.命题及其关系、充分条件与必要条件

1、123456789101112131415161718192021222324252627 指出下列命题中，指出下列命题中，p p是是q q的什么条件（在的什么条件（在“充分不充分不 必要条件必要条件”、“必要不充分条件必要不充分条件”、“充要条件充要条件”、“既既 不充分也不必要条件不充分也不必要条件”中选出一种作答）中选出一种作答）. . （1 1）在）在ABCABC中，中，p p：A A=B B，q q：sinsinA A=sin=sinB B； （2 2）对于实数）对于实数x x、y y，p p：x x+ +y y8,8,q q: :x x22或或y y6;6; （3 3）非空集合）非

2、空集合A A、B B中，中，p p：x xA AB B，q q：x xB B； （4 4）已知）已知x x、y yR R，p p：( (x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=0=0， q q：( (x x-1)(-1)(y y-2)=0.-2)=0.【思维启迪思维启迪】 首先分清条件和结论，然后根据充要条件的首先分清条件和结论，然后根据充要条件的定义进行判断定义进行判断. 题型二题型二 充要条件的判断充要条件的判断28解解 （1）在ABC中，A=B sinA=sinB，反之，若 sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180),所以只有A=B.故p是

3、q的充要条件.（2）易知, p:x+y=8 q:x=2且y=6,显然 q p,但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.（3）显然xAB不一定有xB,但xB一定有xAB,所以p是q的必要不充分条件.（4）条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但q p,故p是q的充分不必要条件.探究拓展探究拓展 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价

4、性，转化为判断它的等价命题.2930313211.11.a a, ,b b, ,c c为实数，且为实数，且a a= =b b+ +c c+1.+1.证明：两个一元二次方程证明：两个一元二次方程x x2 2+ +x x+ +b b=0,=0,x x2 2+ +axax+ +c c=0=0中至少有一个方程有两个不相等的实数中至少有一个方程有两个不相等的实数根根. .证明证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则假设两个方程都没有两个不等的实数根，则1=1-4=1-4b b00, 2 2= =a a2 2-4-4c c00, 1+ +2=1-4=1-4b b+ +a a2 2-4-4c c00.

5、a a= =b b+ +c c+1+1,b b+ +c c= =a a-1-1. 1-4(1-4(a a-1)+-1)+a a2 200, 即即a a2 2-4-4a a+50+50. 但是但是a a2 2-4-4a a+5=(+5=(a a-2)-2)2 2+1+10 0,故矛盾故矛盾. 所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个 方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根.3312.12.设设 、是方程、是方程x x2 2- -axax+ +b b=0=0的两个根，试分析的两个根，试分析a a2 2且且b b1 1是是 两根两根 、均大于、均大于1 1的什么条件？的什么条件？ 解解 令令p p:a a2 2,且且b b1 1;q q: 1 1,且且1 1, 易知易知 + += =a a, = =b b. + + 2 2 1 1, 不能推出不能推出 1 1且且 1 1. 可举反例：若可举反例：若 + =6+ =6 =3 =3， 若若 1 1,且且 1 1，则，则 + + 1+1=21+1=2, 1 1.所以由所以由q q可推可推 出出p p. 综合知综合知p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件,也即