概率论与数理统计课件04A 重要分布

1、1第四章：重要分布第四章：重要分布1. 1.0 01 1分布分布2.2. 二项分布二项分布3.3. 超几何分布超几何分布4.4. 普哇松普哇松PoissonPoisson分布分布5.5. 指数分布指数分布201分布分布1. 01. 01 1分布的定义分布的定义: : 设随机事件设随机事件A A在一次试验中出现的概率为在一次试验中出现的概率为P P, x x为事件为事件A A在一次试验中出现的次数在一次试验中出现的次数, ,则则x x的概率的概率分布为分布为: :x x01P1-pP则称随机变量则称随机变量x x服从服从0-10-1分布分布. .301分布分布2. 01分布的期望与方差分布的期望

2、与方差: pqDx方差pEx数学期望4二项分布二项分布1. 1. 二项分布的背景二项分布的背景: : 如果事件如果事件A A在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为p, p, 重复重复进行进行n n次试验次试验, , 则由贝努里定理知则由贝努里定理知, , 事件事件A A在这在这n n次次试验中发生试验中发生k k次的概率为次的概率为: :knkknqpC-pq-1,其中5二项分布二项分布2. 2. 二项分布的定义二项分布的定义: :如果随机变量如果随机变量x x有概率函数有概率函数:其中其中0p1, q=1- -p, 则称则称x x服从参数为服从参数为n,p的二项分布的二项分布. 简

3、记作简记作x xB(n,p). ), 1 , 0(nkqpCkPpknkknk-x6二项分布二项分布如果如果x xB(n,p), 则则x x可看作是由可看作是由n个取个取1概率为概率为p的的相互独立的相互独立的0-1分布的随机变量分布的随机变量x xi(i=1,2,.,n)的的和和, 即即 x x=x x1+x x2+.+x xn其中其中x xi是随机事件是随机事件A在第在第i次试验中出现的次数次试验中出现的次数,且且 P(A)=p7二项分布二项分布可以证明可以证明: :1011122211100-qpCqpCqpCqpCqpCnnnnnnnnnnnn 即即: :10-nkknkknqpC8二

4、项分布二项分布3. 3. 二项分布的分布函数二项分布的分布函数: :-xkknkknqpCxpxF)()(x9二项分布二项分布4. 4. 二项分布的相关概率计算二项分布的相关概率计算: :-mkknkknqpCmPmA00 x次的概率是至多出现事件-mlkknkknqpCmlPmlAx的概率是不大于出现次数不小于事件10二项分布二项分布5.5.服从二项分布随机变量的最可能取值服从二项分布随机变量的最可能取值: :-其它为整数或则有) 1() 1(1) 1() 1(0pnpnpnpnk), 2 , 1 , 0()()(),(0nkkPkPpnBxxx且如果11二项分布二项分布6.6.服从二项分布

5、随机变量的期望与方差服从二项分布随机变量的期望与方差: :npqDx方差npEx数学期望12某工厂每天用水量保持正常的概率为某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4, 求最近求最近6天天内用水量正常的天数的分布内用水量正常的天数的分布.178. 04360044. 0414310002. 041045166xxxPCPP解解: 设最近设最近6天内用天内用水量保持正常的天水量保持正常的天数为数为x, 则则x B B(6,0.75(6,0.75), 因此因此例例113其分布表如下表所示其分布表如下表所示x0123456P0.0002 0.0044 0.0330.13180.29660.3560.17

6、8概率分布图为概率分布图为:例例11410部机器各自独立工作部机器各自独立工作, 因修理调整的原因因修理调整的原因, 每部机每部机器停车的概率为器停车的概率为0.2. 求同时停车数目求同时停车数目x x的分布的分布.x x0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91010P0.110.110.270.270.30.30.20.20.090.090.030.030.010.010 00 00 00 0解解: x xB(10,0.2), 用贝努里公式计算用贝努里公式计算P(P(x xk)k)如下表如下表所示所示例例215概率分布图如下图所示概率分布图如下图所示:0.000.000

7、.050.050.100.100.150.150.200.200.250.250.300.300 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9 1010例例216一批产品的废品率一批产品的废品率p=0.03, 进行进行20次重复抽样次重复抽样(每每次抽一个次抽一个, 观察后放回去再抽下一个观察后放回去再抽下一个), 求出现废品求出现废品的频率为的频率为0.1的概率的概率.0988.097.003.0)2(1.020182220CPPxx解解: 令令x表示表示20次重复抽取中废品出现的次数次重复抽取中废品出现的次数, 则则xB(20, 0.03)例例317一些例子一些例子(1)(1)

8、如果是反复地掷硬币试验掷了如果是反复地掷硬币试验掷了100100次次, , 则则x xB B(100(100, 0.5), 0.5), 最可能值是最可能值是 k k0 0=100=100 0.5+0.5=50+0.5=500.5+0.5=50+0.5=50(2)(2)如果如果x xB(1000,0.3), B(1000,0.3), 则最可能值是则最可能值是 k k0 0=10001000 0.3+0.3=3000.3+0.3=300(3)(3)在实际应用中在实际应用中, np+p, np+p正好是整数的情况几乎不存在正好是整数的情况几乎不存在, ,但也不排出特殊情况的可能但也不排出特殊情况的可

9、能. . 18某批产品有某批产品有80%的一等品的一等品, 对它们进行重复抽样检验对它们进行重复抽样检验, 共取出共取出4个样品个样品, 求其中一等品数求其中一等品数x x的最可能值的最可能值k0, 并并用贝努里公式验证用贝努里公式验证.解解: x xB(4, 0.8), 因因np+p=4 0.8+0.8=4是整数是整数, 所以所以k0=4和和k0=3时时Px x=k为最大为最大, 即即3和和4为最可能值为最可能值.x x01234P0.00160.02560.15360.40960.4096例例419超几何分布超几何分布1. 1. 超几何分布的背景超几何分布的背景: : 设设NN个元素分为两

10、类个元素分为两类, , 有有NN1 1个元素属于第一类个元素属于第一类, N, N2 2个元素属于第二类个元素属于第二类(N(N1 1+N+N2 2=N). =N). 从中按不重复抽样取从中按不重复抽样取n n个个(n(n不大于不大于NN1 1, , 也不大于也不大于NN2 2), ), 则这则这n n个元素中恰好抽到个元素中恰好抽到mm个第一类元素的概率为个第一类元素的概率为: :), 1 , 0(21nmCCCnNmnNmN-202. 2. 超几何分布的定义超几何分布的定义: :如果随机变量如果随机变量x x有概率函数有概率函数: :), 1 , 0()(21nmCCCmPnNmnNmN-

11、x则称随机变量则称随机变量x x服从超几何分布服从超几何分布超几何分布超几何分布21nNnmmnNmNCCC-021可以证明可以证明: :超几何分布超几何分布或或1021-nmnNmnNmNCCC223. 3. 超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望超几何分布超几何分布NNnE1x数学期望23超几何分布超几何分布NNnCCNCCCNEmkCmNmNCNCmNmNmCCCCmmmPEnNnNknNnkkNnNnmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnm1111110111111111002122211)!()!1()!1()!( !1)(-xxx则令证明证明: :243. 3. 超几何分

12、布的方差超几何分布的方差: :超几何分布超几何分布1-NnNnpq：Dx方差25超几何分布超几何分布证明证明: :) 1() 1() 1() 1() 1()!()!2()!2() 1()!()!2(!1) 1()() 1()1(11221120)2(21122111121120212221-NNnnNNCCNNCCCNNCmNmNCNNCmNmNCCCCmmmPmmEnNnNnkknNkNnNmknmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnmxxx26超几何分布超几何分布证明证明( (续续) )NnNNNnnNNEEE1112) 1() 1() 1()1(-xxxx11) 1() 1()

13、1()(21221211122-NnNnpqNnNNNNNnNNnNnNNNnnNNEEDxxx27超几何分布超几何分布4. 4. 超几何分布的极限分布为二项分布超几何分布的极限分布为二项分布: :nNknNkNCCC-21mnmmnqpC-28超几何分布超几何分布证明证明: :!)11 ()21)(11 (!) 1()2)(1(!mnnmnnmnmmnnnnCmnCmnmnmmnmmn -这是因为保持不变的时候很大而当29超几何分布超几何分布证明证明( (续续): ):mnmmnmnmnmnmnNmnNmNqpCNNNNmnmnnNmnNmNCCCmP-2121)!( !)!(!)(21x因

14、此因此, 如果如果x x服从超几何分布服从超几何分布, 则当抽样数则当抽样数n保持保持不变且远小于样本数不变且远小于样本数N即也小于即也小于N1和和N2时时30在实际应用中在实际应用中(1)(1)元素的个数元素的个数NN是相当大的是相当大的, , 例如例如, , 从中国人民从中国人民中任抽几千个人观察中任抽几千个人观察, , 从一个工厂的几十万件从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察产品中任抽几千件观察, , 等等等等. .(2)(2)而在而在NN非常大的情况下非常大的情况下, , 放回抽样和不放回放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的抽样的结果几乎是相同的. .(3)(3)因此有因此有,

15、, 当当NN很大的时候很大的时候, , 超几何分布可用二超几何分布可用二项分布来近似项分布来近似. .(4)(4)或者换句话说或者换句话说, , 当当NN趋于无穷时趋于无穷时, , 超几何分布超几何分布的极限是二项分布的极限是二项分布. .31一大批种子的发芽率为一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取今从中任取10粒粒, 求求播种后播种后, (1) 恰有恰有8粒发芽的概率粒发芽的概率; (2) 不少于不少于8粒粒发芽的概率发芽的概率.9298.09.01.09.091937.08)2(1937.01.09.08)1(10928810 xxPCP例例3解解: 设设10粒种子中发芽的数目为粒种子

16、中发芽的数目为x x. 因因10粒种子是粒种子是由一大批种子中抽取的由一大批种子中抽取的, 这是一个这是一个N很大很大, n相对于相对于N很小的情况下的超几何分布问题很小的情况下的超几何分布问题, 可用二项分布可用二项分布近似计算近似计算.其中其中n=10, p=90%, q=10%, k=832Poisson分布分布1. Poisson1. Poisson分布的背景分布的背景: : 普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中普哇松分布常见于所谓稠密性的问题中, , 如一段时间如一段时间内内, , 电话用户对电话台的呼唤次数电话用户对电话台的呼唤次数, , 候车的旅客数候车的旅客数, , 原子原子放射

17、粒子数放射粒子数, , 织机上断头的次数织机上断头的次数, , 以及零件铸造表面上一以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等定大小的面积内砂眼的个数等等. .33Poisson分布分布2. Poisson2. Poisson分布的定义分布的定义: : 如果随机变量如果随机变量x x有概率函数有概率函数: :( )() (0,1,2,)(0)!mP mPmemmx-则称随机变量则称随机变量x x服从参数为服从参数为 的的PoissonPoisson分布分布, ,记为记为: : )(xP34Poisson分布分布可以证明可以证明: :1!0-emmm注注: :xkekxxxx! 3! 21

18、3235Poisson分布分布3. Poisson3. Poisson分布的数学期望分布的数学期望: :xE36Poisson分布分布4. Poisson4. Poisson分布的方差分布的方差: :xD)(22xE37Poisson分布分布5. Poisson5. Poisson分布的相关概率计算分布的相关概率计算: : 一般一般, , 概率论与数理统计的参考书后都会符有概率论与数理统计的参考书后都会符有PiossonPiosson概率分布表概率分布表. . 只要给出参数只要给出参数 的值的值, , 即可随机即可随机变量变量 取相应值的概率取相应值的概率. .x38Poisson分布分布例如

19、例如, ,参数参数 的的PoissonPoisson概率分布表为概率分布表为: :8 . 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8P0.449329 0.359463 0.143785 0.038343 0.007669 0.001227 0.000164 0.000019 0.00000239例例1设设x x服从普哇松分布服从普哇松分布, Ex x=5, 查表查表求求:P(x x=2), P(x x=5), P(x x=20).P P5 5(2)=0.084224 (2)=0.084224 P P5 5(5)=0.175467(5)=0.175467P P5 5(20)=0(20)=040

20、Poisson分布分布6. 6. 二项分布的极限分布为二项分布的极限分布为PoissonPoisson分布分布: :-ekqpCnnpkknkkn!,有时且为常数即当41例例2 2一大批产品的废品率为一大批产品的废品率为p p=0.015, =0.015, 求任取一箱求任取一箱( (有有100100个个产品产品), ), 求箱中恰有一个废品的概率求箱中恰有一个废品的概率. .解解: :(1)(1)所取一箱中的废品个数所取一箱中的废品个数服从超几何分布服从超几何分布, , 由于产品数量由于产品数量NN很大很大, , 可按二项分布公式计算可按二项分布公式计算, , 其中其中n n=100, =10

21、0, p p=0.015.=0.015.即即335953. 0985. 0015. 0) 1(991100CPx42例例2 2一大批产品的废品率为一大批产品的废品率为p p=0.015, =0.015, 求任取一箱求任取一箱( (有有100100个个产品产品), ), 求箱中恰有一个废品的概率求箱中恰有一个废品的概率. .解解: :(2)(2)但由于但由于n n较大而较大而p p很小很小, , 可用普哇松分布公式近似可用普哇松分布公式近似代替二项分布公式计算代替二项分布公式计算. . 其中其中 =npnp=1.5=1.5, 查表得查表得: :P P1.51.5(1)=0.334695(1)=0

22、.334695误差不超过误差不超过1%.1%.43例例3 3检查了检查了100100个零件上的疵点数个零件上的疵点数, , 结果如下表结果如下表: :疵点数疵点数0 01 12 23 34 45 56 6频数频数14142727262620207 73 33 3试用普哇松分布公式计算疵点数的分布试用普哇松分布公式计算疵点数的分布, , 并与实际并与实际检查结果比较检查结果比较. .2)63127014(100144计算出来的图表如下所示:疵点数疵点数0 01 12 23 34 45 56 6频数频数14142727262620207 73 33 3频率频率0.140.140.270.270.260.260.200.200.070.070.030.030.030.03概率概率0.1350.1350.2710.2710.2710.2710.180.180.090.090.0360.0360.010.0145频率和概率分布图:46Poisson分布分布7. Poisson7. Poisson分布的最可能值分布的最可能值: :-不是整数时为整数时和