2022年专项练习题集-不等式恒成立问题

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -20XX 年专项练习题集- 不等式恒成立问题三级学问点：不等式恒成立问题介绍： 不等式恒成立问题以含参不等式“恒成立” 为载体， 镶嵌函数、 方程、不等式等内容，综合性强，才能要求高，为历年高考试题的热点；挑选题1 不等式mx22mx30 对一切 xR 恒成立，就实数m 的取值范畴是（）A3m0B3m0C3m0D3m0【分值】 5【答案】 D【易错点】简单忽视m0 的情形；【考查方向】此题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题；【解题思路】对m 的分类争论， （ 1 ） m0 ，（2 ）当 m0 时，结合二次函数图象，

2、二次函数应当开口向下，判别式小于等于零，列出满意的条件求解【解析】当 m0 时不等式化为30 恒成立；当 m0 时需满意m0，所以3m0 ，0综上可知实数a 的取值范畴是3m0 .2 已知f x2axbx3 ，不等式f x0 的解集是 1,3 ，如对于任意x1,2 ，不精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -等 式 f x m10 恒成立， m 的取值范畴是（）A14,10B ,10C ,14D 14,14【分值】 5【答案】 C【易错点】不

3、会求出a ， b 的值，不会转化恒成立问题；【考查方向】 此题主要考查了函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决【解题思路】 （ 1 ）依据不等式的解集与方程解之间的关系可知2axbx30 的两根为1 ，3 ，从而可求a, b 的值，进而可求fx 的解析式；（ 2 ）要使对于任意x1,2 ，不等式f xm10 恒成立，只需f x102minm 即可，从而可求m 的范畴【解析】不等式f x0 的解集是 1,3 ，所以1 和 3 是方程 axbx30 的两个根，由韦 达 定 理 得 a1,b2 所 以f xx22 x3，

4、所 以f xm10恒 成 立 等 价于x22 x13m 恒成立，由x22x13 x121414 ，所以 m14 选 C3 对任意的实数x ，不等式x3xa0 恒成立，就实数a 的取值范畴是（）A a0B 0a3C a3D a3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【分值】 5【答案】 D【易错点】不会去掉肯定值，函数的最值；【考查方向】此题主要考查了含参数的肯定值不等式的恒成立问题；【解题思路】令f xx3x ，依题意，只需求得f x mi

5、n 即可求得 a 的取值范畴【解析】令f xx3x3, x 2x33, x，就 f x min33 ，所以af xmin3 ，即 a3 ，应选 C.4 如不等式x2tx90 对于任意x0, 都成立，就t 的最大值是（）A 0B -6C6 D 9【分值】 5【答案】 C【易错点】不会将变量t 分别出来；【考查方向】此题主要考查了含参数的二次不等式的恒成立问题以及分类变量法；【解题思路】第一依据不等式将t分别出来，即tx99对任意 xx0, 都成立，即txxmin【 解 析 】 不 等 式 x2tx90 对 于 任 意 x 0,都 成 立 等 价 于 tx9对 任 意x精选名师 优秀名师 - -

6、- - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -99x0, 都成立由于x2x6 ，所以只需t6 即可故C 正确xx5 如关于 x 的不等式x2a2x12a0 对任意的 a2,2均成立，就x 的取值范围是（）A,13,B ,55,C ,53,D 5,3【分值】 5【答案】 C【易错点】不知道讲原不等式转化为关于a 的一次函数；【考查方向】 此题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决2【解题思路】可将a 视作自变量，就上述问题即可转化为在-2 ，

7、2 内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题.解：原不等式转化为ax2x2x10 在 a2,2时恒成立 ,设 f aa x2x22x1 ,就f a 在-2,2 上恒大于 0 ，故有：f 20x2即4x30x解得：3或x1f 20x250x5或x5所以 x3或x5 ，应选 C.精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -填空6 如函数f xsin xa cos x3 的图象始终在直线y1 的上方，就a的取值范畴是 【分值】 5【答案】 3,3【

8、易错点】 不会利用帮助角公式对f xsinxa cos x3 进行变形， 不会将f x 在 y1的上方转化成f x1 恒成立；【考查方向】三角恒等变换和不等式恒成立问题；【解题思路】问题转化为f x1 恒成立，利用三角恒等变形以及三角函数的最值建立不等式，求出a的范畴；【解析】由f x 的图象始终在y1 的上方，即f x1 恒成立，f xsin xa cosx3a21sin x31，即a21sin x2 恒成立，即 sin x2a 21恒成立，所以12a 21，解得3a3 7 如关于 x 的不等式 x2mxm1恒成立，就实数m 【分值】 5【答案】 2【易错点】判别式简单简单显现0 ；【考查方

9、向】二次不等式恒成立问题；【解题思路】将不等式右边项移到左边，利用判别式0 ，求出 m 的值 .精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -【 解 析 】 原 不 等 式 可 变 为 x2mxm10 ，0 ，m24 m10 ，2m20 ，m2 .8 已知 a1 ，如关于x 不等式log a x1 在区间0, 2 上恒成立，就实数a 的取值范畴x是【分值】 5【答案】4,【易错点】不会转化原不等式，不会利用数形结合处理此题；【考查方向】 此题主要考

10、查了反比例函数及其单调性、不等式恒成立问题，同时考查了数形结合的思想；【解题思路】由题意可转化为不等式1log a x1 在区间0,2上恒成立，由图象可知，在区x间0,2上，函数y的图象在函数yxlogaax 的图象的上方，从而可得解1【解析】依题意log a x1，就必有就必有xlog a 21 ，解得 a24 ，所以实数a 的取值范畴4,综合题精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -9 已知函数f x1 ax3x231 xR其中 a0 ，

11、如在区间1, 2 上， f 2x0 恒成立，求 a 的取值范畴【分值】 623【答案】3a18【易错点】导数的运算与分类争论；【考查方向】导数与不等式恒成立问题；【解题思路】 对f x1 ax3x231 进行求导， 判定利用导数求出f x1 ax3x21 的 3极值点，利用极值点与端点值的函数值大于0 ，解不等式，得到a 的取值范畴；【解析】f xax 22 xax x2 ，由于 a a0 ，所以 20 ，对 a 进行争论：a（1 ）如 0a1 ， 22 ，于是当1 ax0 时，f ' x0 ；当 0x2 时，f ' x0 ；f 1 0a由2，即2a189，由 0a1 ，故无解

12、；f 08a（2 ）如 a 21， 22 ，于是当1 a'x0 时，f ' x0；当 0x2 时 ， f ' x0 ，a当x2 时，af x0；1f 0由2，即f 20a182a4 ，解得323a318 ；23综合（ 1）（ 2 ）得3a18 ；10 已知不等式ax23xa10 对于全部的实数x 不等式恒成立，求a 的取值范畴 .【分值】 6精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -15【答案】 a2【易错点】争论时简单忽视a0 的情形；【考查方向】此题主要考查了一元二次不等式恒成立问题；【解题思路】当a0 时，经检验不满意条件；解得 a0