《偏微分方程》

1、4 分离变量法1偏微分方程教程第四章 双曲型方程4 分离变量法24 分离变量法 分离变量法分离变量法亦称Fourier法, 它是解混合问题的一个最普遍的基本方法. 虽然在2我们已经利用波的反射原理讨论过混合问题, 但在数学物理问题的研究中，有许多混合问题能用分离变量法求解,而不能用波的反射原理求解. 因此，分离变量法在求解偏微分方程的混合问题时特别重要，它不仅适用于波动方程， 而且也适用于热传导方程、调和方程，以及某些形式更复杂的方程和方程组. 在这一节我们将以一维波动方程和二维波动方程的混合问题为模型，阐述分离变量法的解题过程和理论基础. 偏微分方程教程 第四章 双曲型方程4 分离变量法3偏

2、微分方程教程 第四章 双曲型方程4.1 4.1 齐次波动方程的混合问题齐次波动方程的混合问题 考察两端固定的弦的自由振动, 此问题可归结为求方程 满足初始条件 2000ttxxua ux l t (4.1)00( )( ) 0tt tux uxx l (4.2)及边界条件 0000 xx luut (4.3)的解, 其中 (0)( )0(0)( )0ll 是相容性条件相容性条件. 首先，我们设法找到所有具有变量分离形式的满足方程(4.1)和边界条件(4.3) 的非零特解.所谓函数 具有变量分离形式， ()u x t 下面我们用分离变量法来求解混合问题(4.1)-(4.3). 4 分离变量法4偏

3、微分方程教程 第四章 双曲型方程是指它能写成 ()( ) ( )u x tX x T t(4.4)的形式. 将(4.4)代入方程(4.1), 有 2( )( )( ) ( )X x T ta Xx T t此处 ( ) ( )0X x T t 分离变量即得 2( )1( )( )( )XxTtX xaT t(4.5)t因为等式(4.5)的左端仅与 x有关, 右端仅与 t有关, 因此存在常数 使得 2( )1( )( )( )XxTtX xaT t 于是得到变量被分离后的两个常微分方程 4 分离变量法5偏微分方程教程 第四章 双曲型方程( )( )0XxX x 2( )( )0Tta T t (4

4、.6) (4.7) 现在我们可以通过解这两个常微分方程来定出函数 ( )X x( )T t和 由边界条件(4.3)得 (0 )(0) ( )0utXT t ()( ) ( )0u l tX l T t 由于我们所要求的 ()u x t 是非零解，故 ( )0T t ,从而推知函数 ( )X x应满足附加条件 (0)0( )0XX l (4.8)为此，我们需要解如下含参数 题: ( )( )0(0)( )0.XxX xXX l(4.9) 的二阶线性常微分方程边值问4 分离变量法6偏微分方程教程第四章 双曲型方程定义定义4.14.1 使常微分方程边值问题(4.9)具有非平凡解的那些值称为这个边值问

5、题的特征值; 相应的非平凡解称为对应于这个特征值的特征函数特征函数;寻找边值问题(4.9)的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题特征值问题或施图姆施图姆- -刘维尔刘维尔(Sturm-Liouville)(Sturm-Liouville)问题问题.现在我们来解特征值问题(4.9). 分三种情形进行讨论: 1) 当 0时,方程(4.6)的通解为 12( )xxX xcec e 其中 12c c 是任意常数,要使它满足边界条件(4.8),就必须有 12120,0.llcccec e 4 分离变量法7偏微分方程教程第四章 双曲型方程110llee 因此 12c c 必须同时为零,从而 ( )X

6、x恒等于零.此时特征值问题(4.9)没有非平凡解. 2) 当 0时, 方程(4.6)的通解为 12( )X xcc x11200cccl 所以 120cc, 从而 ( )0X x .此时, (4.9)也没有非平凡解. 3) 当 0时, 方程(4.6)的通解为 12( )cossinX xcxcx由于系数行列式4 分离变量法8偏微分方程教程第四章 双曲型方程要它满足边界条件(4.8), 必须 1120cossin0cclcl 由这两个等式推得 2sin0cl 如果20c , 那么 ( )0X x 因此为了获得非平凡解, 必须要求 20c 且 sin0l即 kl其中 k是一个任意的正整数. 所以,

7、 只有当 取值为 (4.10)21 2kkkl4 分离变量法9偏微分方程教程第四章 双曲型方程时, 特征值问题(4.9)才有非平凡解.这些离散的 k(4.9)的特征值,与这些特征值 就是特征值问题k对应的函数 ( )sin12kkk xX xckl (4.11)就是特征值 k所对应的特征函数. 对于 k方程(4.7)的通解可写成 ( )cossin1 2kkkk ak aT tatbt kll 其中 ka和 kb都是任意常数, 于是对任意的 kk kAca和 kkkBc b函数 ()( )( )(cossin)sinkkkkkkakakxux tXx TtAtBtlll4 分离变量法10偏微分

8、方程教程 第四章 双曲型方程满足方程(4.1)和边界条件(4.3). 由于方程(4.1)是线性齐次的, 根据叠加原理, 对任何有限个特解的线性组合也是它的解. 对于无穷级数 1()(cossin)sinkkkk ak aku x tAtBtxlll(4.12)由级数理论知, 只要级数(4.12)及它对 x和 t逐项求导两次后所得的级数都一致收敛时，其和函数()u x t 将仍是方程(4.1)满足边界条件(4.3)的解.现在的问题是设法确定常数 kA和 kB使级数(4.12)及它对 x和 t逐项求导两次后所得的级数都一致收敛, 且和函数满足初始条 件(4.2). 这里先对级数(4.12) 关于

9、t形式求导, 得 1()(sincos)sinkkkuk ak ak akxtAt Btxtllll (4.13)4 分离变量法11偏微分方程教程 第四章 双曲型方程利用初始条件(4.2), 在(4.12)和(4.13)中令 0t 得 11( )sin,( )sin.kkkkkxAxlkakxBxll由此可知, 如果函数 ( )x和 ( ) x在区间 0l上都能展成Fourier正弦级数, 那么它们的系数 kA和 kk aBl就由 002( )sin2( )sinlklkk xAxdxllk xBxdxk al(4.14) 给出. 4 分离变量法12偏微分方程教程 第四章 双曲型方程下面我们来

10、证明, 当初始数据 ( )x和 ( )x(4.14)确定的 kA和 kB作系数的级数(4.12)就是混合问题(4.1)-(4.3) 的解为此, 我们只要能证得级数(4.12)及对它逐项求导两次后所得级数都一致收敛就行了( )f x在区间 0 l 上有直到 m阶的连续导数, 1m 阶导数分段连续,且当 p为偶数时 ()()(0)( )0ppffl若把函数 ( )f x展开成正弦级数 1()sinkkkfxaxl满足一定的条件时 ,由引理引理4.54.5 设函数 4 分离变量法13偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 证证: : 由假设知, 函数 (1)( )mfx可在区间 0 l 上展为Fouri

11、er m为奇数时, 展开式为 (1)(1)1( )sinmmkkkfxaxl则级数1mkkka是收敛的.级数.当4 分离变量法14偏微分方程教程 第四章 双曲型方程其中 1212(1)(1)0( )( )002(1)(1)001012( )sin22( )sin( )cos22( )cos( )sin2( 1)( )sin( 1)mmlmmkllmmllmmmlmkafxxdxllkkkfxxfxxdxlll llkkkkfxxfxxdxl lllllkkf xxdxlllk kal4 分离变量法15偏微分方程教程 第四章 双曲型方程当 m为偶数时, 展开式为 (1)(1)(1)01( )co

12、s2mmmkkakfxaxl同样可以推得 21(1)( 1)0 1 2mmmkkkaakl 根据贝塞尔(F.W. Bessel)不等式, 有 2(1)(1)20122(1)(1)(1)20012( )12( )2lmmkklmmmkkafx dxmlaafx dxml为 奇 数为 偶 数4 分离变量法16偏微分方程教程 第四章 双曲型方程由此可见, 无论 m是奇数还是偶数, 都有 (1)21mkka 即 2221mkkka 利用Cauchy不等式, 得 1222211111mmmkkkkkkkak akkakk 所以级数 mkka收敛. 引理证毕. 4 分离变量法17偏微分方程教程 第四章 双

13、曲型方程(0)( )(0)( )(0)( )0lll 定理定理 4.114.11 设在区间 0l 上, 函数 ( )x且三阶导数分段连续, 函数( )x端点同时满足相容性条件相容性条件 二次连续可微 连续可微且二阶导数分段连续,在 则由级数(4.12)定义的函数()u x t 有二阶连续导数, 且是混合问题(4.1)-(4.3)的解.4 分离变量法18偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 证证: : 由引理4.5知, 级数 2211kkkkkAkB都是收敛的, 因而级数(4.12)关于 x和 t数也都是一致收敛的, 而且分别收敛于函数 ()u x t 级数(4.12)所定义的函数 ()u x t 是定解问题(4.1)-(4.3)的解. 逐项微分二次后所得的级的相应导数,所以定理证毕.4 分离变量法19偏微分方程教程 第四章 双曲型方程第一步第一步: : 令 (