第8章位移法--至诚

1、第8章 位移法8-2 位移法直接平衡法8-3 位移法典型方程法8-4 对称性利用8-1 形常数与载常数AhCCBlEICACBEI316PF l532PF lACBEI2CEIh4CEIh3CEIlFPF2F1C=+位移法基本思路EI第一步：增加约束，将结点位移锁住。得约束力矩为：第一步：增加约束，将结点位移锁住。得约束力矩为：1316PFF l 第二步：施加力偶，使结点产生角位移。施加的外部力矩为：第二步：施加力偶，使结点产生角位移。施加的外部力矩为：234EIEIFlh实际情况：将两种状态叠加，即为实际受力。此时实际情况：将两种状态叠加，即为实际受力。此时C点上不应有外加约束。点上不应有外

2、加约束。 则则F1+F2=08-1 形常数与载常数基本构件基本构件要求要求:熟练背诵形常数和载常数熟练背诵形常数和载常数,并能正确画并能正确画 出相应的弯出相应的弯矩图和剪力图矩图和剪力图三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力. 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力形常数形常数载常数载常数8-1 形常数和载常数结点转角、杆轴弦转角：结点转角、杆轴弦转角：顺时针为正。顺时针为正。符号符号剪力：剪力：以绕隔离体顺时针转动为正。以绕隔离体顺时针转动为正。杆端弯矩：杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针

3、为正。绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正。 8-1 形常数和载常数1 1 形常数形常数1AB42ABBAMiMi 4i2iAB6i/lABQ6 /Fi l 1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB6 /6 /ABBAMi lMi l 2Q12 /Fi l 8-1 形常数和载常数3iAB1AB3ABMi 3i/lABQ3 /Fi l 3 /ABMi l 2Q3 /Fi l 1AB3i/lAB3i/l2AB1ABiiABBAMiMi ABQ0F AB8-1 形常数和载常数2 载常数载常数FQFQ/2/2ABBAFqlFql F2F2/12/12ABBAMqlMql qql2/12ql2/12ql

4、/2ql/2ABABABFPFP/8/8ABBAMF lMF l FQPFQP/2/2ABBAFFFF FPFP l/8l/2l/2FP l/8FP/2FP/2ABABAB8-1 形常数和载常数qABql2/85ql/83ql/8ABABFQFQ5/83/8ABBAFqlFql F2/8ABMql FP3FP l/16l/2l/211FP/165FP/16ABFP3/16ABMF l FQPFQP11/165/16ABBAFF lFF l ABAB8-1 形常数和载常数qql2/3qlql2/6lABFQFQ0ABBAFqlF F2F2/3/6ABBAMqlMql ABABFPl/2l/23F

5、Pl/8FP l/8FPABABABFPFP3/8/8ABBAMF lMF l FQPFQ0ABBAFFF 8-1 形常数和载常数1AB1AB1AB1AB1AB8-1 形常数和载常数FPl/2l/2ABlt1t2ABlt1t2ABqABqABFPl/2l/2AB8-2位移法直接平衡法1 无侧移结构【例题例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，相同，i=EI/6。 FP=20kN，q=2kN/m。q3m3m6mFPACB【解解】B点转角位移点转角位移1（1）基本未知量）基本未知量BA1FPBC1q8-2位移法直接平衡法1120 622158ABMii 1120 64

6、4158BAMii 2112 63398BCMii （2）写出杆端弯矩）写出杆端弯矩（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。）利用隔离体的平衡方程求结点位移。0BABCMM 1760i 167i 解得解得取取B点为隔离体，建立点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程点的力矩平衡方程BA1FPBC1qBBAMBCM8-2位移法直接平衡法16.7211.5715.853.21M图（图（kNm）（4）将结点位移代回杆端弯矩表达式。）将结点位移代回杆端弯矩表达式。621516.72kN m7ABMii 641511.57kN m7BAMii 63911.57kN m7BCMii （5）按照区段叠加法作出弯矩图

7、）按照区段叠加法作出弯矩图8-2位移法直接平衡法q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0【例题例题】 试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。相同。B点顺时针转角位移点顺时针转角位移1（1）基本未知量）基本未知量C点顺时针转角位移点顺时针转角位移2解解8-2位移法直接平衡法20111420 43334048FBABABAEIMiM 1212424241.7FBCBCBCBCMiiM （2）写出杆端弯矩）写出杆端弯矩设设EI0=1q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I08-2位移法直接平衡法12122

8、42441.7FCBBCBCCBMiiM 2233CDCDMi1143BEBEMi1121.5EBEBMiq=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I02242CFCFMi222FCFCMi8-2位移法直接平衡法（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方程，求基本未知量0BABEBCMMM121021.70(a) 解（解（a）和（）和（b），得），得121.154.89 BAMBEMBCMB0CBCFCDMMMCBMCFMCDMC122941.70(b) 8-2位移法直接平衡法（4）求杆端弯矩）求杆端弯矩43.5kNmBAM 46.9kNmBCM

9、24.5kNmCBM 14.7kNmCDM 3.4kNmBEM 1.73kNmEBM 9.78kNmCFM 4.89kNmFCM 3.443.546.91.74.899.824.514.7M图图(kNm)（5）按照区段叠加法）按照区段叠加法 作出弯矩图作出弯矩图8-2位移法直接平衡法2 2 有侧移结构有侧移结构C、D点水平位移点水平位移1【解解】（1）基本未知量）基本未知量（2）杆端弯矩）杆端弯矩2113/3/8FACACACqlMilMil 113/3/BDBDMilil 由杆端弯矩求得杆端剪力由杆端弯矩求得杆端剪力2Q133/8CAqlFil 2Q13/CAFil 试做图示刚架的弯矩图。各

10、杆试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。相同。AE1A=lBCDqii【例题例题】8-2位移法直接平衡法（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方程，求基本未知量FQCAFQDBQQ0CADBFF2136/08qlil 31348qli （4）求杆端弯矩）求杆端弯矩2516ACqlM 2316BDqlM 2516ql2316qlM图图有侧移的题一定用到由弯矩求剪力有侧移的题一定用到由弯矩求剪力（5）按照区段叠加法）按照区段叠加法 作出弯矩图作出弯矩图8-2位移法直接平衡法C、D点水平位移点水平位移2【解解】（1）基本未知量）基本未知量（2）杆端弯矩）杆端弯矩22220 43/43/4

11、408ACMii 1246/4DBMii试做图示刚架的弯矩图。各杆试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，相同，i=EI/4。【例题例题】D点的转角位移点的转角位移1A4mBCD20kN/m4m2m30kN30kNABCD20kN/m60kNm30kN1330DCMi 1226/4DBMii8-2位移法直接平衡法由杆端弯矩求得杆端剪力由杆端弯矩求得杆端剪力2Q2233/3/16308CAqlFili2Q12126/12/3/23/4DBFililii （3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量）建立隔离体平衡方程，求基本未知量FQCAFQDBQQ300CADBFF21153600(b)216ii 0D

12、CDBMM1237300(a)2ii DCMDBMD308-2位移法直接平衡法1163024802323ii（4）求杆端弯矩）求杆端弯矩120.87kN m52.17kN m52.17kN m106.96kN mACDCDBBDMMMM （5）按照区段叠加法作出弯矩图）按照区段叠加法作出弯矩图120.87106.96M图图(kNm)52.1760408-3 位移法典型方程法【例题例题】试做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。Ah =4mCq =3kN/mi2iBDil =8m 如果基本体系与原结构如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等加

13、约束上的约束反力一定等于零。于零。q =3kN/mF1012基本体系基本体系F20基本结构基本结构12F1F28-3 位移法典型方程法k11k2111 2i4i6i1M图图（1） 1=1单独作用时，附加约束的反力单独作用时，附加约束的反力k11、k21。k11=10ik21=-6i /h=-1.5i附加刚臂上的约束力以附加刚臂上的约束力以 顺时针为正。顺时针为正。 附加链杆上的约束力以附加链杆上的约束力以 读者规定的方向为正读者规定的方向为正6i/hk21k114i6i8-3 位移法典型方程法k12k2221 6i/h6i/h3i/h2M图图（2） 2=1单独作用时，附加约束的反力单独作用时，

14、附加约束的反力k12、k22。k12=-6i/h=-3i/2k22=15i /h2=15i/1612i/h23i/l2k22k126i/h8-3 位移法典型方程法F1PF2P（3） 荷载单独作用时，附加约束的反力荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。MP图图F1P= qh2/12=4qh/2F2P=- qh/2=-6F2PF1Pqh2/12qh2/12qh2/128-3 位移法典型方程法将三种情况下的附加约束反力叠加，得将三种情况下的附加约束反力叠加，得11111221P22112222PFkkFFkkF位移法方程为位移法方程为1111221P2112222P00kkFkkF位移法方程

15、的物理意义位移法方程的物理意义 基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零将求得的系数和自由项代入方程，求解得将求得的系数和自由项代入方程，求解得1212101.540151.56016iii120.737/7.58/ii 系数系数自由项自由项8-3 位移法典型方程法将三种情况下的弯矩图叠加将三种情况下的弯矩图叠加1122PMMMMM图图(kNm)4.4213.625.698-3 位移法典型方程法典型方程法的解题步骤典型方程法的解题步骤（1）选择基本结构）选择基本结构（2）建立位移法方程）建立位移法方程（3）求系数和自由项，解方程，求基

16、本未知量）求系数和自由项，解方程，求基本未知量（4）利用叠加原理，作弯矩图）利用叠加原理，作弯矩图8-3 位移法典型方程法【例题例题】试做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。4m10kNm2EI4m20kN/m40kN2EIEIEI2m2m基本结构基本结构12解解（2）建立位移法方程）建立位移法方程1111221P2112222P00kkFkkF（1）选择基本结构）选择基本结构8-3 位移法典型方程法2M图图k12k2221 k11=12ik114i8i1M图图k1111 k21k21=4ik214i8i4i4i2i4i8i4i6i2ik12=4ik114ik21=18i8i4i6ik22

17、(3)求系数和自由项，解方程求系数和自由项，解方程8-3 位移法典型方程法F1PF2PMP图图1026.7F2P1026.73026.7F1P=-36.7k213026.7F2P=-3.3123.24/0.534/ii 将系数和自由项代入方程，解得将系数和自由项代入方程，解得（4）利用叠加原理，做弯矩图）利用叠加原理，做弯矩图35.52.9M图图136.52.11结点集中力偶不影响结点集中力偶不影响MP图图, 但影响但影响F1P。8-3 位移法典型方程法EI1=EI1=iiiillFPFP【例题例题】试做图示刚架的弯矩图。试做图示刚架的弯矩图。解解（2）建立位移法方程）建立位移法方程11112

18、21P2112222P00kkFkkF2 1 基本结构基本结构（1）选择基本结构）选择基本结构8-3 位移法典型方程法11 k11k211M图图6i/l6i/lk11= 24i/l 212i/l 212i/l 2k21=- 24i/l 212i/l 212i/l 2(3)求系数的自由项求系数的自由项12i/l 212i/l 2k22=48i/l 212i/l 212i/l 2k12= -24i/l 212i/l 212i/l 221 k12k226i/l6i/l6i/l2M图图8-3 位移法典型方程法F1P=-FPFPFPF2P=-FP将系数和自由项代入方程将系数和自由项代入方程,解得解得22PP1232412F lF lii(5) 利用叠