应用统计学第12章

1、1 本章教学目标：本章教学目标：l了解回归分析在经济与管理中的广泛应用；l掌握回归分析的基本概念、基本原理及其分析应用的基本步骤；l熟练掌握使用软件求解回归方程及其运行输出结果的分析与使用；l能应用回归分析方法解决实际问题（分析各种变量间的关系，进行预测和控制） 第第12章章 多元线性回归多元线性回归2 本章主要内容：本章主要内容：12.1 多元线性回归的数学模型12.2 参数的最小二乘估计12.3 多元回归模型的显著性检验12.4 预测与控制 本章内容重点：本章内容重点： 回归方程和回归系数的显著性检验；多元线性回归及其预测和控制；软件的求解分析。 3 在许多实际问题中，对某一变量 Y 有重

2、要影响的解释变量不止一个，此时就需要研究一个随机变量 Y 与多个普通变量 X1, X2, , XP 之间的回归关系，这就是多元回归问题。 多元线性回归分析的原理与一元线性回归是类似的。 12.1 多元线性回归的数学模型多元线性回归的数学模型4设被解释变量 Y 与 P 个解释变量 X1, X2, , XP 之间存在线性相关关系。 则 Y 与 X1, X2, , XP 之间的多元线性回归模型为：Y= 0 + 1 X1 + 2 X2 + + P XP + (12.4-1)设第 i 次试验数据为 (xi1, xi2 , xip, yi )， 则多元线性回归有如下数据结构：yi = 0 + 1 xi1

3、+ 2 xi2 + + p xip + i (12.4-2) i N(0, 2 )，且相互独立 i = 1, 2, , N 一一. 多元线性回归的数学模型多元线性回归的数学模型5设P , , ,10TP , ,)(10PPXXXY22110 在多元线性回归中，同样使用最小二乘法进行参数估计。则多元线性回归方程为为参数 0, 1, , P 的最小二乘估计， 同样称为回归方程的回归系数。 二二. 参数参数 的最小二乘估计的最小二乘估计62)(yySiT如果变量 Y 与 X1, X2, , Xp 之间并无线性关系，则模型(12.4-1)式中各一次项系数应全为零。 因此要检验的原假设为H0：1 = 2

4、 = = p = 0为构造检验 H0 的统计量，同样需要对总的偏差平方和 ST 作如下分解： = SE + SR同样称 SR 为回归平方和，SE 为剩余平方和。 22) ()(yyyyiii三回归方程的显著性检验三回归方程的显著性检验7检验检验 H0 的统计量的统计量可以证明，当 H0 为真时，统计量) 1(PN/S/PSFERF( P, N-P-1)检验过程同样可以列成一张方差分析表。多元回归方差分析表的格式与一元回归完全相同。 8在多元回归中，回归方程显著的结论仅表明模型中各 j 不全为零，但并不说明它们全不为零。也即并不能保证每个解释变量都对 Y 有重要影响。如果模型中含有对 Y 无显著

5、影响的变量，就会降低回归方程的预测精度和稳定性。因此，需要从回归方程中剔除对 Y 无显著影响的变量，重新建立更为简单的回归方程。如果某个变量 Xk 对 Y 的作用不显著，则模型中 k 就可以为零。故要检验的原假设为 H0k：k = 0，k = 1, 2, , P四四. 回归系数的显著性检验回归系数的显著性检验9 记 tk 为检验 H0k 的统计量，则当 H0k为真时，统计量 tk t (N-P-1)，k = 1, 2, P 因此，在给定水平 下，若 tk t(N-P-1)就拒绝 H0k，说明 Xk 的作用显著。 反之，则说明 Xk 的作用不显著。 102. 存在不显著变量后的处理存在不显著变量

6、后的处理若经检验，Xk 的作用不显著，则应从模型中剔除Xk，并重新求解 Y 对余下的 P-1 个变量的回归方程。若检验中同时存在多个不显著的变量，则每次只能剔除一个显著性水平最低的变量，重新求解新的回归方程。再对新的回归系数进行检验，直至所有变量都显著为止。当模型中解释变量很多时，通常会存在较多的不显著变量，以上步骤就非常繁琐。更为有效的方法是采用“逐步回归”来求解多元线性回归方程。 11逐步回归的基本思想是： 采用一定的评价标准，将解释变量一个一个地逐步引入回归方程。每引进一个新变量后，都对方程中的所有变量进行显著性检验，并剔除不显著的变量，被剔除的变量以后就不再进入回归方程。 采用逐步回归

7、方法最终所得到的回归方程与前述方法的结果是一样的，但计算量要少得多。 在 SPSS 软件的线性回归功能中就提供了逐步回归的可选项。 逐步回归方法简介逐步回归方法简介12 家电商品的需求量 Y 与其价格 X1 及居民家庭平均收入 X2 有关。 下表给出了某市 10 年中某家电商品需求量与价格和家庭年平均收入水平间的数据。需 求 量 (万 台 ) 3.0 5.0 6.5 7.0 8.5 7.5 10 9.0 11 12.5 价 格 (千 元 ) 4.0 4.5 3.5 3.0 3.0 3.5 2.5 3.0 2.5 2.0 收 入 (千 元 ) 6.0 6.8 8.0 10 16 20 22 24

8、 26 28 求该商品年需求量 Y 关于价格 X1和家庭年平均收入 X2 的回归方程。 【案例【案例3 3】需求量与价格及收入间的关系】需求量与价格及收入间的关系13 由方差分析表，Significance F = 0.0001，因而回归方程极高度显著。 对回归系数的显著性检验结果为： X1 的P-value = 0.0268，X2 的 P-value = 0.0262都是一般显著。 此外还得到回归方程的标准误差：用 Excel 求解案例 3，可得回归方程如下：210.16951.90311.167XXY8618. 01)P/(NSE该值在求预测区间和控制范围时要用到。 案例案例 3 3 分析

9、分析14 预计下一年度该商品的价格水平为1800元，家庭年平均收入为30000元，希望预测该商品下一年的需求量。 假定下一年度居民家庭年平均收入估计在30000-31000元之间。 若要以90%的概率使该商品的年需求量不低于12万台，则应将价格控制在什么范围内？ 案例案例3 3 需要进一步分析的问题需要进一步分析的问题15 1. 预测预测 在给定解释变量的一组取值 ( x01, x02 , x0P )，由回归方程可得回归值PPxxxy002201100) (00d yd, y) 1() 1(2/PN/SPNtdE 它是 Y0 = 0 + 1X01 + 2X02 + + pX0p+ 0 的一个点

10、估计。 可以证明，Y0 的置信度为 1- 的预测区间为五五. . 预测和控制预测和控制 16 预计下一年度该商品的价格水平为1800元，家庭年平均收入为30000元，求该商品年需求量的置信度为90%的预测区间。解解：由所得回归方程，可求得 301695. 08 . 1903. 1167.110y 该商品在该市下一年的年需求量的置信度为90%的预测区间为案例案例3 3的预测分析的预测分析83.12) 1() 1(2/PN/SPNtdE= t0.05(7)0.8618 = 1.63) (00d yd, y= (11.20万台，14.46万台) 172. 2. 控制控制在多元回归情况下， 由于解释变

11、量有多个，若控制问题的提法是：当要求以 1- 的概率将 Y 控制在某一给定范围内，问应将各解释变量控制在什么范围内？显然此问题可以有无穷多个解。因此多元回归控制问题的一般提法是：若要将 Y 控制在某给定范围内，在给定其中 P-1 个解释变量的取值范围时， 应将另一个解释变量控制在什么范围之内？多元回归的控制分析方法与一元回归是完全类似的。 18 假定下一年度居民家庭的年平均收入估计在30000-31000元之间，若要以90概率使该商品在的年需求量不低于12万台，问应将价格控制在什么范围内？。解解：此问题仍是单测控制问题，即要控制 X1 的取值范围，使90. 012dyP) 1/() 1(PNS

12、PNtdE其中案例案例3 3的控制要求分析的控制要求分析= t0.1(7)0.8618 = 1.2194 19 可解得：x1 1211.167 - 1.903x1 + 0.169531 - 1.2194 12案例案例3 3的控制要求分析的控制要求分析( (续续) )20 根据我国自 1975 年到 1986 年 12 年间上述各项经济指标数据，建立计划经济时期影响我国钢材产量最合适的回归模型。 【案例【案例4 4】宏观经济模型】宏观经济模型在计划经济时期， 我国钢材产量 Y 主要与以下因素有关：原油产量 X1， 生铁产量 X2，原煤产量 X3，电力产量 X4，固定资产投资 X5，国民收入消费额 X6，铁路运输能力 X7。21 即在计划经济时期，我国钢材产量主要受原油产量X1，生铁产量 X2，电力产量 X4的影响。其中原油产量与钢材产量之间是负相关的，这主要是因当时资金有限的原故。 如