第三章流体运动学一

1、第三章第三章 流体运动学流体运动学 3.13.1流动描述流动描述 3.23.2描述描述 流体运动的基本概念流体运动的基本概念 3.33.3流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 3.43.4流体微团运动分析流体微团运动分析本章要点本章要点: : 熟练掌握熟练掌握恒定流与非恒定流、均匀与非均匀流、恒定流与非恒定流、均匀与非均匀流、过流断面和流量等基本概念；过流断面和流量等基本概念；掌握掌握连续性微分方程、连续性微分方程、一维连续性方程、流体微团的运动分析；一维连续性方程、流体微团的运动分析；理解理解流管、流管、元流、总流、流线、迹线、一维流和二维流及三维流、元流、总流、流线、迹线、一维流和二维

2、流及三维流、有压流动和无压流动等基本概念；有压流动和无压流动等基本概念；了解了解描述流体运动描述流体运动的拉格朗日法、欧拉法。的拉格朗日法、欧拉法。3.13.1流动描述流动描述 流体运动学研究流体的运动规律，包括描述流流体运动学研究流体的运动规律，包括描述流体运动的方法、质点速度、加速度的变化和所遵循体运动的方法、质点速度、加速度的变化和所遵循的规律。本章不涉及流体的动力学性质，所研究的的规律。本章不涉及流体的动力学性质，所研究的内容及其结论，对无粘性流体和粘性流体均适用。内容及其结论，对无粘性流体和粘性流体均适用。 描述流体运动有两种方法，有描述流体运动有两种方法，有欧拉欧拉（Leonhar

3、d Leonhard EulerEuler，瑞士数学家及自然科学家，公元，瑞士数学家及自然科学家，公元1707170717831783年）法和年）法和拉格朗日拉格朗日(Lagrange(Lagrange，J.J.法国数学家、法国数学家、天文学家，公元天文学家，公元173617361813)1813)法。法。流体和固体不同，流体运动是由无数质点流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续介质的流动。怎样用数学物理构成的连续介质的流动。怎样用数学物理的方法来描述流体的运动？这是从理论上的方法来描述流体的运动？这是从理论上研究流体运动规律首先要解决的问题。研究流体运动规律首先要解决的问题。一、拉格

4、朗日法一、拉格朗日法 拉格朗日法是把流体运动看作拉格朗日法是把流体运动看作无数个质点运动的总和，以部分质无数个质点运动的总和，以部分质点作为观察对象加以描述，将这些点作为观察对象加以描述，将这些质点运动汇总起来，就得到整个流质点运动汇总起来，就得到整个流动。拉格朗日法也称为质点系法。动。拉格朗日法也称为质点系法。 拉格朗日法为识别所指定的质拉格朗日法为识别所指定的质点，用起始时刻（点，用起始时刻（tt0）的坐标）的坐标( (a，b，c) )作为该质点的标志。其位移就作为该质点的标志。其位移就是起始坐标和时间变量的连续函数是起始坐标和时间变量的连续函数（图（图31）。）。 zxyacbr0yxz

5、rt图图3 31 1质点的运动轨迹质点的运动轨迹 式中式中a、b、c、t称为拉格朗日变数。确定称为拉格朗日变数。确定a、b、c就可以就可以确定该质点的轨迹方程。确定该质点的轨迹方程。( , , , )( , , , )( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t31 当研究某一指定流体质点时起始坐标当研究某一指定流体质点时起始坐标a a，b b，c c是常数，是常数，式式( (31) )所表达的是质点的运动轨迹。速度和加速度都是针对所表达的是质点的运动轨迹。速度和加速度都是针对某一流体质点而言的，所以，将式某一流体质点而言的，所以，将式( (31) )对时间进

6、行一阶和二对时间进行一阶和二阶偏导数，在求导过程中阶偏导数，在求导过程中a，b，c视为常数，便得该质点的速视为常数，便得该质点的速度和加速度。度和加速度。加速度加速度 222222zztuatytuatxtuazzyyxx33 速度速度 ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),(32 速度速度 ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),( 拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，其基本特点是追踪拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，其基本特点是追踪单个质点的运动，物理概念清晰明了，与研究固体质点的方法单个质点的运动，物理概念清晰明了，

7、与研究固体质点的方法一致。但是，由于流体质点的运动轨迹极其复杂，应用这种方一致。但是，由于流体质点的运动轨迹极其复杂，应用这种方法描述流体的运动在数学上存在困难，在实用上也不需要了解法描述流体的运动在数学上存在困难，在实用上也不需要了解质点运动的全过程。所以，除个别的流动，都应用欧拉法描述，质点运动的全过程。所以，除个别的流动，都应用欧拉法描述，本书后叙内容均属欧拉法。本书后叙内容均属欧拉法。二、欧拉法二、欧拉法 欧拉法是以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各欧拉法是以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动参数，将各个时刻的情况汇总起来，空间点上流体质点的运动参数，将各

8、个时刻的情况汇总起来，就描述了整个流动。欧拉法也称为流场法。就描述了整个流动。欧拉法也称为流场法。 由于欧拉法以流动空间作为观察对象，每时刻各空间点由于欧拉法以流动空间作为观察对象，每时刻各空间点都有确定的运动参数，这样的空间称为流场，包括速度场、都有确定的运动参数，这样的空间称为流场，包括速度场、压强场、密度场等压强场、密度场等. . 采用欧拉法，流场中任意一个运动要素可以表示为空间采用欧拉法，流场中任意一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数，比如在直角坐标系中流速是随空间坐标坐标和时间的函数，比如在直角坐标系中流速是随空间坐标（x x，y y，z z）和时间）和时间t t而变化的。因此

9、流体质点的速度可以表而变化的。因此流体质点的速度可以表示为示为式中，空间坐标式中，空间坐标x x，y y，z z和时间变量和时间变量t t称为欧拉变数。称为欧拉变数。( , )uu x y z t （35）),(tzyxpp(,)xyzt(, )(, )(, )xxyyzzuuxyz tuuxyz tuuxyz t37 36 35 34 流体质点的速度在各坐标轴上的投影可表示流体质点的速度在各坐标轴上的投影可表示为为当当t t为常数，为常数，x，y，z为变数时，我们可以求得在同一时刻流场为变数时，我们可以求得在同一时刻流场中不同空间点上流体质点的速度分布情况（中不同空间点上流体质点的速度分布情

10、况（流速场流速场）。当）。当x，y，z 为常数，为常数，t为变数时，我们可以求得在某一坐标点上，不同时为变数时，我们可以求得在某一坐标点上，不同时刻通过的流体的速度变化情况。刻通过的流体的速度变化情况。 流场中，不同坐标点上的流速分布在同一时刻是不同的，流场中，不同坐标点上的流速分布在同一时刻是不同的，另一方面，同一坐标点上，不同时刻通过的流体质点流速也是另一方面，同一坐标点上，不同时刻通过的流体质点流速也是不同的。不同的。 例如气象预报就是由设在各地的气象台例如气象预报就是由设在各地的气象台( (站站) )在规定的同一在规定的同一时间进行观测，并把观测到的气象资料汇总，绘制成该时刻的时间进行

11、观测，并把观测到的气象资料汇总，绘制成该时刻的天气因子，据此发布预报，这样的方法就是欧拉法。天气因子，据此发布预报，这样的方法就是欧拉法。三、流体质点的加速度，质点导数三、流体质点的加速度，质点导数拉格朗日法以个别质点为对象，式拉格朗日法以个别质点为对象，式( (33) )即为指定质点即为指定质点（起始坐标（起始坐标a，b，c）的加速度表达式。下面讨论欧拉法质点加）的加速度表达式。下面讨论欧拉法质点加速度的表达式，求质点的加速度，就要跟踪观察这个质点沿程速度的表达式，求质点的加速度，就要跟踪观察这个质点沿程速度的变化，这样一来，速度表达式中的坐标速度的变化，这样一来，速度表达式中的坐标x，y，

12、z是质点运是质点运动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是时间动轨迹上的空间点坐标，不能视为常数，而是时间t t的函数，即的函数，即xx(t)、yy(t)、z=z(t）。因此，加速度需按复合函数求导法则。因此，加速度需按复合函数求导法则导出：导出： duu dxu dyu dzadtx dty dtuztdtxyzuuuuuzuuxyt （38） 式式(38)、(39) 是欧拉法描述流体运动中质点加速度的是欧拉法描述流体运动中质点加速度的表达式，式中包括因表达式，式中包括因速度场随时间变化引起的加速度速度场随时间变化引起的加速度，称，称为为当地加速度当地加速度或或时变加速度时变加速度；速度场随

13、位置变化引起的加速度；速度场随位置变化引起的加速度 称为称为迁移加速度迁移加速度或或位变加速度位变加速度，举例说明如下：，举例说明如下：xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyxyzzduuuuauuudtxyzduuuuauuututuudtxyzduuuuauuudtxyzt（39） 分量形式分量形式ut,yyyxxxzzzxyzxyzxyzuuuuuuuuuuuuuuuuuuxyzxyzxyz 水箱中的水经收缩管流出水箱中的水经收缩管流出( (图图32) )，若水箱无来水补充，若水箱无来水补充, , 水位逐渐降低，管轴线上质点的速度随时间减小，当地加速水位逐渐降低，管轴线上质点的速

14、度随时间减小，当地加速度度 为负值。同时管道收缩，质点的速度随迁移而增大为负值。同时管道收缩，质点的速度随迁移而增大, ,有迁移加速度有迁移加速度 为正值，所以该质点的加速度为：为正值，所以该质点的加速度为：xutxxuuxxuutuaxxxx 若水箱有水补充，水位保持不变，若水箱有水补充，水位保持不变，质点的速度不随时间变化，当地加速质点的速度不随时间变化，当地加速度度 为零为零, ,但仍有迁移加速但仍有迁移加速 度，该质点的加速度为度，该质点的加速度为 。xxxuaux图图32xut若出水管是等直径的直管，且水位若出水管是等直径的直管，且水位H保持不变保持不变( (图图3333) )，则管

15、内流动的液体质点，既无当地加速度，也无迁移加速度，则管内流动的液体质点，既无当地加速度，也无迁移加速度， 。0 xa （312） 图图3333等直径直管出流等直径直管出流 例例3 31 1 已知速度场已知速度场 ， ， ，试求试求 时，位于时，位于 处质点的加速度。处质点的加速度。 解解 将将 代入速度场方程，代入速度场方程，得：得： 222xutxyzxtuzzytuyst3(0.8,0.8,0.4)3 ,0.8 ,0.8 ,0.4ts xm ym zmsmux/2 . 98 . 028 . 0232smuy/6.24.08.03smuz/4 . 34 . 08 . 03zuuyuuxuut

16、uaxzxyxxxx6 .2526 . 222 . 922/ sm2/8.1smay2/8 . 6smaz2222/55.26smaaaazyx由式（由式（3939）得：）得： 3.23.2欧拉法的基本概念欧拉法的基本概念一、流线一、流线1 1流线的概念流线的概念 为了将流动的数学描述转换成流动图像，特引入流线为了将流动的数学描述转换成流动图像，特引入流线的概念。的概念。所谓流线是某一瞬时无穷多流体质点运动趋势的所谓流线是某一瞬时无穷多流体质点运动趋势的连线，线上每一点处质点在该时刻的速度矢量，都与曲线连线，线上每一点处质点在该时刻的速度矢量，都与曲线相切相切（图（图34）。在运动流体的流场整

17、个空间可以绘制出）。在运动流体的流场整个空间可以绘制出一系列流线，称为流线族，流线族构成的流线图称为流谱。一系列流线，称为流线族，流线族构成的流线图称为流谱。图图34某时刻的流线图某时刻的流线图u1u2u3u4u51 2 3 4 5 图37图38图352. 2. 流线的性质流线的性质 流线是一条光滑连续的曲线（含直线）；除了驻点流线是一条光滑连续的曲线（含直线）；除了驻点( (图图35中中A点流速为点流速为0）流线不能中断；流线不能相交和转折（否则）流线不能中断；流线不能相交和转折（否则位于交点的流体质点，在同一时刻就有与两条流线相切的两个位于交点的流体质点，在同一时刻就有与两条流线相切的两个

18、速度矢量速度矢量, ,这是不可能的这是不可能的););流线的疏密表示流动的快慢程度，流线的疏密表示流动的快慢程度，也就是表达了流速的大小；流线之间夹角的大小，表明流动变也就是表达了流速的大小；流线之间夹角的大小，表明流动变化快慢程度，也就是流线的弯曲程度表示流动变化快慢程度。化快慢程度，也就是流线的弯曲程度表示流动变化快慢程度。 归纳起来流线的性质主要有归纳起来流线的性质主要有: : . .同一时刻的不同流线，不能相交；同一时刻的不同流线，不能相交； 根据流线定义，在交点处的液体质点的流速应同时与这两根据流线定义，在交点处的液体质点的流速应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向

19、量；条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量； . .流线不能是折线，而是一条光滑的曲线；流线不能是折线，而是一条光滑的曲线； 流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数；流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数； . .流线簇的疏密反映了速度的大小；流线密的地方流速流线簇的疏密反映了速度的大小；流线密的地方流速大，流线疏的地方流速小；大，流线疏的地方流速小； . .流线弯曲程度越大，流速变化越快流线弯曲程度越大，流速变化越快, ,流线保持平行，流流线保持平行，流速不发生变化。速不发生变化。 3 3流线方程流线方程 根据流线的定义，可得出流线的微分方程。如图所示，在根据流线的定义，可得

20、出流线的微分方程。如图所示，在流线流线AB上取一微分段上取一微分段ds，将其看作是直线，此时流速矢量，将其看作是直线，此时流速矢量u与与微分段微分段ds重合。速度重合。速度u在各坐标轴上的投影为在各坐标轴上的投影为ux、uy、uz，ds在在坐标轴上的投影为坐标轴上的投影为dx、dy、dz。,xyzdxds dyds dzdsuuuuuu,yxzuuudxdydzdsudsudsuxyzdxdydzdsuuuu流线的微分方程流线的微分方程zxyds udydxdzuyuxuzAB图图36 式中式中ux、uy、uz 是空间坐标是空间坐标x，y，z和时间和时间t 的函的函数。所以流线是针对某一时刻而

21、言的，时间数。所以流线是针对某一时刻而言的，时间t的变化会引的变化会引起速度的变化，流线的位置形状也会随之变化。只有当起速度的变化，流线的位置形状也会随之变化。只有当流速流速不随时间变化时流线才能不随时间变化。不随时间变化时流线才能不随时间变化。4 4迹线方程迹线方程 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。流迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。流体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：便可得到迹线的微分方程：便可得到迹线的微分方程：dtudzdtudydtudxzyxdtudzudyudxzyx 流线和迹线是两个不同的概念，但在

22、恒定流中，流线不随流线和迹线是两个不同的概念，但在恒定流中，流线不随时间变化，流线上的质点继续沿流线运动，此时流线和迹线在时间变化，流线上的质点继续沿流线运动，此时流线和迹线在几何上是一致的，两者重合。几何上是一致的，两者重合。 例例32 32 已知速度场已知速度场 。试。试求：流线方程及求：流线方程及 时的流线图。时的流线图。 （319） 0,zyxubtuau2, 1, 0ttt 解解 : :由流线的微分方程式由流线的微分方程式xyzdxdydzdsuuuubtdyadx可得：可得： 其中其中t是参变量，积分得：是参变量，积分得： 或或 所得流线方程是直线方程，不同时刻所得流线方程是直线方

23、程，不同时刻 的的流线图是三组不同斜率的直线如流线图是三组不同斜率的直线如( (图图37)37)。cbtxaybtyxca(0,1,2)ttt时流线图时流线图t=1t=1时流线图时流线图 t =2t =2时流线图时流线图图图37二、流管、过流断面、元流和总流二、流管、过流断面、元流和总流图图3 38 8流束流束1. 1. 流管、流束流管、流束 在流场中任取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点在流场中任取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面称为流束作流线，所构成的管状表面称为流束( (图图3 38 8) )。 因为流线不能相交，所以流体不能由流管壁出入。因为流线不能相交，

24、所以流体不能由流管壁出入。2. 2. 过流断面过流断面 在流束上作出的与流线正交的横断面就是过流断面。当在流束上作出的与流线正交的横断面就是过流断面。当流流线相互平行时，过流断面才是平面线相互平行时，过流断面才是平面，否则为曲面，否则为曲面( (图图3 3- -9 9) ) 。3 3元流和总流元流和总流 元流是过流断面无限小的流束，元流是过流断面无限小的流束，几何特征与流线相同。由于元流的几何特征与流线相同。由于元流的过流断面无限小，断面上各点的运过流断面无限小，断面上各点的运动参数如动参数如z( (位置高度位置高度) )、u( (流速流速) )、p( (压强压强) )均相同。均相同。 总流是

25、过流断面为有限大小的流束，是由无数元流构成总流是过流断面为有限大小的流束，是由无数元流构成的，断面上各点的运动参数一般情况下是不同的。的，断面上各点的运动参数一般情况下是不同的。图图3-93-9 单位时间通过某一过流断面的流体体积称为该断面的体积单位时间通过某一过流断面的流体体积称为该断面的体积流量，简称流量，液体一般用体积流量；单位时间通过某一过流量，简称流量，液体一般用体积流量；单位时间通过某一过流断面的流体质量称为质量流量，气体一般用质量流量。以流断面的流体质量称为质量流量，气体一般用质量流量。以dA表示过流断面的微元面积，表示过流断面的微元面积， 表示该点的速度，则：表示该点的速度，则

26、： 体积流量：体积流量： 质量流量：质量流量： 对于均质不可压缩液体，密度对于均质不可压缩液体，密度 为常数，则：为常数，则：uAudAQ)(3smmAQudA)(skgQQm三、流量、断面平均流速三、流量、断面平均流速1 1流量流量2 2断面平均流速断面平均流速 总流过流断面上各点的流速一般是不相等的，以管流总流过流断面上各点的流速一般是不相等的，以管流为例，管壁附近流速较小，轴线上流速最大为例，管壁附近流速较小，轴线上流速最大( (图图3- -10) )。为。为了便于计算，设想过流断面上流速均匀分布，通过的流量了便于计算，设想过流断面上流速均匀分布，通过的流量与实际流量相同，流速定义与实际

27、流量相同，流速定义v为该断面的平均流速，即为该断面的平均流速，即AvAudAQAQv 或或uv图图3- -10 圆管流速分布图圆管流速分布图 例例33 33 已知半径为已知半径为r0的圆管中，过流断面上的流速分的圆管中，过流断面上的流速分布为布为 ，式中，式中 umax是轴线上断面最大流速，是轴线上断面最大流速，y为距管壁的距离为距管壁的距离( (图图312) )。试求通过的流量和断面平均流速。试求通过的流量和断面平均流速v。 解解 在过流断面半径在过流断面半径 处，取环形微元面处，取环形微元面积积 , ,面上各点流速面上各点流速u相等流量：相等流量： （324） （323） 710max)(

28、ryuuyrr0rdrdA2m ax4960QvuA图311000710max0)()(2rAyrdyrryudAQ012max700max1070249()60rury ydyr ur四、四、 流动的分类流动的分类 欧拉法描述运动，各运动要素是空间坐标和时间变量的欧拉法描述运动，各运动要素是空间坐标和时间变量的函数，如函数，如 。在欧拉法的范畴内，按不同的。在欧拉法的范畴内，按不同的时空标准对流动进行分类。时空标准对流动进行分类。1. 1. 恒定流和非恒定流恒定流和非恒定流 以时间为标推，若各空间点上的运动要素以时间为标推，若各空间点上的运动要素( (速度、压强、速度、压强、密度等密度等)

29、)皆不随时间变化，这样的流动是恒定流，反之是非恒皆不随时间变化，这样的流动是恒定流，反之是非恒定流，对于恒定流，流场方程为：定流，对于恒定流，流场方程为：(, )uuxyz t( , , )( , , )( , , )uu x y zpp x y zx y z（314） 比较恒定流与非恒定流，前者欧拉变数中减去了时间变量，比较恒定流与非恒定流，前者欧拉变数中减去了时间变量，从而使问题的求解大为简化。实际工程中，多数系统正常运行从而使问题的求解大为简化。实际工程中，多数系统正常运行时是恒定流，或虽然是非恒定流，但运动参数随时间的变化缓时是恒定流，或虽然是非恒定流，但运动参数随时间的变化缓慢，仍可

30、近似按恒定流处理。在上一节列举的水箱出流的例子慢，仍可近似按恒定流处理。在上一节列举的水箱出流的例子中，水位保持不变的是恒定流，水位随时间变化的是非恒定流。中，水位保持不变的是恒定流，水位随时间变化的是非恒定流。 2 2一维流、二维流和三维流一维流、二维流和三维流 以空间为标准，若各空间点上的运动参数以空间为标准，若各空间点上的运动参数( (主要是速度主要是速度) )是三个空间坐标和时间变量的函数，是三个空间坐标和时间变量的函数， ，流动是，流动是三维流动。三维流动。（315）( , , , )uu x y z t 若运动参数只是一个空间坐标和时间变化的函数，这样的若运动参数只是一个空间坐标和

31、时间变化的函数，这样的流动是一维流动。如管道和渠道内的流动，流束方向的尺寸远流动是一维流动。如管道和渠道内的流动，流束方向的尺寸远大于横向尺寸，流速取断面的平均速度，流动可视为一维流大于横向尺寸，流速取断面的平均速度，流动可视为一维流动动 。3 3均匀流和非均匀流均匀流和非均匀流 若质点流动过程中运动要素不随空间坐标的变化而变化，若质点流动过程中运动要素不随空间坐标的变化而变化，这种流动称为均匀流，反之则是非均匀流。比如迁移加速度为这种流动称为均匀流，反之则是非均匀流。比如迁移加速度为零，流动就是均匀流。在上一节列举的水箱出流的例子中，等零，流动就是均匀流。在上一节列举的水箱出流的例子中，等直

32、径直管内流动直径直管内流动( (图图33)是均匀流，而变直径管道内流动是均匀流，而变直径管道内流动( (图图32) )是非均匀流；水位保持不变的等直径直管内的流动是恒定是非均匀流；水位保持不变的等直径直管内的流动是恒定均匀流。均匀流。运动参数只是两个空间坐标运动参数只是两个空间坐标(x(x，y)y)和时间变量的函数和时间变量的函数 ，流，流动是二维流动。如水流绕过很长的动是二维流动。如水流绕过很长的圆柱体，忽略两端的影响，流动可圆柱体，忽略两端的影响，流动可简化为二维流动简化为二维流动( (图图312) )。( , , )uu x y t图图312( , )uu x txy 均匀流具有以下特性

33、：均匀流具有以下特性： 均匀流的流线彼此是平行直线，其过流断面为平面，且均匀流的流线彼此是平行直线，其过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变；过流断面的形状和尺寸沿程不变； 均匀流中，同一流线上流速保持恒定，各过流断面流速均匀流中，同一流线上流速保持恒定，各过流断面流速分布相同，平均流速相等；分布相同，平均流速相等； 均匀流过流断面上动均匀流过流断面上动水压强和静水压强分布规律相同水压强和静水压强分布规律相同。 非均匀流非均匀流 非均匀流的运动要素随空间位置的改变而改变。其非均匀流的运动要素随空间位置的改变而改变。其流线不流线不能成为相互平行的直线能成为相互平行的直线，按照流线的弯曲程

34、度，可分为渐变流，按照流线的弯曲程度，可分为渐变流和急变流。和急变流。 渐变流：流线渐变流：流线近似于平行直线近似于平行直线时的流动称为渐变流（缓时的流动称为渐变流（缓变流）。渐变流过水断面上的动压强可近似的看做与静水压强变流）。渐变流过水断面上的动压强可近似的看做与静水压强分布规律相同。是否视为渐变主要取决于流动边界。分布规律相同。是否视为渐变主要取决于流动边界。 急变流：流线之间夹角很大（曲率半径很小）时称为急急变流：流线之间夹角很大（曲率半径很小）时称为急变流。急变流的动水压强与静水压强分布规律不同。变流。急变流的动水压强与静水压强分布规律不同。 均匀流均匀流渐变流渐变流均匀流均匀流急变

35、流急变流均匀流均匀流急变流急变流均匀流均匀流均匀流和非均匀流图示均匀流和非均匀流图示静水压强分布图静水压强分布图动水压强分布图动水压强分布图静水压强分布图静水压强分布图动水压强分布图动水压强分布图急变流过流断面上的动水压强分布图急变流过流断面上的动水压强分布图 4 4有压流与无压流：有压流与无压流： 有压流：无自由表面，表面压强不等于零的流动。有压流：无自由表面，表面压强不等于零的流动。 无压流：有自由表面；或虽然无自由表面，但是表面压无压流：有自由表面；或虽然无自由表面，但是表面压强等于零的流动。强等于零的流动。 例例3 344已知速度场为已知速度场为 。试问：。试问：(1)(1)t2s2s

36、时，在时，在(2(2，4)4)点的加速度是多少点的加速度是多少?(2)?(2)流动是恒定流还流动是恒定流还是非恒定流？是非恒定流？ 解解(1).(1).由欧拉法加速度公式可得由欧拉法加速度公式可得 将将 代入上式得代入上式得 : :(69(46 )yx tixuytj22()()4646.( 6 )() (4 )(46 )(166 )6.9.xxxxyxauuuutxyttttuyyxyxyxttx4, 2,2yxst2/4smaxyuuxuutuayyyxyy)6()96()9()64()96(ttxyttxyxy22/6)95 . 1)(64(smtxy222/2 . 7smaaayx (

37、2). (2).因速度场随时间变化，此流动是非恒定流。或由时因速度场随时间变化，此流动是非恒定流。或由时变导数变导数 此流动是非恒定流。此流动是非恒定流。 (46 )(69 )0yxuuijyx ixy jttut3.33.3流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 连续性方程是流体力学基本方程之一，是连续性方程是流体力学基本方程之一，是质量守质量守恒原理恒原理的流体力学表达式。的流体力学表达式。1.1.流体运动的连续性微分方程流体运动的连续性微分方程 Oxyzdxdydz 从平衡流体中选取一六面体作为隔离体，各边长从平衡流体中选取一六面体作为隔离体，各边长分别为分别为dx，dy，dz，形心点

38、在形心点在O（x，y，z）处，其密）处，其密度为度为。 O点的流速在各坐标轴上的投影为点的流速在各坐标轴上的投影为ux，uy，uz 。( , , )pp x y zM2dyy2dyy OxyzdxdydzN()()22yyudydyudxdzdtyy左面流入的液体质量：左面流入的液体质量：右面流出的液体质量：右面流出的液体质量：()()22yyudydyudxdzdtyy（325） () ()22() ()22()()yyyyyyyud yd yud x d z d tyyud yd yud x d z d tyyuud x d y d z d tyyud x d y d z d ty 则，在

39、则，在y方向流入流出的液体的质量差为：方向流入流出的液体的质量差为：()yyuMdxdydzdty ()xxuMd x d y d z d tx ()zzuMd x d y d z d tz （326） ()()()yxzyzuuuMxMMdxdydzdtxyz （328） )()()xyzdxduuuyddxzdttdydzdtxyz)()()0 xyzuuutxyz同理同理x和和z方向流入与流出的的液体质量差为：方向流入与流出的的液体质量差为： 根据质量守恒定律，根据质量守恒定律，dtdt时段内流入、流出六面体的时段内流入、流出六面体的流体质量之差，应等于六面体内因密度变化所引起的质流体质

40、量之差，应等于六面体内因密度变化所引起的质量增量量增量。 整理得：整理得：其物理意义是：流体在单位时间内流其物理意义是：流体在单位时间内流经单位体积的空间时，流出和流入的经单位体积的空间时，流出和流入的质量之差等于其内部流体质量变化。质量之差等于其内部流体质量变化。上式是连续性微分方程的一般形式。对于均质的不可压缩上式是连续性微分方程的一般形式。对于均质的不可压缩流体，密度流体，密度常数，上式可简化为：常数，上式可简化为：0zuyuxuzyx （332） 其物理意义是：流体在单其物理意义是：流体在单位时间内流经单位体积的位时间内流经单位体积的空间时，流出和流入的质空间时，流出和流入的质量之差等

41、于零。量之差等于零。对于不可压缩的二元流体连续性方程可写为对于不可压缩的二元流体连续性方程可写为0 xyuuxy连续性方程中没有涉及到任何力，描述的是流体的运动规连续性方程中没有涉及到任何力，描述的是流体的运动规律，律，它适用于一切流体和流动形态它适用于一切流体和流动形态。 例例3 355已知速度场已知速度场 ， ， ， 试问流动是否满足连续性条件。试问流动是否满足连续性条件。)(122xyux)2(1xyuy)2(1tzuz2t)()()0 xyzuuutxyztt2xxyxxux2)()(220)()()(zuyuxutzyx()(2)2yuxyxyy()( 2 )2zutztzz 代入得

42、：代入得： 答：流动满足连续性条件。答：流动满足连续性条件。 解解 ：此流动为：此流动为可压缩流体的非恒定流动可压缩流体的非恒定流动，由连续性微分，由连续性微分方程一般式计算。方程一般式计算。 例例3 36 6 速度场速度场 其中其中c c为常数。试求坐标为常数。试求坐标z z方程的速度分量方程的速度分量uz。222,xyucx yz uy zcx yzcxyzyzyuy22cxyzxux2yzyuxuzuyxz2)(2zuyzC 0zuyuxuzyx 解解 ：流动为：流动为不可压缩流体空间流动不可压缩流体空间流动，由不可压缩，由不可压缩流体连续性微分式方程式积分可得：流体连续性微分式方程式积

43、分可得：2.2.连续性微分方程对总流的积分连续性微分方程对总流的积分 设恒定总流，以过流断面设恒定总流，以过流断面1 1l l、2 22 2及侧壁面围成的固定空间为控制体，体及侧壁面围成的固定空间为控制体，体积为积为( (图图3 31717) )。将不可压缩液体的连续。将不可压缩液体的连续性微分方程式对控制体空间积分，根据性微分方程式对控制体空间积分，根据高斯高斯( (GaussGauss) )定理定理0)(dAudvzuyuxuAnzyVx 式中：式中：A为体积为体积V的封闭表面；为在微元面积的封闭表面；为在微元面积dAdA外法线方外法线方向的投影。因侧表面上向的投影。因侧表面上un0，于是

44、上式化简为：，于是上式化简为： 上式第一项上式第一项u1的方向与的方向与dA1外法线方向相反，取负号。由外法线方向相反，取负号。由此得到：此得到：02121dAudAuAA（334） 图317 即即 或或 式中式中v1、v2总流的断面总流的断面1 11 1和和2 22 2的平均流速。的平均流速。 上式称为液体总流的连续性方程。是控制液体总流运动的上式称为液体总流的连续性方程。是控制液体总流运动的基本方程。基本方程。 例例3 37 7 变直径水管如图所示，已知粗管直径为变直径水管如图所示，已知粗管直径为200200mmmm，断面平均流速度为断面平均流速度为0.80.8m ms s，细管直径为，细

45、管直径为100100mmmm。试求细管段的。试求细管段的断面平均流速。断面平均流速。 解解 由液体总流连续性方程式由液体总流连续性方程式 dAudAuAA212121QQ（335） （336） 2211AvAv2112AAvvsmdd/2 . 3)(221图318变直径水管d1d22211AvAv 例例3 388输水管道经三通管分流已知管径输水管道经三通管分流已知管径d1d2200mm，d3100mm断面平均流速断面平均流速v13ms， v2 2m2ms s。试求断面的。试求断面的平均流速平均流速 v3 。 解解 流入和流出三通管的流量应相等，流入和流出三通管的流量应相等， 321QQQ332

46、211AvAvAv13123()()4/dvvvm sd图319v1v2v3第四节第四节 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 本章第二节介绍了欧拉法的基本概念，这些概念是以本章第二节介绍了欧拉法的基本概念，这些概念是以流线流线为基础建立的总流运动基本概念。按连续介质模型，流体是由为基础建立的总流运动基本概念。按连续介质模型，流体是由无数质点构成的，认识流场的特点，需从分析质点运动入手。无数质点构成的，认识流场的特点，需从分析质点运动入手。一、微团运动的分解一、微团运动的分解 按连续介质模型，流体是由无数质点构成的流动空间相比按连续介质模型，流体是由无数质点构成的流动空间相比无限小，又含有大量

47、分子的微元体，其无限小，又含有大量分子的微元体，其尺度效应尺度效应( (变形、旋转、变形、旋转、膨胀膨胀) )可以忽略。流体微团则是由大量流体质点组成的可以忽略。流体微团则是由大量流体质点组成的具有尺度具有尺度效应的微小流体团效应的微小流体团，习惯上称为微团，微团是流体运动单元。，习惯上称为微团，微团是流体运动单元。 刚体力学早已证明，刚体的一般运动，可以分解为刚体力学早已证明，刚体的一般运动，可以分解为移动移动和和转动转动两部分。流体是有流动性且极易变形的连续介质，流体微两部分。流体是有流动性且极易变形的连续介质，流体微团在运动过程中，除团在运动过程中，除移动移动和和转动转动之外，还将有之外，还将有变形运动变形运动，18581858年德国力学家亥姆霍兹提出速度分解定理，从理论上解决了这年德国力学家亥姆霍兹提出速度分解定理，从理论上解决了这个问题。个问题。 某时刻某时刻t在流场中取微团，令其在流场中取微团，令其中 一 点中 一 点 为 基 点 ， 速为 基 点 ， 速度度 ，在点的邻域任取一，在点的邻域任取一点点M M，该点速度用泰勒，该点速度用泰勒(TayLor.G)(TayLor.G)级级数前两项表示：数前两项表示：