线性方程组的理论和解法

1、精选优质文档-倾情为你奉上 求线性方程组的方法摘要：线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据处理是很方便简洁的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。 英文题目 The solution of linear&#

2、160;equation Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the rei

3、gns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods,

4、 and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Key words:Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clems law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.正文：1 引言：在对实际问题的思考中，我们免不了要用到我们所学的数学知识来解决身边所遇到的问题，建立线性方程组来求解未知数是我们

5、最常见的一类问题。而事实上我们遇到的实际问题种类不一，形式各不相同。因此，就要要求我们了解和掌握更多更有效的方法来求解线性方程组。2 线性方程组2.1线性方程组的定义2.1.1一般线性方程组 所谓一般线性方程组是指形如 （1.1）的方程组，其中 代表n个未知量，m是该方程组所包含的方程的个数， 称为方程组的系数， 称为常数项。常数项一般写在等式的右边，一个方程组完全由常数项与系数所确定。 2.1.2齐次线性方程组 所谓齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项全为零。即齐次线性方程组是指形如的方程组。 2.1.3 非齐次线性方程组 所谓非齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项不

6、全为零。 2.2线性方程组的解法 2.2.1解齐次线性方程组的基本解法设有齐次线性方程组(为阶矩阵)，及矩阵为齐次线性方程组的系数矩阵)。首先对齐次方程组系数矩阵的秩进行判定；当时，方程组只有零解；当时，方程组有无穷多解，此时方程组有个独立未知量，个独立方程，有个自由未知量，有个线性无关解向量。其次，根据解的性质:i设是齐次方程组的解，则，仍是齐次方程组的解。ii元齐次线性方程组的全体解所构成的集合是一个向量空间，当系数矩阵的秩时，解空间的维数为。iii若是的解，且满足：(i) 线性无关；(ii)任何的解向量均可由线性表出，则向量组称为的基础解系。最后得出的通解：，其中是的基础解系，是任意实数

7、。下面介绍基础解系的求法。对施以行初等变换(必要时重新排列未知量的顺序)可得，对应的齐次线性方程组 与原方程组同解，其中为自由未知量，分别取 为 (共个)得的个线性无关的解。即为基础解系。2.2.2解非齐次线性方程组的基本方法设有非齐次线性方程组及系数矩阵与增广矩阵，首先进行判定当时，方程组无解；当时，方程组有惟一解；当时，方程组有无穷多解。再求出非齐次方程组的一个特解，其导出组的一个解，则仍是非齐次线性方程组的解。根据以上的性质，最后求出非齐次线性方程组的通解，其中是非齐次方程组的一个特解，是其导出组的通解。2.2.3克莱姆法则 定理 如果含有n个方程的n元线性方程组 的系数矩阵 的行列式，

8、那么线性方程组（2）有唯一解：其中是把矩阵中第列换成线性方程组的常数项所成的矩阵的行列式，即此外，还可以叙述为，如果含有n个未知数、n个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式，则线性方程组一定有解，且解是唯一的. 例: 解线性方程组 解 由已知可得系数行列式,因此线性方程组有唯一解.又因故线性方程组的解为.克莱姆法则主要给出了解与系数的明显关系，但只能应用于系数矩阵的行列式不为零的线性方程组，并且它进行计算是不方便的.2.2.4高斯（Gauss）消去法高斯消去法是高斯首次发现并使用的。它的基本思想是：在线性代数方程组中，如果某方程中某未知量的系数非零，则可以利用它消去所有其它方程中该未知量的系数，

9、从而使方程组得到简化。消去法是对线性方程组实行三种变换(统称为线性方程组的初等变换)：对换方程组中某两个方程的位置； 以非零常数乘以方程组中某个方程； 用数乘方程组中某个方程后加到另一个方程上去。定理3： 线性方程组经过初等变换后所得到的新方程组与原方程组同解。为了便于讨论，现将消去法的一般步骤规范如下：设线性代数方程组为(1)利用第一方程第一未知量的非零系数消去其他方程的第一未知量的系数。.不失一般性,设。这是因为如果，可以通过互换两个方程或互换两个未知量的位置，使变换后的第一方程第一未知量的系数非零，即使。.若第一方程第一未知量的系数，则可以通过互换两个方程的位置或第一方程两边同时乘以非零

10、常数，使第一方程第一未知量的系数化为。.第方程加上第一方程的倍，则消去第方程的第一未知量的系数，得同解方程组形如：(2)利用第二方程第二未知量的非零系数消去其它方程的底二未知量的系数。.不失一般性，设。这是因为如果，可以通过互换除第一方程之外的任意两个方程的位置，或互换除第一未知量之外的任意两个未知量的位置，使变换后的第二方程第二未知量的系数非零，即使。.若第二方程第二未知量的系数，则可以通过互换除第一方程之外的任意两个方程或第二方程两边同时乘以非零常数，使第二方程第二未知量的系数化为。.第方程加上第二方程的倍，则消去第方程的第二未知量的系数，使得同解方程形如：依此类推，直到这个过程不能再进行

11、为止。消去的结果是把原线性方程组变换为如下形式同解的方程组，我们称其为最简方程组：(i)第一形式最简方程组此时，方程组有唯一解，即(ii)第二形式最简方程组其中，此时，方程组有无穷多组解。实际上，对于任意常数，均为方程组的解。(iii)第三形式最简方程组其中。或者 其中。此时，方程组中均包含有矛盾方程，因而方程组无解。注：在应用消去法解线性方程组时不必拘泥于上述步骤，可以根据具体情况具体分析的原则灵活运用。2.3.1解的判定方法推论1 线性方程组有唯一解的充分必要条件是= 。推论2 线性方程组有无穷多解的充分必要条件是 。 2.3.2判定方法的应用判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？(1) (2) (3)解：(1) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即A B =因为=4,=3,两者不等，所以方程组无解。(2) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯阵，即A B =因为=2n（= 3），所以方程组有无穷多解。(3) 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即A B =因为= 3 = n，所以方程组有唯一解。3 结束语解线性方程组的方法很多，这里只是介绍了一些常见的方法，把它们整理到了一起，以便于在解线性方程组时选择最合适、最简洁的方法，使解决问题更轻松、更准确。通过对线性方