均值不等式及其应用

1、利用均值不等式求最值问题利用均值不等式求最值问题均值不等式：均值不等式：),(2,号取时当且仅当那么如果baabbaRba1. 利用均值不等式求最值结论：利用均值不等式求最值结论：积一定，和有最小值；和一定，积一定，和有最小值；和一定， 积有最大值积有最大值。2. 利用均值不等式求最值的条件：利用均值不等式求最值的条件：一正，二定，三相等一正，二定，三相等。练习：练习：4.已知已知 ,则则 的最大值为的最大值为 ,此时此时x= .10 x)1 (3xx5.若若 ,当当x = 时时, y = x(5 2x)有最大值有最大值 .250 x6.若若x0,则则 最大值为最大值为 ,此时此时x= .22

2、xxy2.若若x0,当当x= 时时,函数函数 有最有最 值值 .xxy943.若若x4,函数函数 当当x= 时时,函数有最函数有最 值是值是 . xxy411.若若x0,当当x= 时时,函数函数 的最小值是的最小值是 .xxy333232小小125大大6432145825422某厂生产化工产品，当年产量在某厂生产化工产品，当年产量在150150吨至吨至250250吨之吨之间时，某年生产总成本间时，某年生产总成本y y（万元）与年产量（万元）与年产量x(x(吨）之间的吨）之间的关系可近似地表示为关系可近似地表示为400030102xxy求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？求年产量为多少吨时，

3、每吨的平均成本最低？解：解：设每吨平均成本为（万元），则设每吨平均成本为（万元），则xy30400010 xxxy304000102xx10当且仅当当且仅当 ,即即 时时,取取“=”号号xx400010200 x故年产量为吨时，每吨的平均成本最低故年产量为吨时，每吨的平均成本最低不等式定理及其重要变形不等式定理及其重要变形：),(222Rbaabba2baab2)2(ba),(Rba（定理）（定理）（推论）（推论）ab例例、已知：、已知：0 0 x x31，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原

4、函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=61时时 y ymaxmax=1213x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x31则则1-3x1-3x0 0；0 0 x x31，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121当且仅当当且仅当 3x=1-3x3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法1 1、已知：、已知：0 0 x x81 ，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值解：解：1210 0 xx811-3

5、x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=313x3x（1-3x1-3x） 2)2313(31xx121maxy如此解答行吗？如此解答行吗？2、若、若x0，求，求 的值域。的值域。xxxf1)(例例2、求、求 的值域。的值域。xxxf1)(解解: :，x时0 xxxf1)(xx122当且仅当当且仅当 ,即即 时时,取取“=”号号xx11xxxxf1)()1(xx0 x时，有时，有0 x)1()(2xx2当且仅当当且仅当 ,即即 时时,取取“=”号号xx11xxxxf1)(的值域为的值域为), 2() 2,(定义域为定义域为0|xx利用奇函数的性质求利用奇函数的性质求x0时的值域时的值域

6、例例、已知正数、已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值错解错解: :221221xyxy即xyyx2221242221211xyyx即即 的最小值为的最小值为yx1124过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：例例3 3、已知正数、已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求yx11的最小值的最小值正解正解1：223当且仅当当且仅当yxxy2即即:xy2时取时取“=”号号122yxxy而

7、222221yx即此时即此时223minyyx11yyxxyx22yxxy23本题小结：本题小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次最值，则要考虑多次“”（或者（或者“”）中取）中取“=”=”成立的诸条件是否相容。成立的诸条件是否相容。1 1、设、设 且且a+ba+b=3,=3,求求a ab b的最小值的最小值_。 Rba,2 2、设则的最大值为、设则的最大值为_。, 12, 0, 022baba21 ba、设、设 满足满足 ，且，且 则则 的

8、最大值是（的最大值是（ ）yx,404 yx0, 0 yxyx lglg A、40 B、10 C、4 D、224423、若，则函数的最小值是、若，则函数的最小值是_。1x11072xxxy（）（）各项或各因式为各项或各因式为正正（）（）和或积为和或积为定值定值（）（）各项或各因式能取得各项或各因式能取得相等的值相等的值，必要时作适当变形，必要时作适当变形，以满足上述前提，即以满足上述前提，即“一正二定三相等一正二定三相等”、二元均值不等式具有将、二元均值不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积式积式”和将和将“积积式式”转转化为化为“和式和式”的的放缩功能放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，

9、创设应用均值不等式的条件，合理拆分项合理拆分项或或配凑因式配凑因式是常是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立使等号能够成立；、应用均值不等式须注意以下三点：、应用均值不等式须注意以下三点：3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。等号的前提条件。思考题思考题: :某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为图是由两个相同的矩形和构成的面积为m m2 2的十字型地域（如图）计划

10、在正方形上建一座的十字型地域（如图）计划在正方形上建一座花坛，造价为元花坛，造价为元m m2 2，在个相同的矩形上（阴影部分），在个相同的矩形上（阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为元铺花岗岩地坪，造价为元m m2 2，再在个空角上铺草坪，再在个空角上铺草坪，造价为元造价为元m m2 2，（）设总造价为元，长为（）设总造价为元，长为X X， 试建立关于试建立关于X X的函数关系式；的函数关系式；（）当（）当X X为何值时最小，并求为何值时最小，并求 出这个最小值。出这个最小值。ECBHDAFGMNPQ解：解：设设长为长为y y（mm）,则则20042 xyx故：故：xxy4200222400000400038000 xx （）解