2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论学案新人教B版必修2

1、11. 2.1平面的基本性质与推论【学习目标】1.1.理解平面的基本性质与推论， 能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题.2.2.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质3 3 理解异面直线的概念.ET问题导学-知识点一平面的基本性质与推论思考 1 1 直线l与平面a有且仅有一个公共点P直线I是否在平面a内？有两个公共点呢？思考 2 2 观察图中的三脚架，你能得出什么结论?思考 3 3 观察正方体ABCABCD（如图所示），平面ABCDf平面BCC有且只有两个公共点B、C吗？梳理（1 1）平面的基本性质平面内容作用图形基本性质 1 1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线

2、上的所有点判断直线是否在平面内的依据/2都在这个平面内（即直线在或经过直线）基本性质 2 2经过不在同一条直线上的，有且只有一个 平面（即 确定一 个平面）确定平面及两个平面重合的依据/rl基本性质 3 3如果不重合的两个平面有公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线判断两平面相 交，线共点，点 共线的依据（2 2）平面基本性质的推论推论 1 1 经过一条直线和直线外的一点， _平面.推论 2 2:经过两条 _ 直线，有且只有一个平面.推论 3 3:经过两条 _ 直线，有且只有一个平面.知识点二 点、直线、平面之间的关系及表示思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面

3、的位置关系，如何用 符号来表示？直线和平面呢？梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及表示文字语言付号语言图形语言A在1上AlA在1夕卜A? ?l AIA在a内A a/ .沖/A在a外A? ?a/7l在a内1? ?al在a外l? ?ai、/載人3I,m相交于AInm= AI-前I,a相交于AIn a =A1A*八乂a,3相交于1a n 3 =I5*知识点三共面与异面直线反思与感悟 (1)(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的

4、区别.跟踪训练 1 1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图思考如图，直线AB与平面a相交于点B,点A在a外，那么直线I与直线AB能不能在同一个平面内？为什么？直线I与直线AB的位置关系是怎样的?梳理共面与异面直线(1)(1) 共面1概念：空间中的几个点或几条直线，都在 _ 内.2特征：共面的直线 _或者_ .(2)(2) 异面直线1概念：既不_又不_ 的直线.2判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内 _题型探究-的 直 线 是 异 面 直类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例 i i 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.(

5、1)4形：AC a ,B? ?a；(2)(2)l? ?a,mA a=A,A? ?l; (3)(3)平面ABDT平面BDC= BD,平面AB平面AD&AC类型二平面的基本性质的应用 命题角度 1 1 点、线共面问题 例 2 2 如图，已知：a? ?a，b? ?a，aAb=A, PCb,PQ/ a,求证：PC? ?a. .引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)(1) 纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)(2) 重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个

6、平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知：如图所示，l1AI2=A, l2Al3=B, l1Al3=C.求证：直线l1，l2，l3在同 一平面内.命题角度 2 2 点共线与线共点问题 例 3 3 如图所示，在正方体ABCBABGD中，E为AB的中点，F为AA的中点.求证：CE5DF,DA三线交于一点.反思与感悟(1)(1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质3 3,即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直 线，然后证明其他点也在其上.(2)(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线， 然

7、后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线， 证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练 3 3 已知ABC在平面a夕卜，其三边所在的直线满足ABAa=P,BCTla=Q, ACTla=R,如图所示求证：P, Q R三点共线.类型三异面直线的判定例 4 4 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明.DC M/2 A8X?反思与感悟判定两条直线是异面直线的方法NC DE AF BM这四条线6（1 1）证明两条直线既不平行又不相交.（2 2）重要结论：连接平面内一点

8、与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A? ?a,Ba,l? ?a,B? ?l? ?AB与I是异面直线（如图）.跟踪训练 4 4 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是A A.异面D.D.以上都有可能甌当堂训练A A.ABD. B1C1B.B.平行C.C.相交1 1 .若A平面a,B平面a,C直线AB则（）A A.C aB.B.C? ?aC. AB? ?aD. ABAa =C2 2 .平行六面体ABCA1B1C1D中，既与AB共面也与CC共面的棱的条数为（）A A. 3 3B.B. 4 4C.C. 5 5D.D. 6 63 3.如图所示，在长方体A

9、BCD- ABCD中，与AA异面的是（刁./ 1C. DD4 4 .线段AB在平面内，则直线AB与平面a的位置关系是5 5.如图，已E分别是ABC的边AC BC上的点，平面a经过D, E两点，若直线AB与平面a的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是B. BB7规律与方法81 1解决立体几何问题首先应过好三大语言关， 即实现这三种语言的相互转换， 正确理解集合 符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语 言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代 表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2 2在处理点线共面、 三点共线及三线

10、共点问题时初步体会三个公理的作用， 突出先部分再整 体的思想3 3异面直线是既不平行也不相交的直线9合案精析问题导学知识点一思考 1 1 前者不在，后者在.思考 2 2 不共线的三点可以确定一个平面.思考 3 3 不是，平面ABCDf平面BCCB相交于直线BC梳理(1)(1)两点平面内平面三点不共线的三点一个(2)(2)有且只有一个相交平行知识点二思考 点和直线、平面的位置关系可用数字符号“ ”或“？”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“ ？ ”或“？”表示.知识点三思考 不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内，点A就在a内，这与点A在a外矛盾由图知，直线I与直线AB没有公共点，所

11、以它们不相交，直线l与直线AB不可能 平行，否则它们就会同在平面a内，所以直线I与直线AB既不相交也不平行.梳理(1)(1)同一平面 相交平行(2)(2)平行相交不经过交点题型探究例 1 1 解 在(1)(1)中，aQB=I,an a =A,aQB=B在中，a n 3=I,a? ?a,b? ?3,anI=P,bnI=p.跟踪训练 1 1 解(1)(1)点A在平面a内，点B不在平面a内，如图.直线I在平面a内，直线m与平面a相交于点A,且点A不在直线I上，如图.平面ABD与平面BDC相交于BD平面ABC与平面ADC相交于AC如图.例 2 2 解 因为PQ/ a，所以PQ与a确定一个平面3. .所

12、以直线a? ?3，点P3. .因为Pb, b? ?a，所以Pa. .又因为a? ?a，所以a与3重合，所以PQa. .引申探究解已知：a/b/c，Ina=A，Inb=B, Inc=C求证：a，b，c和I共面.10证明：如图，a/b, a与b确定一个平面a.lAa=A lClb=B,.A a ,B a .又Al,Bl, l? ?a. b/c,.b与c确定一个平面3,同理I? ?3. .平面a与3都包含I和b,且bAl=B,由推论 2 2 知：经过两条相交直线有且只有一个平面， 平面a与平面3重合，二a,b, c和I共面. 跟踪训练 2 2 证明方法一（纳入平面法）/llAl2=A,.I1和I2确

13、定一个平面a. .TI2Al3=B,.B12. .又T l2? ?a,Ba. .同理可证Ca. .TB13,Cl3,l3? ?a. . 直线l1,l2,l3在同一平面内.方法二（辅助平面法）TliAl2=A,.I1和l2确定一个平面a. .Tl2AI3=B,.I2,I3确定一个平面3. .TA12,I2? ?a , A a. .TA12,I2? ?3 , A 3. .同理可证Ba,B3,Ca,C3. .不共线的三个点A, B, C既在平面a内，又在平面3内.平面a和3重合，即直线I1,丨2,I3在同一平面内.TE为AB的中点，F为AA的中点,EF綊*AB.又AB綊DC,1 111 EF綊 2

14、2DC, E,F,D,C四点共面，DF与CE相交，设交点为P.又DF? ?平面ADDACE?平面ABCDP为平面ADDA与平面ABC啲公共点.又平面ADDAP平面ABCD= DA根据基本性质 3 3,可得PDA即CE DF、DA相交于一点.跟踪训练 3 3 证明 方法一 /ABAa=P,PAB P 平面a. .又AB? ?平面ABC - P平面ABC由基本性质 3 3 可知：点P在平面ABC与平面a的交线上，同理可证Q R也在平面ABC与平面a的交线上.P、Q R三点共线.方法二 /APA AR= A,直线AP与直线AR确定平面APR又ABHa=P, ACA a=R,平面APRA平面a=PR / B 平面APR C 平面APRBC? ?平面APR Q BCQ平面APR又Qa,Q PRP、Q R三点共线.例 4 4 解 将展开图还原为正方体（如图）.NC与DE NC与AF, NC与BM DE与AF,DE与BM AF与BM都是异面直线，共有 6 6 对.以NC与AF是异面直线为例证明如下: 方法一连接BE若NC/ AF,则由NC/ BE可知AF/BE这与AF与BE相交矛盾.故NC与AF不平行.12若NC与AF相交，则平面ABFE与平面CDNM有公共点，这与正方体的性质矛盾故NC与AF不相交.所以NC与A