选修系列教学中的几个问题(人民教育出版社中数室 章建跃)

1、选修系列教学中的几个问题选修系列教学中的几个问题人民教育出版社中数室人民教育出版社中数室章建跃章建跃一、常用逻辑用语的教学一、常用逻辑用语的教学1内容与要求的说明内容与要求的说明四部分内容：命题及其关系；充分条件与四部分内容：命题及其关系；充分条件与必要条件；简单的逻辑联接词；全称量词必要条件；简单的逻辑联接词；全称量词与存在量词（新增内容）。相互之间具有与存在量词（新增内容）。相互之间具有紧密的联系。紧密的联系。学习目的：体会逻辑用语在表述和论证中学习目的：体会逻辑用语在表述和论证中的作用，能用逻辑用语准确地表达数学内的作用，能用逻辑用语准确地表达数学内容。容。所有例子都是数学的所有例子都是

2、数学的2本章难点分析本章难点分析理解必要条件的意义；理解必要条件的意义；对含有一个量词的全称命题或特称命题的对含有一个量词的全称命题或特称命题的否定。否定。分析：由分析：由p推出推出q，q是结论，怎么是结论，怎么q又成了又成了p的必要条件了？的必要条件了？ “充分充分”就是就是“有此就够有此就够了，不需要别的了了，不需要别的了”；“必要必要”就是就是“必必须要有，有了又不一定够须要有，有了又不一定够”，难在对，难在对“有有了不一定够了不一定够”的理解。分清条件和结论是的理解。分清条件和结论是关键。关键。对含有一个量词的命题的否定对含有一个量词的命题的否定不知道不知道该否什么。破解难点的方法是该

3、否什么。破解难点的方法是“做比较做比较”。例：所有矩形都是平行四边形；例：所有矩形都是平行四边形； 并非所有矩形都是平行四边形；并非所有矩形都是平行四边形； 所有矩形都不是平行四边形；所有矩形都不是平行四边形； 有的矩形不是平行四边形。有的矩形不是平行四边形。使用使用“等值语言等值语言”较多较多“也就是也就是”3教学建议教学建议（1）不要在复杂性、综合性上做文章；）不要在复杂性、综合性上做文章；（2）注意使用数学实例，采用）注意使用数学实例，采用“归纳式归纳式”教教学，加强对基本概念意义的理解；学，加强对基本概念意义的理解；（3）注意联系性）注意联系性从不同角度帮助理解；从不同角度帮助理解；（

4、4）符号语言的使用。）符号语言的使用。二、解析几何的教学二、解析几何的教学1“课标课标”对解析几何内容的安排对解析几何内容的安排坐标法为核心，依坐标法为核心，依“直线与方程直线与方程圆与圆与方程方程圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程极坐标系与极坐标系与参数方程参数方程”螺旋上升地展开内容。螺旋上升地展开内容。解析几何是方法论解析几何是方法论代数方法研究几何。代数方法研究几何。直线与圆直线与圆基础，强调与平面几何研究基础，强调与平面几何研究方法的比较，坐标法的体验。方法的比较，坐标法的体验。圆锥曲线圆锥曲线体现坐标法的威力（有限接体现坐标法的威力（有限接触）触）局限：缺少直观形象支撑（数缺形时少直局限

5、：缺少直观形象支撑（数缺形时少直观）观）几何证明选讲几何证明选讲中从立体几何中从立体几何角度进行了研究。角度进行了研究。坐标系与参数方程坐标系与参数方程充分展示坐标法的充分展示坐标法的综合性：坐标系的多样性、曲线方程的多综合性：坐标系的多样性、曲线方程的多样性、联系方式的多样性等。样性、联系方式的多样性等。2编写中考虑的几个问题编写中考虑的几个问题（1）坐标法为核心，强调数形结合思想）坐标法为核心，强调数形结合思想明确提出明确提出“三步曲三步曲”；强调经历用坐标法解决问题的完整过程：强调经历用坐标法解决问题的完整过程：先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决。先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决。

6、例例 “椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程”的的“过程性过程性”：画图画图找动点满足的几何条件找动点满足的几何条件给定给定义义建坐标系建坐标系求曲线方程求曲线方程这里要建立起一套求曲线方程的这里要建立起一套求曲线方程的“规范规范”：动点满足的几何条件分析；动点满足的几何条件分析；根据图形特点建立坐标系（利用对称性、定点、根据图形特点建立坐标系（利用对称性、定点、定直线等），不同坐标系下有不同的方程形式；定直线等），不同坐标系下有不同的方程形式；各类几何元素的坐标表示，如曲线上的任意点各类几何元素的坐标表示，如曲线上的任意点（代表）、焦点等；（代表）、焦点等；根据对称性等，给出适当的代数表示（如根

7、据对称性等，给出适当的代数表示（如b的的引入）；反之，给出方程中引入）；反之，给出方程中“参数参数”的几何意的几何意义。义。（2）根据学生心理安排学习内容；）根据学生心理安排学习内容；（3）问题引导学习，改进教与学的方式；）问题引导学习，改进教与学的方式；（4）加强背景和应用，完善学习过程；）加强背景和应用，完善学习过程；（5）加强联系与综合，体现）加强联系与综合，体现“思想性思想性”；（6）体现教学设计思想。）体现教学设计思想。3. 几个教学建议几个教学建议（1）重视）重视“先行组织者先行组织者”的作用的作用解析几何是解析几何是方法论；方法论；例例1 使用章引言；研究哪些性质、如何研究的引使

8、用章引言；研究哪些性质、如何研究的引导。导。（2）重视）重视“几何要素几何要素”的分析的分析有效使用解析有效使用解析法的前提。法的前提。先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求先用几何眼光观察，再用坐标法推理、论证和求解。解。例例2 椭圆的几何要素的探索椭圆的几何要素的探索不同表现形式。不同表现形式。（3）加强联系与综合）加强联系与综合解析几何的学科解析几何的学科特点。特点。例例3 直线的参数方程中体现的联系与综直线的参数方程中体现的联系与综合：平面直角坐标系中，确定直线的几合：平面直角坐标系中，确定直线的几何要素；参数的思想何要素；参数的思想点点P的坐标由参的坐标由参数数t唯一确定；有向线

9、段；方向向量；三唯一确定；有向线段；方向向量；三角函数；比例；角函数；比例；不同联系方式下的教学设计不同联系方式下的教学设计参数方程：坐标参数方程：坐标x，y作为参数作为参数t的函数的函数以确定曲线的几何要素为基点，考察坐以确定曲线的几何要素为基点，考察坐标随哪一要素的变化而变化。标随哪一要素的变化而变化。找一座找一座“桥桥”，把任意一点，把任意一点P(x，y) 与确与确定直线的几何要素：倾斜角定直线的几何要素：倾斜角、点、点P(x0，y0)联系起来。联系起来。与几何、三角的联系与几何、三角的联系将将P(x，y) 、P0 (x0，y0) y在直角坐标系中表示出来，在直角坐标系中表示出来， P可

10、以看到可以看到P0P的桥梁作用：的桥梁作用： PM= P0P sin， P0M= P0P cos。 P0 M O x与向量的联系与向量的联系向量代数是坐标几何的返璞归真精益求精向量代数是坐标几何的返璞归真精益求精数轴：原点、方向、长度单位数轴：原点、方向、长度单位 数轴上点的坐标数轴上点的坐标数乘运算数乘运算坐标系中的直线坐标系中的直线与数轴没有本质区别：与数轴没有本质区别： 点点P(x0，y0)原点原点 倾斜角倾斜角方向方向 单位向量单位向量长度单位长度单位 直线上任意一点的坐标直线上任意一点的坐标数乘运算数乘运算纯粹的代数、三角变换纯粹的代数、三角变换由直线方程由直线方程yy0 =tan（

11、xx0）出发的）出发的代数变换：代数变换：这一过程无法这一过程无法反映参数的几反映参数的几何意义何意义sin,coscossin0000tyytxxtxxyy（4）注意控制难度。）注意控制难度。几何意义几何意义复杂的代数表述，可以产复杂的代数表述，可以产生复杂的题目。生复杂的题目。三、空间向量与立体几何三、空间向量与立体几何1对内容的说明对内容的说明空间向量基础知识；向量法解立体几何题。空间向量基础知识；向量法解立体几何题。“九九B”重点在立几知识，空间向量只作解重点在立几知识，空间向量只作解题工具；本章空间向量和向量法是重点内题工具；本章空间向量和向量法是重点内容，不介绍系统的立体几何知识。

12、容，不介绍系统的立体几何知识。重点：空间向量及其运算；向量法。重点：空间向量及其运算；向量法。难点：立体图形元素的向量表示，如基底难点：立体图形元素的向量表示，如基底的选择。的选择。2编写中考虑的几个问题编写中考虑的几个问题（1）两个指导思想：）两个指导思想：以必修系列为基础，从数量表示和几何意以必修系列为基础，从数量表示和几何意义两方面，把向量及其运算从二维提升到义两方面，把向量及其运算从二维提升到三维，这是三维，这是“由此及彼，由浅入深由此及彼，由浅入深” 的认的认识发展过程。识发展过程。以立体几何问题为载体，体现向量的工具以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量法的基本步骤和原理，

13、再次渗作用和向量法的基本步骤和原理，再次渗透代数化（符号、运算）、模型化、程序透代数化（符号、运算）、模型化、程序化等数学思想。化等数学思想。（2）注重联系，温故知新，用类比法认识新）注重联系，温故知新，用类比法认识新问题。问题。从开篇引言到章尾小结都关注空间向量与从开篇引言到章尾小结都关注空间向量与平面向量的联系平面向量的联系问题的设置也延续了问题的设置也延续了平面向量的做法。平面向量的做法。（3）强调通性通法，突出一般规律，渗透基本数学）强调通性通法，突出一般规律，渗透基本数学思想。思想。向量向量既有大小又有方向的量；向量的运算既有大小又有方向的量；向量的运算法则、运算律、几何解释、各种表

14、示形式等；法则、运算律、几何解释、各种表示形式等；向量法向量法研究几何的位置关系、大小度量，用研究几何的位置关系、大小度量，用“三步曲三步曲”。处理好两个问题：第一，以数及其运算为类比对处理好两个问题：第一，以数及其运算为类比对象，认识平面向量及其运算、空间向量及其运算象，认识平面向量及其运算、空间向量及其运算之间的异同，用同样的方法讨论不同维数下的共之间的异同，用同样的方法讨论不同维数下的共同问题；同问题；第二，体现向量法的第二，体现向量法的“通法通法”特点：特点：“代代数化数化”和和“程序化程序化”，即引进向量表示，即引进向量表示，用运算代替几何推理，用向量的坐标表示用运算代替几何推理，用

15、向量的坐标表示把几何彻底推向把几何彻底推向“有效能算有效能算”的水平；的水平；“模型化模型化”，即用抽象符号把一类对象转化，即用抽象符号把一类对象转化为其他等价形式。为其他等价形式。3. 教学建议教学建议（1）把重点放在空间向量和向量法上。）把重点放在空间向量和向量法上。空间向量的教学中，用好平行六面体；类空间向量的教学中，用好平行六面体；类比平面向量提出空间向量中的问题和研究比平面向量提出空间向量中的问题和研究方法方法可以自学。可以自学。3.2节的教学，以立体几何问题为载体，以节的教学，以立体几何问题为载体，以向量法学习为主；注意引导学生思考几何向量法学习为主；注意引导学生思考几何问题的向量

16、表示。问题的向量表示。向量法中，要抓住根据条件选择适当的向量法中，要抓住根据条件选择适当的“基底基底”，建立空间坐标系的训练。，建立空间坐标系的训练。（2）注意数与形的关联。）注意数与形的关联。向量向量数与形的结合体，要注意与立体几何数与形的结合体，要注意与立体几何的横向联系，特别要注意点、线、面关系的向的横向联系，特别要注意点、线、面关系的向量表示（这是核心），如：量表示（这是核心），如： 四点共面四点共面 线线平行线线平行 lm ab a=kb； 线面平行线面平行 l au au=0； 面面平行面面平行 uv u=kv。垂直的关系也一样。这些要非常熟练。垂直的关系也一样。这些要非常熟练。O

17、CzOByOAxOP（3）强化对向量运算的作用的认识。）强化对向量运算的作用的认识。有了运算，向量威力无限；没有运算，向有了运算，向量威力无限；没有运算，向量只是路标。向量的作用主要通过运算得量只是路标。向量的作用主要通过运算得到体现。到体现。四、导数及其应用的教学四、导数及其应用的教学1对教学内容的说明对教学内容的说明了解导数的实际背景，知道瞬时变化率就了解导数的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；直观理解导数的几何意义；是导数；直观理解导数的几何意义；能根据定义求能根据定义求5个幂函数的导数；个幂函数的导数；能利用导数公式和四则运算法则求简单函能利用导数公式和四则运算法则求简单函数和形如数和

18、形如f(ax+b)的导数；的导数；导数的应用：研究函数性质、生活中的优导数的应用：研究函数性质、生活中的优化问题；化问题；通过通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），了解定积分的实际背景；借助几何直等），了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；的概念；通过实例（如变速运动物体在某段时间内的通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。定理的含义。 理论要求不高，注重思想，注重过程，理论要求不高，注重思想

19、，注重过程，注重应用。注重应用。2“不讲不讲”极限如何讲导数极限如何讲导数“不讲不讲”什么，什么，“讲讲”了什么？了什么？（1）不讲极限的形式化概念，不出现）不讲极限的形式化概念，不出现“”定义；不把导数处理为一种特殊定义；不把导数处理为一种特殊的极限（增量比的极限）。的极限（增量比的极限）。（2）讲了导数概念的本质，强调了导数的）讲了导数概念的本质，强调了导数的思想，强调了导数的物理意义和几何意思想，强调了导数的物理意义和几何意义，强调了导数的应用。义，强调了导数的应用。教材是如何处理导数概念的教材是如何处理导数概念的（1）构建）构建“平均变化率平均变化率瞬时变化率瞬时变化率导导数数”的认识

20、过程的认识过程直接通过能反映导数思想和本质的、学生直接通过能反映导数思想和本质的、学生熟悉的实例，例如速度、膨胀率、效率、熟悉的实例，例如速度、膨胀率、效率、增长率等，使学生经历从平均变化率到瞬增长率等，使学生经历从平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念，时变化率的过程，认识和理解导数概念，即导数就是瞬时变化率；加强导数的几何即导数就是瞬时变化率；加强导数的几何意义的认识和理解。意义的认识和理解。在在00，0.50.5这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度在在11，22这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度运动员在某一时刻运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？的瞬时速度怎样表示？y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？处的瞬时变化率怎样表示？（2）淡化形式化的导数运算，加强导数在研究实）淡化形式化的导数运算，加强导数在研究实际问题和函数性质中的应用际问题和函数性质中的应用导数是研究函数性质的导数是研究函数性质的“通法通法”，是一个有效、，是一个有效