初中数学几何《旋转模型费马点》压轴题含答案解析

旋转模型——费马点压轴好题（解析版）12023BAC＝AB＝4AC＝P在△ABC绕着点A针方向旋转°得到△AEFAEPBPC的最小值为（）A10B．C．D．【考点】旋转的性质；轴对称﹣最短路线问题．【分析】BF，过点B作BDAF，与的延长线交于点D，由旋转可知∠＝∠CAF＝°，APAE，PC＝EFAC＝＝6，于是可得△APE为等边三角形，进而得到AE++＝PEPBEF≥BF，利用含30度的直角三角形性质可得AD＝AB＝，＝AD＝，最后利用勾股定理求出的长即可．【解答】解：如图，连接BF，过点B作BD⊥AF的延长线交于点D，则∠ADB90∵将△APC绕着点A逆时针方向旋转°得到△AEF，∴∠CAF＝AP＝AEPC＝EFACAF＝6，∴△APE为等边三角形，∴AEPE，∴AEPBPC＝PEPBEF，∵PBPEEF≥BF，∴当点、、E在同一条直线上时，PBPEEF取得最小值为BF+PB取得最小值为BF，∵∠BAC＝°＝∠CAE，∴∠BAD60∴∠ABD30∴AD＝AB＝，＝AD＝，∴DFADAF＝＝8，在RtBDF中，BF＝＝．＝，∴AEPBPC取得最小值为故选：．【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．2（2023ABC内存在一点P们称这个点为费马点，此时+PBPC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠＝120P为锐角△3PC＝ABC60为7+2．【考点】轴对称﹣最短路线问题；数学常识．【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解．【解答】如图：∵∠APB＝∠BPC＝∠＝120，∠ABC60∴∠1+3＝°，∠1+2＝°，∠2+∠＝∴∠＝∠，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴＝，即＝12∴PB＝2．∴+PBPC＝7+2故答案为：7+2．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质．3．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BDCD，已知BD＝CD＝3，则当线段的长度最小时，①BDC＝°②的最小值是；5．【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】以为边向外作等边三角形BDE接CEABDCBECEADD，E三点共线时，有最小值，即可得到的最小值为，此时∠BDC＝°．【解答】解：如图所示，以为边向外作等边三角形BDE，连接CE，∵△BDE，△均为等边三角形，∴BEBD，＝BC，∠ABC＝∠DBE＝°，∴∠ABDCBE，在△ABD和△CBE，∴△ABDCBE（），∴CE＝，∵BEBDDE＝，＝3，∴当CD，E三点共线时，有最小值，∴CEDECD＝﹣3，∴5，此时∠BDC°．故答案为：①°；②．【点评】键是以为边向外作等边三角形BDE，依据全等三角形的性质得出结论．4．（2023春•沈阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点B分别是y轴，x轴正半轴上的点，且＝OB，△是等边三角形，且点C在第二象限，M为∠AOB平分线上的动点，将OMO°得到ON，连接CN，AM，．（1）求证：△AMO≌△CNO；（2A点坐标为（，）；①当AMBM的值最小时，请直接写出点M的坐标；②当AMBMOM的值最小时，求出点M的坐标，并说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】1）先根据旋转的性质得OMON，∠NOA＝°，进而可求得∠AOMCON45OA＝OC，依据“SAS”即可判定△AMO和△CNO全等；（2）首先确定当AMBM为最小时，点A、B在同一条直线上，此时由＝OB4OM平分∠得出点M的中点，进而可求出点M的坐标；（3MNM作ME⊥x轴于点的垂直平分线交x轴于点＝CN转的性质得出△OMNAM+BM+OMCNBM+AM+BMOM是+BM+的值最小，此时点B，，C在同一条直线上，可由∠OMB＝120°，BOM＝°，求出∠OBM＝MFE＝MEaOE＝MF＝BF2a，OBOEEFFB＝4即可求出a的值，从而可求得点M的坐标．【解答】1）证明：∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝°，由旋转的意义可知：∠MON＝°，OMON，∴∠NOA＝∠MON﹣∠AOM＝°﹣°＝°，∵△AOC为等边三角形，∴OAOC，∠COA＝°，∴∠CON＝∠COA﹣∠NOA＝°﹣°＝°，∴∠AOM＝∠CON，在△AMO和△，∴△AMO≌△CNO（）．（2）解：点M的坐标为（2，），理由如下：∵点M为∠AOB平分线上的动点，∴当AMBM为最小时，点、MB在同一条直线上，当点A、、B在同一条直线上时，∵点A的坐标为（，），OAOB，∴OAOB＝，∵OM平分∠AOB，∴点M为为的中点，∴点M的坐标为（，2（3）解：点M的坐标为，理由如下：连接MN，过点M作⊥x轴于点E，作线段BM的垂直平分线交x轴于点F，则BF＝MF，由（）可知：△AMO≌△CNO，∴AM＝CN，由转转的性质可知：OMON，∠MON60∴△OMN为等边三角形，∴OM＝MN，∴AM+BMOM＝CNBMMN，当AM+BMOM的值最小时，就是CNBM+的值为最小，当+BM+的值为最小时，点B，，C在同一条直线上，∴∠OMB＝180°﹣°＝120∵OM平分∠AOB，∴BOM45∴∠OBM＝180°﹣°﹣120°＝°，又MF＝BF，∴∠FMB＝∠OBM＝∴∠＝∠FMB∠OBM＝°，设ME＝，则OE＝，在RtMEF中，ME，∠MFE＝∴MF＝2ME＝a，由勾股定理得：，∴FBFM＝a，∴OBOEEFFB＝4，即：，解得：，∴点M的坐标为．性质等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解两点之间线段最短．52023ABCABC＝D为△ABCAD，过点A作AE⊥E，过点D作DHAB，垂足为H，HD＝BC．（1）求证：AEAD；（2图2GGDHGD＝∠ADHF为FEFEAE证：EFGF＝GD；（K在△GHDKGKHKGHKDH的值．【考点】三角形综合题．【分析】1）根据等腰直角三角形的性质可证得△EAB≌△ADH（），即可推出AEAD；（2DGDNEF，连接，FN与MSAS可证得△AEF≌△ADN，得出∠EAF＝∠DANAFAN，进而可得△AFN是等腰直角三角形，再证得AM平分∠，利用等腰三角形的性质可得AMFN，FM＝MN垂直平分FN，推出GF＝GN，即可证得结论；（GK交HD于DK交GH于KGHD+最小时，∠GKDDKH＝∠GKH＝120°，再运用三角形外角性质即可求得答案．【解答】1）证明：如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝°，ABBC，∵HD＝BC，∴HD＝AB，∵AEAD，∴∠＝90∴∠EAB+BAD＝°，∵DH⊥AB，∴∠＝90∴∠BADHDA＝°，∴∠EAB＝∠HDA，在△EAB和△中，，∴△EAB≌△ADH（），AE＝；（2）证明：如图，在DGDNEF，连接ANFN，与交于，∵DH⊥AB，∴∠＝∠DHG＝°，∴∠HGD∠HDG90∵∠HGD＝∠ADH，∴∠ADHHDG＝°，即∠ADG＝∵FEAE，∴∠AEF90°，∴∠AEF＝∠ADH，在△AEF和△，∴△AEF≌△ADN（∴∠EAF＝∠DANAF＝AN，∵AEAD，∴∠EAD90即∠EANDAN90∴∠EAN∠EAF＝°，即∠90∴△AFN是等腰直角三角形，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝°，∴∠BAC＝∠BCA＝45即∠＝°，∴∠NAM＝°＝∠，∴AM平分∠，∴AM⊥FNFMMN，即垂直平分FN，∴GFGN，∵+＝GD，∴EFGFGD；（3）解：如图3，延长GK交HD于SDK交GH于，∵点KGHD内，KGKH的值最小，∴∠GKD＝∠DKH＝∠GKH120°，∴∠KGH+KHG＝∠HKS＝60°，∠KHD∠＝∠HKT＝∴∠＝∠HKS+HKT＝120°，∵∠KHG+KHD＝∠DHG90∴∠KGH+KHG∠+KDH＝120∴∠KGH+KDH＝120°﹣（∠KHG∠）＝120°﹣90°＝°．等三角形的判定和性质，费马点模型，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．6．（2024•铜梁区校级模拟）已知△ABC中AB＝BC，点D和点E是平面内两点，连接BDDE和BE，∠BED＝90°．（1）如图1＝，∠ABC＝DBE＝，求AC的长度；（和CDF为G为EF和EFBGBAC＝∠DBE；（3ABC＝°，AB＝2的面积．【考点】三角形综合题．【分析】1）过点B作BH交H，证明△AHB≌△BEDAAS）即可求解；（的中点TTETF出△TFE≌△TBG（SSS），再证明△TBE∽△TFG，得出∠EBTGFT，进而即可得证；（3BDC绕点B顺时针转°得到△BDAABD绕点B°得到△BADAA，GFDCGCEE在根据O为圆心，为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当AE取得最大值时，E在的延长线上，连接OFE作ES于点，进而解直角三角形，求得的长，根据三角形面积公式，即可求解．【解答】1）解：如图所示，过点B作BH交AC于点H，∵△ABC中，ABBC，∴∠AHB90°，∠ABC＝2ABH，AC2AH，∵∠BED90°，∠ABC＝2D，∴∠AHB＝∠BED，∠ABHD，又∵BD＝BA，∴△AHBBEDAAS∴AHBE＝，∴AC＝AH4；（2）解：如图所示，取T，连接TE、、TGFG，又∵FG是ADDC，∴，，FGACFTAB，∵ABBC，∴FT＝TG，∵∠BED90°，T为的中点，∴TE＝BT，在△和△TBG中，，∴△TFE≌△TBG（SSS∴∠FTE＝∠GTB，∴∠FTE﹣∠GTE＝∠GTB﹣∠GTE，即∠FTG＝∠ETB，又∵FTTG，TEEB，∴△TBE∽△TFG，∴∠EBT＝∠GFT，∵FGACFTAB，∴∠TFB＝∠BAC，∴∠BACDBE；（3）解：∵△ABC中，ABBC，∠ABC60∴△ABC是等边三角形，如图所示，将△BDC绕点B顺时针转°得到△BD′，将△ABDB顺时针旋转°得到△BAD，连接AA，∴BDBDDBD＝°，AB＝ABABAC，则△DBD是等边三角形，△AAB是等边三角形，∵CDAD，AA'AC，取BD，BA的中点，G，则FG＝AD'＝∵F是的中点，，∴DFBD，，∴，∴当GFDC四点共线时，GC最小，此时如图所示，∴GCBD，∵ADGF，∴AD⊥'D'，∴△AD'B是直角三角形，∴△ABD是直角三角形，∴ADBD，∵∠BDD＝°，∴∠DDA＝°，∴，设＝aAD＝，AD2a，在RtADD'，∵△BDD是等边三角形，∴，在RtABD中，AB＝，222∴＝，∴，解得：∴，，，取的中点O，连接AO，OE，∵∠BED90∴点E在O为圆心，为半径的圆上运动，∴，当取得最大值时，E在的延长线上，连接OF，过点E作ES⊥S，在Rt，∴，∴，∴SE＝∠SOEOE＝∠AODOE＝∴△BDE的面积为，．问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键．7．（2023春•渠县校级期末）如图，D、、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接ADBE、，三条线段两两分别相交于D、、．已知AFBD，∠EDF＝60（1）证明：EFDF；（2图2M是CMCM为边向右作△CMGEGEG＝+EMCM＝GM，∠GMC＝∠GEC，证明：CGCM．（3）如图，在（）的条件下，当点MD重合时，若⊥，GD4，请问在△内部是否存在点PP到△三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】1）可先推出∠CAF＝∠ABD，再证△ACF≌△BAD，即可得出结论；（2上截取ENEMMNEMNNCM≌△EGMCMG是等边三角形，从而问题得证；（3）先求得AD＝，将△DPCD°至△DQG，连接AG，可得△是等边三角形，于是++CPAPPQ+QG，故当、、QG共线时，AP++最小＝AG，最后解斜三角形ADG而求得．【解答】1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴ACAB，∠ACB＝60°，∴∠CAFDAB＝∵∠EDF60∴∠DAB+ABD60∴∠CAF＝∠ABD，∵AFBD，∴△ACF≌△BAD（∴CFAD，∵EFDF，∴EFDF；（2）证明：如图，由（）知，EF＝DF，∠EDF60∴△DEF是等边三角形，∴∠DEF60在上截取ENEMMN，∴CNCEEN＝+EM＝EG，∴△EMN是等边三角形，∴∠CNM＝°，∵∠GMC＝∠GEC，∠＝∠，∴∠NCM＝∠EGM，∵CMGM，∴△NCM≌△EGMSAS），∴∠MEG＝∠CNM60∴∠CEG180°﹣∠MEG﹣∠FED60∴∠GME＝∠GEC＝∵CMGM，∴△CMG是等边三角形，∴CGCM；（3）解：如图3，由（）（）知，△和△是等边三角形，∴∠CFD60CDGD4，∵CDAD，∴∠CDF90∴ADCF＝＝，将△DPC绕点D顺时针旋转°至△DQGAG，∴ADDQCPQG，∴△PDQ是等边三角形，∴PDPQ，∴APPDCP＝++QG，∴当APQG共线时，APPD最小＝AG，作GH⊥于H，在RtDGHGH＝DG＝，DH＝DG＝2，∴AHADDH＝+2＝，∴AG＝＝＝，∴APPD的最小值是．是掌握“费马点”模型及“截长补短”等题型．8.定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1图1，在等腰Rt△ABCBAC=90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC=60°，AC=4√6，求AE+BE+CE=；【尝试应用】（22，等边三角形ABC边长为4√3E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA=75°，AB=6，求三角形AFB“最近值”的平方．【分析】1）△°角直角三角形，可求出DECE的长度，进而得出结果．（2AEF为等边三角形，可得AE+BE+CE=EF+BE+GF，故当BE、G四点共线时，EF+BE+GF最小，进而可得∠AEB=∠AEC=∠BEC=120°，即可求出结果．（3DM⊥AB，可知EF=DM=1/2AB，进而可推出△ABF为等腰直角三角形，结合（2）中的结论，当点P满足：∠APF=BPF=APB