 的一元二次方程：_22_22k1x4k(14k)x2(14k)80(2)4k(4k1)2k2122(14k)82k21与yk(x4)1联立，消去k得：2xy4(x4)0.xx2代入(1),化简得：x4k3k2韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道6、求根公式法x2y2AP例 5 设直线

14、l过点 P（0,3）,和椭圆匕1顺次交于AB 两点，试求的取值94PB范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：”=也，但从此后却一筹莫展，问题的根PBXB源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.,一一、一APxA分析 1：从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量PBXBXA,XB,同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第 3 个变量一一直线AB的斜率k.问题就转化为如何将XA,XB转化为关于k的表达式，到此为止，将直

15、线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.在（2）中，由64k264k240,解得2严2/0,结合（3）可求得-4-16210 x9162109故知点Q 的轨迹方程为：2xy40（竺_空”9162J10)点评:由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的二次方程，其判别式、所以11181,9295k25AP1PB分析 2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原一，一APx

16、因在于不是关于x1，x2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有简解 1:当直线l垂直于 x 轴时，可求得APPB当l与 x 轴不垂直时，设A*yi,B(X2,y2),直线l的方程为：ykx3,代入椭圆方程，消去y得9k24x254kx450解之得27k6.9k2529k24因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑k0的情形.当k所以由0时,APPB27k6.9k25xi2,x9k4xi9k2.9k25.=1x29k29k2527k69k259k2418k29k2v.9k5189295k2(54k)21809k240,解得k25,9综上PBx2了，即我们可以构造关

17、于x1,x2的对称关系式简解2:设直线l的方程为:ykx3,代入椭圆方程，消去y得9k22x54kx450*)X1X2则X1X254k9k24459k24.令上X2324k245k220在（*）中,由判别式0,可得k259从而有-2324k245k2036,所以5八36.2一，解得55.结合0综上,11得15APPB点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法,变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，

18、树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例 6 椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且AFFB1,OF1.（I）求椭圆的标准方程；（n）记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线l,使点F恰为

19、PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。思维流程：由 F 为PQM的重心一PQMF,MPFQ-kPQ1PQ(n)_2._2_3x4mx2m20解题过程:(I)(ac)(ac)1,c1a.2,b1写出椭圆方程消元两根之和,两根之积得出关于m 的方程解出 m、工x22故椭圆方程为一y22设P(x1,y1),Q(x2,y2),.M(0,1),F(1,0),故kPQ1,得X1(X21)(X2m)(x1m1)例 7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)、3上C1,一二点.2(l)求椭圆E的方程：(n)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F(1,0),H

20、(1,0),当ADFH内切圆的面积最大时，求ADFH内心的坐标；思维流程：(I)由椭圆经过 A、B、C 三点_设方程为mx2ny21(I)如图建系，设椭圆方程为x2y27b21(a0),则c1又AFFB1即(ac) (ac)1a22(n)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则口、八，,y于是设直线l为yxm,由2x2ym八2,八2-2得，3x4mx2m2220Md1)y2(y11)又yixm(i1,2)2x1x2(x1X2)(m1)m2由韦达定理得c2m22234m,T(m1)m24斛得m一或m13(舍)经检验m4一符合条件.3点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边

21、,然后转化为两向量乘积为零.B(2,0)、得到m,n的方程解出m,n.3得出D点坐标为0,3解题过程：(I)设椭圆方程为mx2ny21m0,n0将A(2,0)、B(2,0)、一一3、-C(1,2)代入椭圆E的方程，得4m1,彳彳2211xy9斛得m,n一.，椭圆E的方程1m-n1434341(n)|FH|2,设ADFH边上的高为SDFH-2hh2当点D在椭圆的上顶点时，h最大为J3,所以SDFH的最大值为J3.设ADFH的内切圆的半径为R,因为ADFH的周长为定值6.所以，SDFH所以R的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为(0圾3(,3)的周长r的内切圆点.(I)若线段AB中点的横坐标是1,求直

22、线AB的方程;2点石成金：S的内切圆例 8、 已知定点C(1,0)及椭圆X23y25,过点C的动直线与椭圆相交于(n)由DFH内切圆面积最大转化为DFH面积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为J32周长r内切圆(n)在x轴上是否存在点M,使MAMB为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由思维流程：(I)解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1),将yk(x1)代入x23y25,消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.设A(x1，y)B(x2,NA,所以直线AB的方程为xJ3y10,或xV3y10.(n)解：假设在x轴上

23、存在点M(m,0)，使MAMB为常数.当直线AB与x轴不垂直时，由(I)知则x142236k44(3k21)(3k26k2x22.3k215)0，(1)(2)由线段AB中点的横坐标是x1x223k23k211,解得k更，符合题2323k21x1x23k253k21m)(x2m)ym(x1m)(x22m)k(x11)(x21)所以(X12，、(k1)xx2八222-、(km)(x1x2)km.将(3)代入，整理得2(6m1)k53k211214(2m-)(3k21)2m333k212c16m14m2m-233(3k1)注意到MAMB是与k无关的常数，从而有6m140,m当直线AB与x轴垂直时，此

24、时点A,B的坐标分别为1忑、173(I)求椭圆的方程；(n)求 m 的取值范围;(出)求证直线 MAMBWx 轴始终围成一个等腰三角形思维流程:22解：(1)设椭圆方程为J41(ab0)a2b2(m)设直线 MAMB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可、口八/f/ircc2/设A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1x22m,x1x22m4贝Uk11,k2x12x227一一时，亦有3综上，在x轴上存在定点M7Q，使MAMB为常数.3点石成金:品笳整坪m21214(2m-)(3k21)2m333k212m6m143(3k21)例 9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，

25、长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 勺直线l在 y 轴上的截距为m(。甘 0),l交椭圆于 A、B 两个不同点。2b解得12ab2，椭圆方程为(H).直线l平行于OM 且在 y 轴上的截距为l的方程为：yy由2x81x22y22mx2m240直线 l 与椭圆交于AB 两个不同点,(2m)24(2m24)0,解得2m2,且m02x1x22m,x1x22m411(万km1)(x22)(产m1)(x12)(X2)(x22)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)(X2)(x22)2m24(m2)(2m)4(m1)(X2)(x22)2m242m24m4m40(x12)(x22)

26、k1k20故直线 MAMB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形点石成金：直线 MAM*x 轴始终围成一个等腰三角形k1k20(1)求双曲线的方程;上，求k的值.思维流程：解：(1)2打,原点到直线 AB：上工1 的距离a3abab;2.2*ab1,a、.3.由x22mx2m240可得而k1k2yi1x12y1x22(yi1)供2)(y21)(xi2)(xi2)(x22)2例 10、已知双曲线三a2yb2,过A(a,0),B(0,b)的直线到原点的距(2)已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C,D 且C,D都在以B为圆心的圆ab、3故所求双曲线方程为X221丫(2)把 ykx5 代入 x23

27、y23 中消去y,整理得(13k2)x230kx780.设C（Xi，y/D（X2，y2）,CD的中点是 E（%,y。），则故所求k=为 3,最小值为 1.（I）求椭圆 C 的标准方程;思维流程:由已知得:ykxm,22工上1.43222得(34k)x8mkx4(m3)。，则X0kBEx1x2y0 x015k23k1.kV。kx05 一1523kx。ky。0,15k即213k25k13k2。，又k0,k27点石成金：C,D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE!CD;例 11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值（II）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.2解：（I）由题意设椭圆的标准方程为弓a2yb21(ab0),a2,b21,2c椭圆的标准方程为(II)设A(x1,y1)，B(x2,y2),联立0)的左右两个焦点分别为Fi、F2,点 P 在双曲线右支上.3.4116(I)若当点 P 的坐标为(且1,16)时，PF1PF2,求双曲线的方程;55