演绎归纳、类比

1、演绎、归纳、类比刘伟 邸贺璇什么是推理 推理是从一个或几个已知判断得到一个新的判断的思维形式。每一个推理都是由前提和结论两部分组成，用来得出新判断的已知判断就是推理的前提，得出的新判断就是推理的结论。 推理的种类很多，按推理所表现出来的思维的方向性，可分为演绎推理、归纳推理、类比推理，每一种推理都对应着一种推理方法，他们构成了分析、论证数学问题的基本工具。什么是数学推理 推理有内容和形式两个方面，内容指前提和结论的真假性问题，形式指推理的结构形式问题。通常的形式逻辑只研究推理的形式部分，不涉及推理的内容。数学推理则二者兼顾，不仅要求前提内容真实，而且推理必须合乎逻辑，即推理必须遵循正确的推理形

2、式。 数学推理方法按形式可分为演绎法、归纳法和类比法；按推得结论的可信性，又可分为归属必真推理和似真推理两大类。 关于推理的详细介绍可以参考钱佩玲编著的中学数学思想方法。什么是演绎 演绎法即推理演绎，是运用逻辑推理进行求解与论证的思维方法。只要推理是形式是正确有效的，总能由真实的前提得到真实的结论，是一种严格的推理方法，所以演绎推理可为数学问题提供严谨的逻辑证明，也可以用它来揭示事物间的内在联系。是从一般到特殊或个别的推理方式。 演绎法是证明方法，只要前提正确，那么获得的结论一定正确. 演绎推理分为直接推理和间接推理。直接推理是只有一个前提的推理，间接推理是有两个或两个以上前提的推理。 直接推

3、理主要包括换质法、换位法和换质位法三种。 间接推理种类很多，有三段论、关系推理、联言推理、选言推理、假言推理。这里只介绍三段论。 所谓三段论推理，就是从某类事物的全称判断（大前提）和一个特称判断（小前提）得出一个新的、较小的全称或特称判断（结论）的推理。它的结本结构是： 大前提 M是（或不是）P 小前提 S是（或不是）M 结论 S是（或不是）P其中，P称为大项，M称为中项，S称为小项，中项是媒介，在结论中消失。 三段论的依据是下面这个不证自明的公理，也称为三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物中的部分也是什么或不是什么。演绎的作用 1 判断一个数学命题的真实性。一个命题是否正

4、确，必须经过证明后方能确认，而证明是根据一些命题的真实性，并有一系列演绎推理构成的思维过程。 在数学发现的活动中，提出的猜想是否成立，还必须运用演绎的方法来验证或寻找反例加以否定 2 建立数学知识体系。人们要把发现的数学知识整理成理论体系，必须运用演绎的方法，即从少量的概念（原始概念）、命题（公理）出发，进行推理论证，建立、展开整个理论体系。由此可见，演绎在数学思维中占有主导地位，它几乎渗透于每一个思维过程之中，使得数学具有了高度的严谨性和结论的确定性。 例 利用二项式定理证明 NoImage 什么是归纳 归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的推理方法，即从两个或几个单称判断或特称判断（前题）

5、得出一个新的全称判断（结论）的推理。 归纳是指由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法。 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。 完全归纳法是指通过考察一类事物的全体对象，肯定它们具有某一属性，从而做出这类事物都有这一属性的一般性结论的归纳推理方法。 不完全归纳法亦称部完全归纳推理，是指根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而做出该类事物都具有这一属性的一般结论的归纳推理。 在数学中，常进行两种不同内容的归纳。例：1、计算2、3、已知数列 ，其中 ，数列 是 中的那些3的倍数由小到大排列而成的数列。（1）试用k 表示 ，（2）求 的前 项之和 。nn

6、2221112 ,12xxxf ,求xfff naninia1 nb nakkbb212,nbm2mS2例12 试研究平面上N条直线至多把平面分成多少块？ 解：“至多”，任意三条直线不交于一点，且任两条直线不平行。 设f（n）为n条直线分割平面的最大块数，则有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，观察可知，f（2）=f（1）+2； f（3）=f（2）+3；猜想有 f（n）=f（n-1）+n =f（n-2）+（n-1）+n= =f（1）+2+3+n=最后可用数学归纳法证之。222nn归纳在数学学习中的作用、意义和局限 归纳在数学学习中的作用和意义首先在于整理由观察、实验得到的经验材料，是一种

7、进行比较、分析、抽象概括的基础。 其次，归纳是数学发现与创新的一种方法，它从经验材料推断普遍特性，所以，它有发现新知识和探索真理的作用。 此外，在解题中，归纳法也是探索发现解决问题的常用方法。 诚然，归纳法在中学学习中比较符合学生的认知特点，尤其是有些公式和定理，由于受学生知识结构的限制，只能让学生暂时接受其真实性，用归纳法给出而不加证明，但是，必须防止由此引出的弊端，是学生误认为归纳出的结果就可信为真，造成逻辑上的混乱。为此，一方面要让学生认识归纳既有一定的逻辑依据，又不具有充分的逻辑依据的特点，因此对归纳所得的结论必须证明才可以信以为真；另一方面有要向学生说明，哪些结论是应该证明，也可以证

8、明，知识目前受知识结构的限制，暂时不能证明的。 虽然归纳法有发现新知识、探索真理的作用，能概括、解释新的数学事实，扩展认识成果，形成一般新的一般原理，但是发现过程并不是通过纯粹的归纳来实现的，还必须有相应的知识基础和联想。 我珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的 -开普勒 每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进 -康德1、类比法的含义类比法的含义 类比法是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出在其他属性上也相同或相似的推理方法，也称为类比或类比推理。 从某种意义上讲，类比是一种相似，两个系统可以作类比

9、，如果它们各自的部分之间，在其可以清楚定义的一些关系上一致的话。也就是说，相似对象彼此在某些方面带来一致性。 例：空间四面体与平面上的三角形。 四面体是有空间中最少数目的平面围成的有限几何体，三角形是有平面上最少数目的直线围成的有限图形。四面体在空间的位置与三角形在平面的位置是一致的，或者说在这一点上是相似的，它们具有类比关系。 类比的基础是事物之间的相似性或某种一致性。只要两个对象有某个方面的相似性，就可以类比，包括形式上的相似，结构上的相似，内容上的相似，地位上的相似等等。2、类比法的推理模式为：类比法的推理模式为： 类比往往应用于从一个对象（类比物）的“属性”（类比项）推测另一个对象的“

10、属性” A具有性质F1，F2，.,Fn,P B具有性质F1，F2，.,Fn. B具有性质P 一般地，两个对象的已知共同相似属性越多，由此推出结论的可靠性就越大。3、在数学中常见的类比在数学中常见的类比（1）个别与一般个别与一般例1： 整数整数 加、减、乘带余除法算术基本定理 多项式多项式 加、减、乘 带余除法 代数基本定理思考:以直角三角形为对应边，所作出的其他各种相似图形，是不是也具有（2）低维与高维）低维与高维例1：（维维阿尼定理）正三角形内任一点到三边距离之和为一定值。类比：正四面体内任一点到其四个面的距离之和为一定值。（3）有限与无限）有限与无限例1：求和4、类比的危险类比的危险有限与

11、无限的类比，埋伏着许多危险陷阱。例：5、类比的作用类比的作用（1）类比有助于发现。尽管类比不能作为严格的推理方法，但是它在数学科学研究中，根据事物间的相似点提出假设和猜想，把已知事物的性质推广到类似事物等方面上有重大作用。（2）类比是学习知识、系统地掌握知识和巩固知识的有效方法。类比的客观基础是事物系统之间各要素的普遍联系以及这些联系之间存在的相似性和可比较性。所以利用原有认知结构，借助类比，可以有效的学习新知、掌握新知，对已有知识进一步作恰当类比，又可以将这些知识有机地系统起来。（3）类比在解题中具有启迪思维的作用.6、类比与归纳、演绎的关系 类比与归纳的关系十分密切，二者既有联系又有区别。

12、 从逻辑观点看，它们都是合情推理，都具有创造潜能，而且在探索与发现的真理过程中，类比常与归纳综合运用。当通过类比对已有的结果加以推广时，所从事的常常就是归纳的工作。 类比与归纳在意义上差别很大，是两种不同的探索式思维。类比法的推理是从特殊到特殊，它是归纳法和演绎法的中间状态。演绎法只要前提正确，推出的结论就一定正确，但是演绎法推出的结论并没有超出前提的范围，不会得出新的一般原理；归纳法推出的结论不一定可靠，但是归纳法可以从许多事实中概括出新的一般原理，它是富于创造性的方法；而类比法推出的结论其可靠程度最差，但却是最富有创造性的方法。小结 注意：类比法不是证明方法，它是一种似注意：类比法不是证明方法，它是一种似真推理，类比得到的结论或猜想不一定可真推理，类比得到的结论或猜想不一定可靠。靠。 类比既是一种逻辑推理方法，又是一种科学研究方法。它是人们思考和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。如飞机的发明、潜艇的发明、叩诊法、薄壳建筑等。 在中学教学中教师应当鼓励学生观察、联想。 参考文献：1 波利亚.数学与猜想（第一卷）M. 科技出版社,1984.2钱珮玲，邵光华. 数学思想方法与中学数学 M. 北京：北京师范大学出版社,