高考数学一轮复习第三单元基本初等函数(Ⅰ)及应用学案文

1、教材复习课第三单元基本初等函数(I)及应用指数与对数的基本运算“基本初等函数(I)”相关基础知识一课过过双基一、根式与哥的运算1.根式的性质(1)(n/a)n=a.(2)当n为奇数时，n/an=a.(3)当n为偶数时,/an = | a| =a>0a<05(4)负数的偶次方根无意义.(5)零的任何次方根都等于零.2.有理数指数哥(1)分数指数哥：正分数指数哥：am=n/am(a>0,色neM,且n>1).负分数指数哥:a-m=1=(a>0,mnN*,且n>1).nannam0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数哥没有意义.(2)有理数指数哥的运算性质.ara

2、s=a(a>0,r,sCQ).(ar)s=ars(a>0,r,sCQ).(ab)r=arbr(a>0,b>0,reQ).二、对数及对数运算1 .对数的定义一般地，如果ax=Na>0,且aw1),那么数x叫作以a为底N的对数，记作x=logaN,其中a叫作对数的底数，N叫作真数.2 .对数的性质(1)lOga1=0,logaa=1.3 2)alogaN=N,logaaN=N.(3)负数和零没有对数.3.对数的运算性质如果 a>0,且 awl, M>0 , N >0,那么(1)log a( M N = log aM+ log a N.M(2)l0g

3、aR= 10g aM- 10g a N.log aM= nlog aM n e R).(4)换底公式 log ab = log-a(a>0 H a* 1, b>0, m>0,且亦 1).小题速通1.化简a2 b 12 - a 2 - b1(a>0,6a . b5b>0)的结果是(A. aC. a2bB. ab1 D.aii iia 3b2a 2b31 1 1115解析：选 D 原式=C一=a 3 2 6 - b2 3 6a6b62 .若 x=log43,则(2x2 x)2=()9A.4 B.10 C.y4D.3解析：选D由x=log 43,得4x=3,13'

4、;(2x2、)2=4、2+4 x=3 2 + 早4.3 . log 23-4log 23 + 4+ log 21=(3A.2B.2-2log23C.-2D.210g232解析：选Blog232410g23+4+log2=log2322log23=2log23log23=22log23.4.已知f(x)=2x+2x,若f(a)=3,则f(2a)=()B. 9D. 5A.11C.7解析：选C由题意可得f(a)=2a+2a=3,则f(2a)=22a+22a=(2a+2-a)22=7.清易错1 一一-1"福!行指薮商号运算而；一二艇同芬前指数靠函箴走示；一”异H谏示湎丽洛看植i和分数指数哥，

5、也不能既有分母又含有负指数.易忽视字母的符号.：!2.在对数运算时，易忽视真数大于零.!yjxX31.化简N一的结果是XA._弋-xB.yjxc.-5d.yx解析：选a依题意知x<o,故'x'°=yjx=-q-x.一x2.若1gx+lgy=2lg(x2y),则y的值为.解析：1gx+lgy=21g(x2y),，xy=(x2y)2,即x25xy+4y2=0,即(xy)(x4y)=0,解得x=y或x=4y.又x>0,y>0,x2y>0,故x=y不符合题意，舍去.x所以x=4y,即一=4.了y答案：4二次函数过双基1 .二次函数解析式的三种形式(1)

6、一般式：f(x)=ax2+bx+c(aw0).2(2)顶点式:f(x)=a(xm)+n(aw。). 零点式：f(x) =a(x-xi)( x-x2)( aw。).2.二次函数的图象和性质单调性，b，、，在-8上单倜递减；2ab在丁，+8上单调递增2a在一OO市上单调递增；2ab、在一丁，+°°上单调递减2a对称性函数的图象E线x=-2a对称小题速通21. 若二次函数y=2x4x+t的图象的顶点在x轴上，则t的值是()A.-4B.4C.-2D.2解析：选C二,二次函数的图象的顶点在x轴上，A=16+8t=0,可得t=2.2. (2018唐山模拟)如果函数f(x)=x2ax3在

7、区间(一8,4上单调递减，那么实数a的取值范围为()A.8,+oo)B.(巴8C.4,+oo)D.-4,+oo)aa解析：选A函数f(x)图象的对称轴方程为x=-,由题意得2>4,解得a>8.3. (2017宜昌二模)函数f(x)=2x2+6x(2WxW2)的值域是()A.-20,4B.(-20,4)99C.20,2D.20,2解析：选C由函数f(x)=2x2+6x可知，二次函数f(x)的图象开口向下，对称轴为3.3.一,.3.一,.x=2,当一2Wx<2时，函数f(x)单倜递增，当2<x<2时，函数f(x)单倜递减，f(x)max=8+ 12 = 4,，函数f

8、(x)的值工3939工工f2=-2X4+6X2=2,又f(2)=812=20,f(2)9域为20,2.清易错易忽视二次函数表达式f(x)=ax2+bx+c中的系数aw0.若二次函数f(x)=ax24x+c的值域为0,+°°),则a,c满足的条件是a>0,解析：由已知得 4ac164aa>0,ac 4= 0.答案：a>0, ac=4哥函数过双基1 .募函数的定义一般地，形如y=x"的函数称为哥函数，其中x是自变量，a为常数.2 .常见的5种募函数的图象3.常见的5种哥函数的性质函数特征性质y=x2y=x3y=x1y=x-1y=x定义域RRR0,十0

9、°)x|xCR,且xw0值域R0,+°°)R0,+°°)y|yCR,且yw。奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增（一巴0减，0,十刃增增增(8,0)减，(0,十°°)减定点(0,0),(1,1)(1,1)小题速通1.募函数y=f(x)的图象过点(4,2),则备函数y=f(x)的图象是()57解析：选C令f(x)=x",则4"=2,11,人'a=2，-f(x)=x.故C正确.2.(2018贵阳监测)已知哥函数y=f(x)的图象经过点1,J3,则f；=()312A.-B.22C.2D.-22解析：选C设备函

10、数的解析式为f(x)=x"，将1,小代入解析式得3a=73,解得31 11a=-2,f(x)=x-,f2=y/2,故选C.3.若函数f(x)=(m2-m-1)xm是哥函数，且在xC(0,+8)上为增函数，则实数m的值是()A.-1B.2C.3D.-1或2解析：选B/f(x)=(mi-m-1)xm是哥函数，m2-m-1=1,解得m=1或m=2.又f(x)在x(0,+8)上是增函数，所以m=2.清易错哥函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；哥函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果哥I函数图象与坐标轴相交，则交点一定

11、是原点.募函数y=xm2-2m-3(mCZ)的图象如图所示，则m的值为()A.1<m<3C.11<m<3;又从图象看，函数是偶函数，故 知当 m= 1时，mm 2m-3=4,满足要求.解析：选C从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m22m-3<0,即n2-2m-3为负偶数，将m=0,1,2分别代入，可指数函数过双基指数函数的图象与性质y=ax(a>0,且aw1)a>10<a<1图象"THX定义域R值域(0,十0°)性质当x=0时，y=1,即过定点(0,1)当x>0时，y>1；当x<0时，0

12、Vyv1当x>0时，0vyv1；当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数小题速通1 .函数f(x)=ax2+1(a>0,且awl)的图象必经过点()A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)解析：选D由f(2)=a°+1=2,知f(x)的图象必过点(2,2).2.函数f(x)=中-2的定义域是()A.(8,°B.°,+8)C.(一00,°)D.(8,+00)解析：选A要使f(x)有意义须满足12、>°,即2x<1,解得x<°.3 .函数y=ax-a(a>°,

13、且aw1)的图象可能是()解析：选C当x=1时，y=a1-a=°,所以函数y=axa的图象过定点(1,0),结合选项可知选C.4 .设a=|,b=|3,c=|2,则a,b,c的大小关系是()555555A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a解析：选A构造指数函数y=2x(xR),由该函数在定义域内单调递减可得b<c；又y=2x(xCR)与y=3x(xCR)之间有如下结论：当x>0时，有3x>£x,故32>2即55555555a>c,故a>c>b.5 .下列四类函数中，

14、具有性质”对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是()A.哥函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数解析：选C由指数运算的规律易知，ax+y=ax-ay,即令f(x)=ax,则f(x+y)=f(x)f(y),故该函数为指数函数.清易错指数函数y=ax(a>0,且awl)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.若函数f(x)=ax(a>0,且awl)在区间1,2上的最大值比最小值大则a的值为解析：当a>1时，f(x)=ax为增函数，f(x)ma)f(2)=a2,f(x)min=f(1)=a.

15、a2a=2.即a(2a3)=0.，、33，a=0(舍去)或a=2>1.a=2.当0<a<1时，f(x)=ax为减函数，f(x)ma)f(1)=a,f(x)min=f(2)=a2.2a一'aa=2.即a(2a1)=0,，、11，a=0(舍去)或a=，a=2.一一1,、3综上可知，a=2或a=1 3答案：2或2辰E1|对数函数过双基对数函数的图象与性质y=logax(a>0,且aw1)a>10<a<1图象Ti=l13尸卜*算定义域(0,十0°)值域R性质当x=1时，y=0,即过定点(1,0)当0Vx<1时，yC(8,0)；当x>

16、;1时，y(0,+8)当0vx<1时，ye(0,+8)；当x>1时，ye(OQ,0)在(0,+°°)上为增函数在(0,十°°)上为减函数小题速通1 .若函数f(x)=loga(3x2)(a>0,且awl)的图象经过定点A,则A点坐标是()B. 3, 03D. (0,1)2A. 0,-3C.(1,0)答案：C2 .已知a>0,且awi,函数y=ax与y=loga(x)的图象可能是()解析：选B由题意知，y=ax的定义域为R,y=loga(x)的定义域为(巴0),故排除A、C；当0<a<1时，y=ax在R上单调递减，y=l

17、oga(-x)在(一°°,0)上单调递增；当a>1时，y=ax在R上单调递增，y=loga(x)在(8,0)上单调递减，结合B、D图象知，B正确.3 .函数y=10g2|x+1|的单调递减区间为,单调递增区间为.解析：作出函数y=1og2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y=一、一log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y=1og2|x+I1|的图象(如图所示).由图知，函数y=1og2|x+1|的单调递减区间为(一00,1),单调递增区间为(一1,+00).答案：(00,-1)(-1,+OO)24 .函数f(x)=1oga(x-2x-3)(a&g

18、t;0,aw1)的定义域为.解析：由题意可得x2-2x-3>0,解得x>3或x<1,所以函数的定义域为x|x>3或x<-1.答案:x|x>3或x<1清易错福汰耳通函演看而而施时而两己一i一i一一一i一i一一一iii(1)函数的定义域.(2)对数底数的取值范围.1.(2018南昌调研)函数y=flog2-2x-1的定义域是()A.1,2B.1,2)11C.2，1D.2,1解析：选D要使函数有意义，则22x1>0,解得1<x<1.5 .函数y=logax(a>0,且aw1)在2,4上的最大值与最小值的差是1,则a的值为解析：当a&g

19、t;1时，函数y=logax在2,4上是增函数,所以loga4loga2=1,即loga2=1,所以a=2.当0<a<1时，函数y=logax在2,4上是减函数，,r1,1所以loga2loga4=1,即loga2=1,所以a=.皿-1故a=2或a=1,1答案：2或2双基过关检测一、选择题55满足f(x)=1的x的值为()B. 1D.1或一1x>0,或 1x2 = 1,解得x<0,解析：选D由题意，方程f(x)=1等价于2-1=1或1.2 .函数f(x)=ln|x1的图象大致是()解析：选B令x=1,x-1=0,显然f(x)=ln|x1|无意义，故排除A;由|x1|&g

20、t;0可得函数的定义域为(8,1)U(1,+oo),故排除D;由复合函数的单调性可知f(x)在(1,+8)上是增函数，故排除c,选B.3 .(2018郑州模拟)设abc>0,二次函数f(x)=ax?+bx+c的图象可能是()解析：选D结合二次函数y=ax?+bx+c(awo)的图象知:当a<0,且abc>0时，若<0,则b<0,c>0,故排除A,2ab若丁>0,则b>0,c<0,故排除B.2ab当a>0,且abc>0时，若<0,则b>0,c>0,故排除C,2ab若晨>。，则b<0,c<0,故选

21、项D符合4 .设2=0.32,b=2°3,c=log25,d=log2O.3,则a,b,c,d的大小关系是()B. d<a<b<cD. b<d<c<aA.d<b<a<cC.b<c<d<a解析：选B由对数函数的性质可知c=log25>2,d=log20.30,由指数函数的性质可知0<a=0.32<1,1<b=2°3<2,所以d<a<b<c.5 .(2018长春模拟)函数y=4x+2x+1+1的值域为()A.(0,+°°)B.(1,+8)C

22、.1,+°°)D.(巴+oo)解析：选B令2、=t,则函数丫=4、+2+1可化为y=t2+2t+1=(t+1)2(t>0).函数y=(t+1)2在(0,+8)上递增，y>1.，所求值域为(1,+8).故选B.例如：3 4 = 3, (-2) 4=4,x,xy>0,6. (2017大连二模)定义运算：xy=y,xy<0,则函数f(x)=x2(2x-x2)的最大值为()A.0B.1C.2D.4当0WxW2时,22x2,0<x<2,解析：选D由题意可得f(x)=x(2x-x)=2xx2x>2或x<0f(x)0,4;当*>2或x

23、<0时，f(x)C(8,0).综上可得函数f(x)的最大值为4,故选D.7.已知函数f(x)=lg+a是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数为()1 xA. (一0°,+8)上的减函数B. (一0°,+8)上的增函数C. (-1,1)上的减函数D. (1,1)上的增函数解析：选D由题意知，f(0)=lg(2+a)=0,.-.a=-1,.f(x)=lgT-1=lg>匚,1 x1x令xr>0,则一1<x<1,排除Ab,又y=：rl1=1+在(一1,1)上是增函数，1-f(x)1x1xx1在(一1,1)上是增函数.选D.8. (2018湖北重点高中协

24、作校联考)设函数f(x)=1底7,g(x)=ln(ax2-3x+1),若对任意xiC0,+8),都存在xzCR,使得f(x1)=g(x2),则实数a的最大值为()A.9B,249C.2D.4解析：选A设g(x)=ln(ax2-3x+1)的值域为A,因为函数f(x)=11在0,+8)上的值域为(8,0,所以(一8,0?a,因此h(x)=ax2-3x+1至少要取遍(0,1a>0,9中的每一个数，又h(0)=1,于是，实数a需要满足a<0或解得a<.故选9-4a>0,4A.二、填空题9. (2018连云港调研)当*>0时，函数y=(a8)x的值恒大于1,则实数a的取值范

25、围是.解析：由题意知，a8>1,解得a>9.答案：(9,+8)10.若函数f(x)是募函数，且满足f(4)解析：设f(x)=x",又f(4)=3f(2),，4"=3X2",解得a=log23,f1=110g23=1223.-1答案：33e：x<1,11.若函数f(x)=Inx1,x>1,13f(2)，则f万的值等于则使得f(x)>2成立的x的取值范围是x<1,解析：由题意，f(x)>2等价于1xe>2解得x<1-In2或x>1+e2,则使得f(x)>2成立的x的取值范围是(答案：(一8,1-in2u

26、1+e2,+8)x>1,或inx1>2,巴1in2U1+e2,+8).1.v.12.若对任意xC0,2,恒有4x<iogax(a>0且aw1),则实数a的取值范围是解析：令f(x)=4x,则f(x)在0,2上是增函数，g(x)=logax,当a>1时，g(x)=logax在0,2上是增函数，且g(x)=log水<0,不符合题意；当0<a<1时，g(x)=logax在0,-±0<a<1'近是减函数，则11解得吊-wa<1.f2wg2,22答案：拳1三、解答题13.函数f(x)=logax(a>0,aw1),

27、且f(2)f(4)=1.(1)若f(3mn2)>f(2n5),求实数m的取值范围；(2)求使fx-1=log13成立的x的值.x21解：(1)由f(2)f(4)=1,得a=2.1:函数f(x)=log,x为减函数且f(3m-2)>f(25),/口20<3mi-2<2im5,解得3<m<7,2故m的取值范围为子7.341(2) f x x =log 23,r 4即 xx=3,x2-3x-4=0,22 x2+ 12 x1+12 x2+ 1解得x=4或x=1.，214.已知函数f(x)=a2x前为奇函数.(1)求a的值;(2)试判断函数f(x)在(一8,+8)上的

28、单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的tCR不等式ft x 1_ 2 x 2-(m-2)t+f(t2m+1)>0恒成立，求实数m的取值范围.解：(1);函数f(x)为奇函数，f(x)=f(x),22.a_2W=-a+m，22x2-2a=2x+7+2x+7=2,a=1.(2) f(x)在R上为单调递增函数.证明如下：设任意x1,xzCR,且x«x2,2贝Uf(x。一f(x2)=1一一1+2x1+1.x1<x2,2x12x2<0,(2x1+1)(2x2+1)>0,.1.f(x1)<f(x2),.f(x)为R上的单调递增函数.f(x)=12为奇函数，且在R上

29、为增函数,.由ft一(m2)t+f(tmH-1)>0恒成立，ft2(m-2)t>-f(t2-1)=f(m-12-1),，t2(m-2)t>mv112对tCR恒成立，化简得2t之一(m2)tmF1>0,A=(m-2)2+8(m-1)<0,解得22出<m<2+2短，故m的取值范围为(一22、/2,2+2*).高考研究课(一)哥函数、二次函数的3类考查点一一图象、性质、解析式全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度哥函数5年3考哥函数的性质二次函数5年1考二次函数的图象f (x) = (n2+2n 2) xn2 n的值为()哥函数的图象与性质典例(1)(201

30、8安徽江南七校联考)已知哥函数3n(nCZ)的图象关于y轴对称，且在(0,十°o)上是减函数，则A.-3B.1C.2D.1或311(2)1.12,0.92,1的大小关系为.解析(1)由于f(x)为哥函数，所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=3,当n=1时,函数f(x)=x-2为偶函数，其图象关于y轴对称，且f(x)在(0,+8)上是减函数，所以n=1满足题意；当n=3时，函数f(x)=x1 0<0.9<1<1.1 ,0.9 2<1 2 <1.1 2 .11即 0.9 2<1<1.1 2 .11答案(1)B(2)0.9 2<1<

31、1.1 2方法技巧一一一一一一一一一一一一一手而薮皆"庙而后而一一一一一一一一”一(1)可以借助募函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较哥值的大小时，必须结合哥值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个哥函数的图象和性质是解题的关键.为偶函数，其图象关于y轴对称，而f(x)在(0,+8)上是增函数，所以n=3不满足题意，舍去.故选B.11(2)把1看作12,募函数y=x2在(0,+8)上是增函数.即时演练1.已知f(x)=x .若(a+1)3 <(3 - 2a),若0<a<b<1,则下列各式正确的是(11A.f(a)<f(b)

32、<f-<fbabB.1f 一 <fa1b <f(b)<f(a)11C. f(a)<f(b)<fb<faD. fa<f(a)<fb<f(b)解析：选C.-0<a<b<1,1110<a<b<r<一，又f(x)=x2为增函数,ba1.f(a)<f(b)<fb<f3,则实数a的取值范围是1解析：不等式(a+1) 3 <(3 - 2a)13等价于a+1>32a>0或32a<a+1<0或a+1<0<323一2a.解得-<a<r或

33、a<-1.32答案：(00,-1)U2,332mwi二次函数的解析式rH-laJJ上HRTlaJ*RS.M_J工_S.bBdJad-KLBBdddiS1.bil上一f二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析;I式形式以确立解法.II->T_-_mSi_i-'f7x)wi-f(2)-_=二彳;一"二1)一二二11F"?("xf而复兵布盘一87注而一定该二次函数的解析式.解法一：用“一般式”解题设f(x)=ax2+bx+c(aw0).由题意得4a+2b+c=-1,ab+c=1,4ac-b24T8=Sa=-4,解

34、得b=4,C=7.2，所求一次函数为f(x)=4x+4x+7.法二：用“顶点式”解题2设f(x)=a(xm)+n(aw0)."2)=f(-1),2+11抛物线的对称轴为x=2=2,1mi=2.又根据题意，函数有最大值8,.n=8,一、12c.y=f(x)=ax2+8.1.f(2)=-1,a2-22+8=-1,解得a=4,122.-.f(x)=-4x-2+8=4x+4x+7.法三：用“零点式”解题由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=1,故可设f(x)+1=a(x2)(x+1)(aw0),即f(x)=ax2-ax-2a1.又函数有最大值8,即J”史-解得a=-4或a=0(舍去)

35、.，所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.方法技巧求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下:即时演练(如图所示).若1.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状对应的两条曲线关于y轴对称，AE/x轴，AEB=4cm,最低点C在x轴上，高CHk1cm,BD=2cm,则右轮廓线12A. y=4（x+3）12B. y=4（x3）C. y=-1（x+3）12D. y=4（x-3）解析：选D由题图可知，对应的两条曲线关于y轴对称，AE/x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上，高CHk1cm,BD=2cm,所以点C的纵坐标为0,横坐标的

36、绝对值为3,3,0),因为点F与点C关于y轴对称，所以R3,0),因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函，一一,2，一1一数图象的顶点，所以设该二次函数为y=a(x3)2(a>0),将点D(1,1)代入得，a=-,即y=124（x3）.2.已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)=4f(2)=16,则函数f(x)的解析式为.解析：由题意可设函数f(x)=ax2+c(aw0),则f(4)=16a+c=16,f(2)=4a+c=4,解得a=1,c=0,故f(x)=x2.2答案：f(x)=xrnai3MM二次函数的图象与性质高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低.常与一元二次方程、一元二

37、次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用.常见的命题角度有：1二次函数的图象与性质；2二次函数的最值问题.角度一：二次函数的图象与性质1. (2018武汉模拟)已知函数f(x)=ax2+2ax+b(1<a<3),且xi<X2,xi+X2=1a,则下列结论正确的是()A. f(X1)<f(X2)B. f(X1)>f(X2)C. f(Xi)=f(x2)D. f(xi)与f(X2)的大小关系不能确定解析：选Af(x)的对称轴为x=1,因为1<a<3,则一2<1a<0,若xi<X2<

38、;-1,则xi+X2<2,不满足xI+x2=1a且一2<1a<0；若x«1,x2>-1,则|x2+1|1x1|=x2+1+1+x1=x+x2+2=3-a>0(1<a<3),此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)>f(x1)；若一1wx1<x2,则此时x1+x2>2,又因为f(x)在1,十°°)上为增函数，所以f(x1)<f(x2),2.设二次函数f(x)=ax22ax+c在区间0,1上单调递减，且f(n)wf(0),且实数m的取值范围是()A.(8,0B.2,+oo)C.(巴0U2,+8)d.0,

39、2解析：选D二次函数f(x)=ax22ax+c在区间0,1上单调递减，则a*0,f'(x)=2a(x1)<0,x0,1,所以a>0,即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(n)<f(0)时，有0Wm<2.方法技巧I一"一一一”一一一一”褪买三灰的薮而豪受雨而'丽花-2不泊i舌”一”一一”一”一i(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定II不定，要注意分类讨论；I(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解.i而应三;.三灰画鲂而看词题

40、一一一一一一一一一一一一3.已知二次函数f(x)=ax2-2x(0<x<1),求f(x)的最小值.解：(1)当a>0时，f(x)=ax22x图象的开口方向向上，且对称轴为x=-.a当一W1,即a>l时, a1 f (x)在0, 一上递减, a11 2f(x)=ax22x图象的对称轴在0,1内，1在1上递增.a I(x)min=I=一=一.aaaa当1>1,即0<a<1时，f(x)=ax22x图象的对称轴在0,1的右侧，a .f(x)在0,1上递减. f(x)min=f(1)=a2.(2)当a<0时，f(x)=ax22x的图象的开口方向向下，且对称

41、轴x<0,在y轴的左侧,a-f(x)=ax2-2x在0,1上递减.f(x)min=f(1)=a-2.a-2,aes,0u0,1,综上所述，f(X)min=1ea，4.已知a是实数，记函数f(x)=x22x+2在a,a+1上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.解：f(x)=x22x+2=(x1)2+1,xCa,a+1,aCR,对称轴为x=1.当a+1<1,即a<0时，函数图象如图(1),函数f(x)在区间a, a+1上为减函数，所以最小值为f(a+1)=a2+1；当aw1wa+1,即owawi时，函数图象如图(2),在对称轴x=1处取得最小值，最小值为 f(1) =1;当a

42、>1时，函数图象如图(3)，函数f(x)在区间a, a+1上为增函数，所以最小值为f(a) = a2-2a+2.a2+1, a<0,综上可知，g(a) = 1, 0WaW1, a2 2a+2, a>1.方法技巧二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处.也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值.解题的关键是讨论对'称轴与所给区间的相对位置关系.I _ 一 一 一 一 杷脉凿题规律和总野41. (2016 全国卷出)已知a=23,A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD.

43、c<a<b4解析：选A因为a= 2 3 ,2b= 454= 25,由函数y=2x在R上为增函数，知 txa；又因为4212a=23 = 43 , c=25 3 =53 ,由备函数2y=x 3在(0 , 十 °°)上为增函数，知a<c.综上得b<a<c.故选A.2. (2016 全国卷n )已知函数 f(x)(xCR)满足 f(x)=f(2x),若函数 y=|x2-2x-m3|与y=f(x)图象的交点为(xi,yi),(x2,y2),，(xm,ym),则x=()1 =1A.0B.mC.2mD.4m解析：选B.f(x)=f(2x),，函数f(x)的

44、图象关于直线x=1对称.又y=|x22x3|=|(x1)24的图象关于直线x=1对称，两函数图象的交点关于直线x=1对称.m当m为偶数时，xi=2x2Lm；i=12，-一，mm-1一，当m为奇数时，xi=2x2"F1=m故选B.ex1,x<1,3.(2014全国卷I)设函数f(x)=L则使得f(x)W2成立的x的取值x3,x>1,范围是.1解析：当x<1时，由ex-1<2得xW1+ln2,.x<1;当x>l时，由x3<2得xW8,.Kx<8.综上，符合题意的x的取值范围是x<8.答案：(一8,8高考达标检测一、选择题1. (201

45、8绵阳模拟)哥函数y=(mi-3m3)xm的图象过点(2,4)，则m=()A.-2B.-1C.1D.22mm2-3m3=1,解析：选D哥函数y=(m-3m3)x的图象过点(2,4),z.2m解得m=2.故选D.2. (2018杭州测试)若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最小值为4,则实数a的取值集合为()A.-3,3B,1,3C.3,3D.1,3,3解析：选C:函数f(x)=x22x+1=(x1)2的图象的对称轴为直线x=1,f(x)在区间a,a+2上的最小值为4,.,当a>l时，f(x)m=f(a)=(a-1)5.若函数f(x) = mx-2x+3在1,十8)上递减，则

46、实数 m的取值范围为()A. (-1,0)B. -1,0)C.(巴-1D. -1,0解析：选D当m= 0时，f(x)=2x+3在R上递减，符合题意；当mO时，函数f(x) = m)2-2x+ 3在1, +°°)上递减，只需对称轴x = -< 1,且m<0,解得1 w n<0,综上，实数 m的取值范围为1,0=4,a=-1(舍去)或a=3;当a+2wi,即aw1时，f(x)min=f(a+2)=(a+1)=4,a=1(舍去)或a=3；当a<1<a+2,即一1<a<1时，f(x)min=f(1)=0w4.故a的取值集合为3,3.故选C.

47、3 .如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(-3,0)对称轴为x=1.给出下面四个结论：b2>4ac；2ab=1；ab+c=0;5a<b.其中正确的结论是()A.B.C.D.解析：选B:二次函数的图象与x轴交于两点，b2-4ac>0,即b2>4ac,正确;对称轴为x=1,即一?=1,2ab=0,错误;2a结合图象知，当x=1时，y>0,即a-b+c>0,错误；由对称轴为x=1知，b=2a,又函数图象开口向下，a<0,5a<2a,即5a<b,正确.故选B.4 .若对任意aC1,1,函数F(x)=x2+(a4)x+42a的

48、值恒大于零，则x的取值范围是()A.(1,3)B.(巴1)U(3,+8)C.(1,2)D.(巴1)U(2,+8)解析：选B由题意，令f(a)=F(x)=x2+(a4)x+42a=(x2)a+x24x+4,对f1=x23x+2>0,任意aC1,1恒成立，所以2解得x<1或x>3.f-1=x5x+6>0,x>0则不等式f(x)>f(1)的解集是()A. ( -3,1) U (3 , +8)B. ( 3,1) U (2 , +oo)C. ( -1,1) U (3 , i)D. (8, 3) U(1,3)解析：选A .f(1) =3, .不等式f(x)>f(1

49、),即 f(x)>3.x>0,x<0,x2-4x+6>3或 x + 6>3,解得 x>3 或3vx<1.7.已知a, b, c, d都是常数,a>b, c>d.若 f(x)=2 017(xa)( x b)的零点为 c, d,则下列不等式正确的是()A. a>c>b>dC. c>d>a>bB. a>b>c>dD. c>a>b>d解析：选 D f (x) =2 017-(x-a)( x-b) =-x2+(a+ b)x-ab+ 2 017,又 f (a) = f(b) =2

50、017, c, d 为函数 f(x)的零点，且 a>b, c>d,所 以可在平面直角坐标系中作出函数 f(x)的大致图象，如图所示，由图可 知 c>a>b>d,故选 D.8.(2017 浙江高考)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M最小值是m则 M- m()A.与a有关，且与 b有关C.与a无关，且与b无关B.与a有关，但与b无关D.与a无关，但与b有关2一 、.a 2 a斛析：选 B f(x)=x+2 - -+b,2aa a当 0W 2< 1 时，f ( x) min = m= f 2 = - -4+ b,f(x)max= M= max

51、f(0) , f (1) = maxb, 1 + a+b,2Ml- m= max：,42a1 + a+与a有关，与b无关;- a ,. 当一2<0时，f (x)在0,1上单倜递增，.Ml- m= f (1) -f (0) =1+a 与 a 有关，与 b 无关；_ . a ,. 当一2>1时，f (x)在0,1上单倜递减， .Ml- m= f (0) f (1) =1a与 a有关，与 b 无关.综上所述，M- m与a有关，但与b无关.二、填空题29.已知帚函数f(x) = x-m+2m 3( m Z)在(0 , +)上为增函数，且在其定义域内是2x4x+6.6.设函数f(x)=x+6

52、,x<0偶函数，则m的值为.解析：,一哥函数f(x)在(0,+°°)上为增函数，.n2+2m3>0,即m2-2m-3<0,解彳导1<m<3.又mEZ,/.m=0或m=1或m=2.当m=0或m=2时，f(x)=x3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m=1时，f(x)=x4在其定义域内是偶函数，满足题意.综上可知，m的值是1.答案：1210 .一次函数y=3x+2(m-1)x+n在区间(一8,1)上是减函数，在区间1,+8)上是增函数，则实数m=.解析：二次函数y=3x2+2(m-1)x+n的图象的开口向上，对称轴为直线x=3要使得函数在区间(一

53、8,1)上是减函数，在区间1,+8)上是增函数，则x=T=1,3解得m=-2.答案：211 .(2018南通一调)若函数f(x)=ax2+20x+14(a>0)对任意实数t,在闭区间t-1,t+1上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)f(x2)|>8成立，则实数a的最小值为.解析：由题意可得，当xCt1,t+1时，f(x)maxf(x)minmin>8,当t1,t+1关于对称轴对称时，f(x)max-f(x)min取得最小值,即f(t+1)-f(t)=2at+a+20>8,f(t1)f(t)=2at+a20>8,两式相加，得a>8,所以实数a的最小值为8

54、.答案：8x3,xwa,12.设函数f(x)=x2x>a若存在实数b,使得函数y=f(x)bx恰有2个零点，则实数a的取值范围为.解析：显然x=0是y=f(x)bx的一个零点；当xwo时，令y=f(x)bx=0得b=fx-,xfxx2,x<a,令g(x)=-=则b=g(x)存在唯个解.xx,x>a,当a<0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，显然当a<b<a2且bwo时，b=g(x)存在唯个解，符合题意;当a>0时，作出函数g(x)的图象，如图所示，若要使b=g(x)存在唯个解，则a>a14. (2018 成都诊断)已知函数 f (x) =x+

55、ax+3 a,若 xC2,2 ,f(x)>0 恒成立,求a的取值范围.,即0<a<1,同理，当a=0时，显然b=g(x)有零解或两解，不符合题意.综上，a的取值范围是(一巴0)u(0,1).答案：(巴0)U(0,1)三、解答题13.(2018杭州模拟)已知值域为1,+8)的二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1x2|=2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)=f(x)-kx在区间1,2上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围.解：(1)由f(1+x)=f(1x),可得f(x)的图象关于直线x=-1对称，设f(x)=a(x+1)2+h=ax2+2ax+a+h(aw0),由函数f(x)的值域为1,+8),可得h=