高等数学讲义一元函数微分学

1、第二章一元函数微分学§2.1导数与微分(甲)内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数yf(x)在点；的某领域内有定义，自变量x在二处有增量”，相应地函数增量yf(xox)f(xo)o如果极限Jin斗linx)f(xo)x0Xx0X存在，则称此极限值为函数f(x)在xo处的导数(也称微商)，记作f(xo),或yxxo心，dfxs等，并称函数yf(x)在点xo处可导。如果上面的极限不存在，则称函数yf(x)在点xo处不可导。导数定义的另一等价形式，令xxox,xxxo,则f &o)lin X xo X XO,、f(x)f(xo)我们也引进单侧导数概念。右导数：f (xo)B

2、n左导数：f (xo )f(X) f (xo )f (xo x) f (xo )XXOf&)在点XO处可导f&)在点XO处左、右导数皆存在且相等。2 .导数的几何意义与物理意义如果函数yf&)在点xo处导数f&0)存在，则在几何上f&o)表示曲线yf&)在点(xo,f(xo)处的切线的斜率。切线方程：yf(xo)f(xo)(xxo)法线方程：v f (xo)(x xo ) (f (xo ) 0)f(xo)设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为Sf6,如果f他)存在，则f(10)表示物体在时刻to时的瞬时速度。3 .函数的可导性与连续性之间的

3、关系如果函数yf&)在点xo处可导,则f (x)在点xo处一定连续，反之不然，即函数V f&)在点X0处连续，却不一定在点xo处可导。例如，y f (x) x ,在xo 0处连续，却不可导。4.微分的定义设函数y f(x)在点xo处有增量x时，如果函数的增量y f (xox)f(xo )有下面的表达式y A (xo ) x o ( x)其中A&o)为x为无关，o(x)是0时比 x高阶的无穷小，则称f (x)在xo处可微,并把y中的主要线性部分f &)在xo处的微分，记以dy：x或df(x我们定义自变量的微分dx就是 x o275 .微分的几何意义yf(xox)f

4、(xo)是曲线yf&)在点xo处相应于自变量增量x的纵坐标f(xo)的增量，微分XX。是曲线Vf(x)在点Mo(X0,f(xo)处切线的纵坐标相应的增量(见图)。6 .可微与可导的关系f&)在X0处可微f&)在X0处可导。且dyxxoA)xf(xo)dx一般地，yf(x)则dyf(x)dx所以导数f(X)也称为微商，就是微分之商的含义。dx7 .高阶导数的概念如果函数yf&)的导数yf(x)在点xo处仍是可导的，则把yf在点x0处d2yl的导数称为yf(x)在点xo处的二阶导数，记以丫；9，或£(xo),或一r.。等，也dx称f(x)在点xo处二阶可导

5、。如果yf(x)的n1阶导数的导数存在，称为yf&)的n阶导数，记以y人,n(n)dyy(x),等，这时也称yf(x)是n阶可导。二、导数与微分计算1 .导数与微分表(略)2 .导数与微分的运算法则(1)四则运算求导和微分公式(2)反函数求导公式(3)复合函数求导和微分公式(4)隐函数求导法则(5)对数求导法(6)用参数表示函数的求导公式(乙)典型例题一、用导数定义求导数例设f(x)(xa)g(x),其中g(x)在xa处连续，求f3)/、f&)(X解：f6)血3血a)g&)0g(a)xaxaxaxa二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数X2,X1fWaxb,x1试确定

6、a、b的值，使f6)在点x1处可导。解：,可导一定连续，f(x)在x1处也是连续的。(1f0)lin()lin要使f&)在点X要使f(x)在点x故当a2,b例2设f&)linn解：X1时,f(10)1处连续，必须有(1)(1)linlinf(x)linf(x)X1f(1)linlin3,Xb)X1x21lin1)2x1)1时,f6)再由Xf(1)f(1)x1f(x)f(1)axblinlina(x1)aX11处可导，必须f(1)1时,X26n(xi)axbn(x1)ef(1),即2f(x)在点x，问a和b为何值时，f(x)可导，且求f(x)1linnen(x1)linenvx0

7、ax1处连续性,1处可导性,linX1linb,xlinf(x)1,1,linx21,f(1)X1a-b11,可知ab1X2f(1)存在1b)f(1)存在且f(1)f(1)根据洛必达法则f(1)linaf(1)向2x-212于是b1a29X,X1,f(x)1,X1,2x1,x1,f(x)2x，x1，2,x1,三、运用各种运算法则求导数或微分例1设f6)可微，yf(hx)e'&),求dy解：dyf(hx)def(x)efdfOnx)f(x)ef(x)f(hx)dx-fSx)efdxef(x)f(x)fOnx)-1fOnx)dx例2设yXxx(x0),求一dx解：hyxxhx对x求

8、导，得±y(xx)hxLXxyx再令yixx,hyixhx,对x求导，1yihx1,/.(xx)xx(hx1)yidy于是xx(hx1)hxXxiXxs(x0)dxdy例3设yy(x)由方程xyy'所确定，求解：两边取对数，得yhx对x求导，yhxh x)xyny63t2shudu2teuh(1u)dudx求一dydxdx解：dy_±Ldydttl2t22tesiltesint2e2th(l2。四、求切线方程和法线方程例1 已知两曲线y f(x)与/2、程，并求lin nf ( J o90 (arctan x) 一解：由已知条件可知 f(0) o1 x2故所求切线方

9、程为 y xlin nf hn 2 n-f (0)2 f(0) 2anianxe七dt在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方0例2已知曲线的极坐标方程r1cos解：曲线的参数方程为(1COS ) COS COS2COS(1cos ) shshsh cosdydxdy d dx cossh2COS2 cos 2sn乙sh,求曲线上对应于坐标方程。一处的切线与法线的直角6故切线方程y3)4法线方程3.£3)4设f(x)为周期是5的连续函数，在X0邻域内，恒有0，f (x)在x 1处可导,.(X)f(1sinx)3f(1shx)8x&)。其中linxox求曲线yf(x)在点(6,

10、f(6)处的切线方程。解：由题设可知f(6)f(1),f(6)f(l),故切线方程为yf(l)f(l)(x6)所以关键是求出f(1)和f(1)由f&)连续性linf(1sinx)3f(1shx)2f(1)x0由所给条件可知2f(1)0,Af(l)0再由条件可知lin上Q-sinx)3f(1shx)lin(8x一GO)8xoshxxoshxshx令siixtlin£08，又=f(1)0t上式左边二lin-U4-X)_"Ui3lin上0_£4-)。tt°(t)二f(1)3i(1)4f(1)则4f(l)8f(1)2所求切线方程为y02(x6)即2xy1

11、20五、高阶导数1 .求二阶导数例1设yh(XvX22),求y''y-L(X2 a 2 )-22x )1Vx2 a2 3 a2x aivtan t例2 设y h(l t2 )2x厂xV (x2 a2)3d 2 y求dx 2dy2t解：史tdx dx12dt 1 t2 dy dy2d 2 y 1) 一)/L d (dx/dx dx? dx dt dt -l- 1 t22(1 t2)例3 设y y(x)由方程x? y21所确定，求y'解：2x2yy'0,y'一yx21y一1yxyy,yy2y2y2x2133yy2 n2.求n阶导数(，正整数)，总结出规律性，

12、然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式(1) yexy8)ex(2) y a * g o, a 1)y (n) a x (h a) n(3) y sh x(4) y cosxy sh (x xu) 2y S) COS &-4)2(5) y h xy (n)l)n 1 (n l)!xn两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式n|u(x)v(x)S)Cu&)v"k)(x)k0其中C11kfir!,U(0)(x)u(x),v(0)(x)V(x)k!(nk)!假设u&)和v&)都是n阶可导例1设yxk（k正整数），求y（八）（n正整

13、数）解：yk(k1)(kn1)xkn,nk,0,nk例2设yqJ，求y(口)(n正整数)1x解：y(xn1)1.1(xn1Xn2x1)1 x1xy®(1X)l(n)aJ(1x)n11_x23x(xl)(x2)，求yG）（n正整数）1x2L(X2)1&1)1x1Kx2)2&1)21)(2)(x2)3(x1)3yh)(l)nn!(x2)(ni)(x1)(n1)例4设ysin1xcos4x,求y")(n正整数)解：y(1cos2x)2(cos2x)22 21(22cos22x)-31cos4x444y<h)L4ncos(4x44)4nleosQx»

14、-)422例5设yx3e2x,求y(n)(n正整数)解：用莱布尼兹公式ny(n)Cnk(X3)(k)(62x)(nk)k0n41) (n 2)6 32x) s 3)62)X3(e2x)In)3nx2(©2X)(n1)11(h1)6x(02x)(n2)22n3e2x8x312nx26n(hl)xnG1)(n§2.2微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。（甲）内容要点一、罗尔定理设

15、函数f（x）满足（1）在闭区间a,b±连续；（2）在开区间（a,b）内可导;（3）f（a）f（b）则存在（a,b）,使得f（）0几何意义：条件（1）说明曲线y-*）在4（&,£（3）和8（|3,£"）之间是连续曲线；包括点A和点Bo条件（2）说明曲线yf&）在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线不包括点A和点B。条件（3）说明曲线yf&）在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线y平行于x轴。f（x）在点A和点B之间不包括点A和点B至少有一点，它的切线二、拉格朗日中值定理b)设函数f(x)满足(1)在闭区间a,b止连

16、续；(2)在开区间(a,b)内可导则存在3,b),使得f(b)f3)baf()或写成f(b)f(a)f()(ba)61)有时也写成f(xox)f(xo)f(xox)x(0这里xo相当a或b都可以，x可正可负。几何意义：条件(1)说明曲线y-乂)在点人313)和点8(13,£6)之间胞括点A和点B是连续曲线：条件(2)说明曲线yf(x)不包括点A和点B提光滑曲线。结论说明：曲线yf(x)在A,B之间不包括点A和点B,至少有点，它的切线与割线AB是平行的。推论1若f(x)在(a,b)内可导，且f(x)0,则f6)在3,b)内为常数。推论2若f(x)和g&)在(a,b)内可导，且f

17、'(x)g(x),则在a,b内f(x)g(x)C,其中C为一个常数。(注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f(a)f(b)特殊情形，就是罗尔定理)三、柯西中值定理设函数£(乂)和8(*)满足：(1)在闭区间a,b上皆连续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g(x)0,则存在(a,b)使得f(b)f(a)f()、gb)g(b)g(a)g()g &) x时，柯西中值定(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形理就是拉格朗日中值定理)Xg(0r1.几何意义：考虑曲线俞的参数方程ta,b.yf(t)点A(g(a),f&),点B(g(b),f(b)曲线在

18、O上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB：一值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)定理1(带皮亚诺余项的n阶泰勒公式)f (x)Rn (x)设f6)在xo处有n阶导数，则有公式(XX0)其中Rn(x)O(Xxo)n(xX0)称为皮亚诺余项。Rn&)(linn0)XX。&XO)前面求极限方法中用泰勒公式

19、就是这种情形，根据不同情形取适当的n,所以对常用的初等函数如ex,shx,cosx,h(lx)和(1x)a(为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2(带拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设f(x)在包含xo的区间3,b)内有n1阶导数，在a,b上有n阶连续导数，则对xa,b，有公式f&)f(xo)XU4(XX0)(XXO)2(XX0)nRn(X)1!2!n!其中Rn(x)f”()&X0)m,(在xo与X之间)称为拉格朗日余项。(nD!上面展开式称为以X0为中心的n阶泰勒公式。X00时，也称为麦克劳林公式。如果linRn(x)0,那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论

20、。(乙)典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1设f(x)在m3上连续，在(0,3)内可导，且f(0)f(1)f(2)3,f(3)1.试证：必存在。，3),使f()0证：:f(x)在3止连续，.f(x)在旧，2上连续，且有最大值M和最小值m.于是mf(0)M；mf(1)M；mf(2)M,故mLf(if(1)fG)M.由连续函数介值定理可知，至少存在一点c£),2使得3f(c)-Lf(0)f(1)f9)1,因此f(c)f(3),且f(x)在c,3上连续，(c,3)3内可导，由罗尔定理得出必存在(c,3)。，3)使得f()0o1设f(x)在M1上连续，(0,1)内可导，且3/f&)d

21、xf(0)3求证：存在(0,1)使f'()021证：由积分中值定理可知，存在c_/,使得32 f(x)dxf(c)(12)3 31得至Ijf(c)32f(x)dxf(0)对f&)在B),c上用罗尔定理，(三个条件都满足)k rxe1 xf (x)dx , 0故存在。C)。，1),使f()0设f(x)在口1上连续，(0,1)内可导，对任意k1,有f(l)求证存在(0,1)使f()(11)f()证：由积分中值定理可知存在 c 必一工 吏得 kkxe1 * f &)dx ce1 c0f o)k令()lx0Fxxefx,可知F(1)f(1)1h"f(1)f(l)k玄x

22、e】Xf&)dxce1cf(c)F(c),对F6)在b,1上用罗尔定理0(三个条件都满足)存在(c,1)(0,1),使F。0而F&)e1xf(x)xe1Xf(x)xe1Xf(x)1_1FOe1f()(1)f()0又e1o,则f()(i1)T()在例3的条件和结论中可以看出不可能对f(x)用罗尔定理，否则结论只是f()0,而且条件也不满足。因此如何构造一个函数F(x),它与f(x)有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从F()0就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的F(x)是非常关键，下面的模型I,就在这方面提供一些选择。模型I：设f

23、6)在a,b上连续，(a,b)内可导，ffe)f(b)0则下列各结论皆成立。(1)存在1 3J)使£ (1)If (1 )0 ( 1为实常数)(2)存在2(a,b)使f(2)k2k1f(2)0(k为非零常数)3)存在3(a,b)使f(3)g(3)f(3)0(g(x)为连续函数)证：(F(x)/f(x),在a,b上用罗尔定理F(x)fekf(x)ekf(x)存在i6,b)使Fife11fie11fi0消去因子e11,即证.(2)令F(x)(x),在a,b上用罗尔定理k1xkxkF(x)kxef(x)ef(x)存在2g,b)使F(2)k2kle2f(2)e2f(2)0消去因子e2,即证。

24、(3)令F(x)ec(x)f(x),其中G&)g(x)F(x)g(x)eG&)f&)e。(X)f(x)由FG)0f (J) 1,试证: 2清去因子eG(3),即证。例4设f6)在K),1上连续，在(0,1)内可导，f(0)f(1)(1)存在乙)，使f()。2(2)对任意实数，存在(0,)，使得f()f()证明：(1(1)1 0,)令 ,)1 22(x) f(X)X ,显0 ,根据介值定理，存在然它在S1、J1)使21上连续，又()0 即 f ()(2)令F(x)ex(x)exf(x)x,它在口上满足罗尔定理的条件，故存在(0,),使F()0,即eff10从而f()f()

25、1(注：在例4(2)的证明中，相当于模型I中(1)的情形，其中1取为，f(x)取为(x)f(x)x)模型H：设f(x)，g&)在b上皆连续，(a,b)内皆可导，且f3)0,g(b)0,则存在(a,b)，使f()g()f()g()0证：令F6)f(x)g(x),则F3)F(b)0,显然F(x)在a,b止满足罗尔定理的条件，则存在(a,b)，使F()0,即证.例5设f在01上连续，(0,1)内可导,i(0)0,k为正整数。求证：存在。，1)使得f()kf()f()证：令g(x)(x1)k,a0,b1,则f(0)0,g(l)0,用模型H,存在(0,。使得f()(l)kk(l)k1f()0故f

26、()(1)kf()0则f()kf()f()例6设f&),g&)在g,b)内可导，且f6)g(x)f(x)g6),求证f(x)在(a,b)内任意两个零点之间至少有一个g(x)的零点证：反证法：设axiX2b,f(xi)0,f(X2)0而在(xi,X2)内g(x)0,f(x)则令F(x)在xi,x2上用罗尔定理g(x)八q/q(Af(XI)/、f(X2)IQf(xi)f(X2)0,F(xi)0,F(X2)0g(XI)g(X2)(不妨假设g(xi)0,g(x2)0否则结论已经成立)则存在,X2)使F()0,得出f()g()f()g()0与假设条件矛盾。所以在(XI,X2)内g(X)至

27、少有一个零点例7设f6),g&)在a,b二阶可导，且g(x)0,又f(a)f(b)gfe)g(b)0求证：(1)在(a,b)内g&)0；、“f()f()(2)存在3,b),使g()g()证：(1)用反证法，如果存在c(a,b)使g(c)0,则对g(x)分别在a,c和c,b上用罗尔定理，存在XIfe,c)使g(XI)0,存在X2(c,b)使g&2)0,再对g(X)在xi,X2上用罗尔定理存在X3(XI,X2)使g&3)0与假设条件g(x)0矛盾。所以在(a,b)内g(x)0(2)由结论可知即f()g()f()g()0,因此令F&)g(x)f'(x)

28、g'(x)f6),可以验证F6)在a,b上连续，在(a,b)内可导，F(a)F(b)0满足罗尔定理的三个条件故存在g,b),使F()0于是f()g()f()g()o成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1设f6)在(，)内可导，且linf(X)e,C)Xlinif(x)f&1)JxxXc求c的值解：由条件易见，c0(1色)Xc/Xcdxe2clin)lincxecexx(1_)x由拉格朗日中值定理，有f(x)f(x1)f()x&1)f()其中介于(X1)与X之间，那么linf(x)f(x1)linf()eXX()于是e2ce,2c1,则ci2例2 设f 6)是周期为

29、1的连续函数，在0, 1)内可导，且f (1)0,又设M 0是f&)在1 , 2上的最大值，证明：存在(1,2),使得 f ( ) 2M o证：由周期性可知f (0) f (1)f(2)0,不妨假定xo(1,2)而£60)M0,对f(x)分别在1,xo和xo,2上用拉格朗日中值定理,f(xo)f(1)存在1(1,X0),使得f(1)X01存在2(xo,2),使得f(2)如果xo(1,3),则用式，得2如果XO3L,2),则用式，得2因此，必有(1,2),使得例3设f&)在01上连续，(0,(I)存在(0,1)，使得(n)存在(0,1),证：(I)令g(x)f(x)Xg

30、(l)(II)f(2)f&o)2xo2M内可导，且用介值定理推论存在和f(0)g&)在lb,i(0,1)，2M；f(xo)xo0，f(1)上连续，且1上对f(x)用拉格朗日中值定理，存在g(o)(0,)，使)f(0)存在(,1)，例4设函数f&)限Jinxa，使f(在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导，且f(x)0,若极f(2xa)存在,证明:(1)在(a,b)内f(x)(2)在(a,b)内存在b2a2bf&)dxa(3)在b)内存在与(2)中相异的点，使f()(b2a2)bf&)dxa）证：（1）因为lin上心存在，故血f(2xa)0,由f(

31、x)在a,b上连续，从而f3）o.又f&）0知f6）在（a,b）内单调增加，故f(x)f(a)0,x(a,b)3设F（x）x2,()fVdt(axb)Ja贝g(x)f(x)故F&）,g（x）满足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点，使F(b)FS)g(b)g(a)b2bf(t)dtaa2af(t)dt(a(X2)f6dt)ab2a22f(x)dxa(3)因f()f()0f()f(a),在a,上应用拉格朗日中值定理,知在（a,）内存在一点，使f()f（）（a），从而由（2）的结论得即有三、泰勒公式（数学一和数学二）b2a2-bf(x)dxa21()(a)f()(b2a2f

32、(x)dx.例1设f（x）在H,1上具有三阶连续导数,1)0，f(1)求证:证：麦克劳林公式fxfOf0X0X22!ix33!其中X1,1，介于0与x之间。(0)01)f(0)(I)2-If(i)(l)3(1i0)2!1f(1)f(0)2!I24f(62)13(021)后式减前式，得i(1)f(2)6f(x)在1则mf(1)22止连续,f(2)M再由介值定理，1使f()一f(i2设其最大值为(1,1)f(2)3例2设函数f(x)在闭区间a,b上具有二阶导数,内至少存在一点，使成立。分析:因所欲证的是不等式，故需估计f(x)f(xo)f(xo)(xxo)且f(a)(ba)2f(b)0(),由于一

33、阶泰勒公式f()(xX0)2，(其中，试证:在3,b)含abLa,1£,因此应该从此入手.再由f&)f(b)能出现(ba)2项.证：在a,aab、f()2abf()2两式相减，得f(b)f(a),b两个区间上分别应用泰勒公式,以便消去公式中的f3)f(b)(ba)2ba：上分别用泰勒公式,2zxabf3)(2ab(b)(2f"(i)便有a)b)1f(ba)2(1)(52f”(2)I)在xo,x之间)0知，应在f(x)项，同时又ab22b.一(ba)2max|fn(i)I,If''(2)I).4所以至少存在一点(a,b),使得f(b)f(a)IfOW(

34、ba)2§2.3导数的应用（甲）内容要点一、判断函数的单调性二、函数的极值1、定义 设函数f x在a, b内有定义,xo是a,b 内的某一点，则如果点xo存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点xxxo,总有fxfxo,则称fxo为函数fx的一个极大值，称xo为函数fx的一个极大值点;如果点xo存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点xxxo，总有ixfxo,则称fxo为函数fx的一个极小值，称xo为函数fx的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2、必要条件（可导情形）设函数fx在xo处可导，且xo为fx的一个极值点，则fxo0我们称满足fxo0的xo为

35、fx的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3、第一充分条件设fx在xo处连续，在0<kxo内可导，fxo不存在，或fX0=01°如果在X0 , X0内的任一点x处，有f0 ，而在 xo , xo内的任一点X处，有f0 ,贝f X0为极大值,xo为极大值点;2°如果在xo，X0内的任一点X处，有f X0 ，而在 xo , xo内的任一点X处，有f则f X0为极小值，X0为极小值点;3°如果在xo,xo 内与 xo , xo内的任一点 x处，f x的符号相同，那么fxo不是极值，xo不是极值点

36、4、第二充分条件设函数fx在xo处有二阶导数，且fxo0,fx0,则o当fx0,ixo为极大值，xo为极大值点0当fX00,ixo为极小值，X0为极小值点三、函数的最大值和最小值1 .求函数f&)在a,b上的最大值和最小值的方法。首先，求出f(x)在(a,b)内所有驻点，和不可导点xi,xko其次计算f(xi),f(xk),f3),f(b)最后，比较f(xi),f(xk),f(a),f(b)，其中最大者就是f(x)在a,b上的最大值M；其中最小者就是f(x)在a,b上的最小值mo2 .最大(小)值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。四、凹凸性与拐点1.凹凸的定义设f(x)在区间I上连续，若对任意不同的两点xi,x2,恒有1XXXX)一f)f(X2)(f(-一f(XI)f(X2),则称f(X)在I上222是凸(凹)的2.曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。五、渐近线及其求法六、函数作图七、曲率(乙)典型例题一、证明不等式例1.求证：当x0时，(X2l)hx(x1)2证：令f&)(x2l)hx(x1)2只需证明x0时，f(x)0易知f(l)0f&)2xhxx2,£(1)0,由于f&)的符号不易判断，故进一步考虑f(X) 2hx再考虑f