第一周2.Matlab数值运算功能

1、Matlab数值与符号运算功能v数值计算功能v符号计算功能数值计算功能v数字计算功能v向量运算功能v矩阵运算功能v数组逻辑运算功能v多项式运算功能数字运算功能vMatlab是以矩阵为基本运算单元的，而构成矩阵的基本单元是数字。258369ans95202x258369x95202变量（1）变量的命名：变量的名字必须以字母开头（不超过19个字符），之后可以是字母、数字或下划线；变量名区分字母的大小写；变量中不能包含有标点符号。（2）一些特殊的变量ans：用于结果的缺省变量名 i、j：虚数单位pi：圆周率 eps：计算机的最小数（相对精度） inf：无穷大 realmin：最小正实数realmax

2、：最大正实数 nan：不定量（not a number）（3）变量操作v在命令窗口中，同时存储着输入的命令和创建的所有变量值，它们可以在任何需要的时候被调用。如要察看变量a的值，只需要在命令窗口中输入变量的名称即可：a数值显示格式v任何MATLAB的语句的执行结果都可以在屏幕上显示，同时赋值给指定的变量，没有指定变量时，赋值给一个特殊的变量ans，数据的显示格式由format命令控制。vformat只是影响结果的显示，不影响其计算与存储；MATLAB总是以双字长浮点数（双精度）来执行所有的运算。 Matlab的所有计算都是通过双精度双精度进行的，在内存中的数都是双精度的。double 是一个双

3、精度浮点数，每个存储的双精度数用64位。v如果结果为整数，则显示没有小数；如果结果不是整数，则输出形式有：format (short)：短格式（5位定点数）99.1253format long：长格式（15位定点数 ) 99.12345678900000format short e：短格式e方式 9.9123e+001format long e：长格式e方式 9.912345678900000e+001format bank：2位十进制 99.12format hex：十六进制格式简单的数学运算1、常用的数学运算符v，*（乘），/（左除），（右除），（幂）v在运算式中，MATLAB通常不需要考

4、虑空格；多条命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔开；逗号告诉MATLAB显示结果，而分号则禁止结果显而分号则禁止结果显示。示。2、常用数学函数abs,sin,cos,tan,asin,acos,atan,sqrt,exp,imag,real, sign, log,log10,conj（共扼复数）等2.向量运算功能1向量向量 向量是matlab中的一个基本单位，向量的每一个元 素的运算包括 1）向量的创建； 2）向量的加减运算； 3）向量的乘除运算向量的创建向量的创建输入向量最直接的方法就是在命令窗口中输入，格式上需要向量元素用“ ”括起来，元素之间可以用空格、逗号或分号分隔。值得注意的是用

5、空格和逗号分隔生成行向量，用分号分隔生成列向量。 在matlab的命令窗口键入以下字符 a = 1 2 3 4 5 6 9 8 7 a = 1 2 3 4 5 6 9 8 7 希望得到元素从0到20，步距为2的一个向量，只需键入以下命令即可 t = 0:2:20 t = 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20v线性等分向量的生成线性等分向量的生成y=linspace(x1,x2) 生成(1*100)维的行向量，使得y(1)=x1,y(100)=x2y=linspace(x1,x2,n) 生成(1*n)维的行向量，使得y(1)=x1,y(n)=x2v对数等分向量的生成对数等分向量的生

6、成y=logspace(x1,x2) 生成(1*50)维的对数等分向量，使得y(1)=10 x1,y(50)=10 x2y=logspace(x1,x2,n) 生成(1*n)维的对数等分向量，使得y(1)=10 x1,y(n)=10 x2例：a2=logspace(1,5,6)a2=1 10 100 1000 10000 100000向量的加减运算向量的加减运算设a,b为同维向量，则c=a+b 或c=a-b得到两个向量相加减的结果。向量与常数的相加减为每个元素加减这个常数。例如： b = a + 2 得到 b = 3 4 5 6 7 8 11 10 9 c = a + b c = 4 6 8

7、10 12 14 20 18 16向量的乘除运算向量的乘除运算a. 向量的乘法运算向量的乘法运算 点乘运算的运算符为 .*， 其意义为两个向量的对应元素进行乘法运算，例如 a=1 2, b=3 4 则c=a.*b=3 8 为向量的乘方运算，例如 c=a.2=1 4 b. 向量的除法运算向量的除法运算点积、叉积和混合积v点积：两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积a=1,2,3; b=3,4,5;dot(a,b)ans=(相当于sum(a.*b)26v叉积：过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量c=cross(a,b)c=-2 4 -2v混合积： dot(a,cross(b,c) an

8、s=24矩阵运算功能v矩阵的生成v矩阵的基本数学运算v矩阵的基本函数运算v矩阵分解函数v特殊矩阵的生成v矩阵的一些特殊操作矩阵的生成输入矩阵时每一行元素有分号或者回车键分隔。例如： B = 1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12 B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 c=sin(pi/3),cos(pi/4); log(9),tanh(6) c=0.8660 0.7071 2.1972 1.0000矩阵下标MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子块，提取子块和重排子块的操作。vA(m,n)：提取第m行，第n列元素vA(:,n)：提取第n列元素vA

9、(m,:)：提取第m行元素vA(m1:m2,n1:n2)：提取第m1行到第m2行和第n1列到 第n2列的所有元素（提取子块）。vA(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列。v矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一个数（赋值），则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上添加这个数，而且在其他没有指定的位置补零。v消除子块：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵 ，则相当于消除了相应的矩阵子块。A(3,3) A(1,5) A(:,3) 代表矩阵的第三列A(1: 5, :) 代表前5行所有元素组成的子矩阵 A( : ) 由矩阵直接生成列向量，先列后行矩阵的大小vm,n=size(A,

10、x)：返回矩阵的行列数m与n，当x=1，则只返回行数m，当x=2，则只返回列数n。vlength(A)=max(size(A)：返回行数或列数的最大值。a=1 2 3;3 4 5;m,n=size(a)m = 2n = 3length(a)ans = 3max(size(a)ans = 3矩阵的基本数学运算B=1 2 3 45 6 7 89 10 11 12（2）矩阵乘法：矩阵乘法： (1)矩阵转置运算矩阵转置运算： C = B C = 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 D = B * C D = 30 70 110 70 174 278 110 278 446要求B的列数

11、等于C的行数3）矩阵点乘、加减法矩阵点乘、加减法 当两矩阵维数相同时，运算符.*的结果是两矩阵的对应元素相乘，加减法相同。 E = 1 2;3 4; F = 2 3;4 5; G = E .* F G = 2 6 12 20点运算是两个维数相同矩阵对应元素之间的运算，在有的教材中也定义为数组运算。( 4）矩阵与常数间的运算矩阵与常数间的运算 常数与矩阵的运算即是同此矩阵各元素之间进行运算1.数加是指矩阵每个元素都加上此常数2.数减是指矩阵每个元素都乘以此常数3.数乘是指矩阵每个元素都与此数相乘4.数除是指矩阵每个元素都除以此常数，因此常数只能作为除数。( 5）矩阵的除法（左除矩阵的除法（左除“

12、|”和右除和右除“/”）右除右除要作矩阵的逆然后再作矩阵的乘法，通常速度较快左除左除不需要计算逆，直接进行除运算，可以避免被除矩阵奇异造成大的误差解方程组：Ax=b， 其中A是(n*m)的矩阵n=m且非奇异时，恰定方程nm时，超定方程（拟合）n x,y=eig(a)x = -0.8246 -0.4160 0.5658 -0.9094y = -0.3723 0 0 5.3723可以验证：A*V=V*D x,y=eigs(a)x = -0.4160 -0.8246 -0.9094 0.5658y = 5.3723 0 0 -0.3723跌代法求解（2）奇异值函数（奇异值函数（svd或或svds）求

13、矩阵A的奇异值及分解矩阵，满足U*S*V=A，其中U、V矩为正交矩阵（U*U=I），S矩阵为对角矩阵，它的对角元素即A矩阵的奇异值。例：a = 9 8 6 8可以验证：u*u=Iv*v=Iu*s*v=au,s,v=svd(a)u = 0.7705 -0.6375 0.6375 0.7705s = 15.5765 0 0 1.5408v = 0.6907 -0.7231 0.7231 0.6907（3）条件数函数条件数函数cond: 计算矩阵条件数的值condest: 计算矩阵一范数的条件数的值recond: 计算矩阵条件数的倒数值 h=hilb(9); cond(h)ans = 4.9315e

14、+011特征值的条件数：特征值的条件数：condeig condest(h)ans = 1.0997e+012 recond(h)ans = 9.0938e-013（4）范数函数范数函数矩阵的范数是矩阵的一种量度，它分为1范数、2范数、无穷大范数和F范数，最常用的是2范数，即平方和范数。normest(x):计算矩阵的2范数norm（x,p）：p的取值可以是1,2，inf或fro， 分别对x求相应的范数（5）矩阵的秩函数矩阵的秩函数 h=hilb(9); rank(h)ans = 9（6）矩阵的迹函数矩阵的迹函数矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹 h=hilb(9); trace(h)ans

15、 = 2.0806（7）矩阵的正交空间函数矩阵的正交空间函数用来求矩阵的一组正交基：orth h=hilb(4); orth(h)ans = -0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146（8）矩阵的伪逆函数矩阵的伪逆函数求解系数矩阵严重“病态”的问题时，利用pinv可避免“伪解”的产生。 a=magic(4); b=a*1 1 1 1; inv(a)*bWarning: Matrix is cl

16、ose to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017.ans = 0.5000 4.0000 -2.0000 0 pinv(a)*bans = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000（9）通用函数形式：通用函数形式： funm(A,funname)上述函数形式在实际运算中是远远不够的，对常用的其它函数形式的运算，如三角函数、双曲函数等，需要一种能够使用这些通用函数进行计算的形式，matlab中通用函数的格式为funm(A,funname）如：funm(b,log) =

17、logm(b) funm(b,sqrt) = sqrtm(b)矩阵分解函数（1）特征值分解和奇异值分解（略）特征值分解和奇异值分解（略）（2）lu分解（分解（三角分解）L,U=lu(A)v将A做对角线分解，使得A=L*U,其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。v注意：L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵，它事实上是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵L1（其对角线元素为1）的乘积。L1,U1,P=lu(A)例：a=1 2 3;4 5 6;7 8 9 比较： l1,u1,p=lu(a) l,u=lu(a)可以验证：u1=u，inv(p)*l1=la=l*up*a=l1*u1（3）chol分解

18、（分解（chollesky分解）如果A是对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵L，使得ALLT，当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的，称为chollesky分解。 a=4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5; chol(a)ans = 2.0000 -0.5000 0.5000 0 2.0000 1.5000 0 0 1.0000（4）QR分解分解将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。Q,R=qr(A)例： a = 9 8 6 8验证：norm(q)=1 a=q*rq,r=qr(a

19、)q = -0.8321 -0.5547 -0.5547 0.8321r = -10.8167 -11.0940 0 2.2188特殊矩阵的生成一些常用的特殊矩阵单位矩阵：eye(m,n); eye(m)零矩阵：zeros(m,n); zeros(m)一矩阵：ones(m,n); ones(m)对角矩阵：对角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V)随机矩阵：rand(m,n)产生一个m*n的均匀分别的随机矩阵, randn(m,n)产生一个m*n的正态随机阵注意：上述函数中的维数变量可用size(A)代替，表示生成的矩阵与A矩阵同维。eye(2,3)ans= 1 0 0 0 1 0z

20、eros(2,3)ans= 0 0 0 0 0 0ones(2,3)ans= 1 1 1 1 1 1V=5 7 2; A=diag(V)A= 5 0 0 0 7 0 0 0 2eye(2)ans= 1 0 0 1zeros(2)ans= 0 0 0 0ones(2)ans= 1 1 1 1如果已知A为方阵，则V=diag(A)可以提取A的对角元素构成向量V。空阵：空阵：matlab中定义为空阵，一个被定义为空阵的变量具有以下性质1.在matlab工作空间中确实存在被赋空阵的变量2.空阵中不包含任何元素，它的维数是0*0的3.空阵可以在matlab的运算中传递4.可以用clear从内存中清除空阵

21、变量 a=1:18; a=reshape(a,3,6)a = 1 4 7 10 13 16 2 5 8 11 14 17 3 6 9 12 15 18 a1=a(:,1 3 4 6)a1 = 1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18 a(:,2 5)=a = 1 7 10 16 2 8 11 17 3 9 12 18变维函数矩阵的一些特殊操作(1)变维变维 “：”或者函数“reshape” a=1:12; b=reshape(a,2,6)b = 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 12 c=zeros(3,4); c(:)=a(:)c = 1 4 7 10 2 5

22、 8 11 3 6 9 12(2) 变向变向rot90(A):将A逆时针方向旋转90度rot90(A,k):将A逆时针方向旋转90*k度,k可正可负fliplr(X):将X左右翻转flipud(X):将X上下翻转flipdim(X,DIM):将X按第DIM维翻转(3) 抽取抽取diag(X,kdiag(X,k) ):抽取矩阵X的第k条对角线的元素向量。K 为零即为抽取主对角线，k为正值时为上方第k条对角线，k为负值时为下方第k条对角线。diag(Xdiag(X) ):即为diag(X,0),抽取主对角线元素向量diag(v,kdiag(v,k) ):使得向量v为所得矩阵的第k条对角线元素dia

23、g(vdiag(v) ): 使得v为矩阵的主对角线元素tril(Xtril(X) ): 提取矩阵X的主下三角部分tril(X,ktril(X,k) ): 提取矩阵X的第k条对角线下面的部分（包括k对角线）triu(Xtriu(X) ): 提取矩阵的主上三角部分triu(X,ktriu(X,k) ): 提取矩阵X的第k条对角线上面的部分（包括k对角线） a=pascal(4)a = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 v=diag(a)v = 1 2 6 20 v=diag(a,2)v = 1 4 v=diag(diag(a)v = 1 0 0 0 0 2 0

24、0 0 0 6 0 0 0 0 20 a1=tril(a,-1)a1 = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 1 4 10 0 a1=tril(a,2)a1 = 1 1 1 0 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20(4) 抽取抽取1.利用对矩阵标识块的赋值命令X(m1:m2,n1:n2)=a, 其中(m2-m1+1)必须等于a的行维数，(n2-n1+1)必须等于a的列维数。生成的(m2*n2)维的矩阵X，除赋值子阵和已存在的元素外，其余元素都默认为零。2.利用小矩阵的组合来生成大矩阵要严格注意矩阵大小的匹配。建立多项式的伴随矩阵 v=1 2 6 20; a1=com

25、pan(v)a1 = -2 -6 -20 1 0 0 0 1 0方法一 a2=-v(2:4);eye(2),zeros(2,1)a2 = -2 -6 -20 1 0 0 0 1 0方法二 a3=-v(2:4); a3(2:3,1:2)=eye(2)a3 = -2 -6 -20 1 0 0 0 1 0数组逻辑运算功能1.基本逻辑关系运算1.在关系比较中，若比较双方为同维数组。其元素值由0和1组成，当比较双方对应位置上的元素值满足比较关系时，对应值为1，否则为0。2.当比较双方中一方为常数，另一方为数组时，则结果数组与原数组同维，且其值为已知数组和常数的比较结果。3.“与”：当运算双方的对应元素均

26、为非零时结果为1，否则为0。 “或”：当运算双方的对应元素有一非零时结果为1，否则为0。 “非”：当运算数组的对应位置的值为零时结果为1，否则为0。4.在算术运算、比较运算和逻辑与、非、或运算中，他们的优先级关系为：算术运算比较运算逻辑与、或、非运算 符号运算符符号运算符功能功能函数名函数名=等于eq=不等于ne大于gt=大于等于ge&逻辑与and|逻辑或or逻辑非not a=1:3;4:6;7:9; x=5; y=ones(3)*5; xa=x b=0 1 0;1 0 1;0 0 23; ab=a&bab = 0 1 0 1 0 1 0 0 1 nb=bnb = 1 0 1

27、0 1 0 1 1 02.逻辑关系函数运算函数名函数名使用说明使用说明函数名函数名使用说明使用说明any若向量的任意元素不为零时返回真Islogical判断逻辑数组all若向量的所有元素不为零时返回真logical转换数组为逻辑型xor逻辑异或find寻找非零元素位置isempty判断空矩阵isnan判断不定数isequal判断相等矩阵isinf判断无限大元素isnumeric判断数值矩阵isfinite判断有限大元素 a=magic(5); a(:,3)=zeros(5,1)a = 17 24 0 8 15 23 5 0 14 16 4 6 0 20 22 10 12 0 21 3 11 1

28、8 0 2 9 a1=all(a(:,1) a2=all(a3)a2 = 1 1 0 0 0 all=any(a(:,1)10)all = 1 a11=any(a10)a11 = 1 1 0 1 1 a=1:5; a=1./aa = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 f1=find(a)f1 = 1 2 3 4 5 f2=find(abs(a)0.4|abs(a) a=1 2 3 4; b=a; poly2sym(a)ans =x3+2*x2+3*x+4 poly2sym(b)ans =x3+2*x2+3*x+4将多项式向量变成符号形式(2)特征多项式(1)

29、由特征多项式生成的多项式的首项系数一定是1(2)n阶矩阵一般产生n阶多项式。 a=1 2 3;2 3 4;3 4 5; p1=poly(a)p1 = 1.0000 -9.0000 -6.0000 -0.0000 poly2sym(p1)ans =x3-9*x2-6*x-8399472/25353012(3)由根创建多项式同样用poly函数，其实由矩阵直接创建也是把矩阵的特征值作为多项式形成的方程的根 root=-5 -3+4i -3-4i; p=poly(root)p = 1 11 55 125 poly2sym(p)ans =x3+11*x2+55*x+125多项式运算(1)求多项式的值(1

30、)输入变量值代入多项式计算时以数组为单元，此时的计算函数为polyval.(2)输入变量值代入多项式计算时以矩阵为单元，进行矩阵式运算，此时的计算函数为polyval. p=1 11 55 155; b=1 1;1 1; polyval(p,b)ans = 222 222 222 222 polyvalm(p,b)ans = 236 81 81 236 z = polyval(1 0 0 0 1,2) z = 17(2)求多项式的根1.直接调用求根函数roots，求解所有根2.通过建立多项式的伴随矩阵再求其特征值得解 p=2 -5 6 -1 9; roots(p)ans = 1.6024 +

31、1.2709i 1.6024 - 1.2709i -0.3524 + 0.9755i -0.3524 - 0.9755i compan(p)ans = 2.5000 -3.0000 0.5000 -4.5000 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 eig(ans)ans = 1.6024 + 1.2709i 1.6024 - 1.2709i -0.3524 + 0.9755i -0.3524 - 0.9755i(3)多项式的乘除法运算(conv和deconv)卷积函数（conv）和解卷函数(deconv) p=2 -5 6 -1 9; poly2sym(p)ans =2*x4-5*x3+6*x2-x+9 d=3 -90 -18; poly2sym(d)ans =3*x2-90*x-18 pd=conv(p,d)pd = 6 -195 432 -453 9 -792 -162 poly2sym(pd)ans =6*x6-195*x5+432*x4-453*x3+9*x2-792*x-162 p1=deconv(pd,d)p1 = 2 -5 6 -1 9(4)多项式加法两个同阶多项式的相加，可用z=x+y。对于一般x和y不同维数的情况，可用自定义的函数polyadd完成functionpoly=po