二静电场的保守性环路定理

1、二静电场的保守性环路定理第一页，共24页。barrqq11400qrarbrbEadlF0qrdrrdr 在在 q 的电场中将检验电荷的电场中将检验电荷 q0 从从 a 点移动到点移动到 b 点，电场力作点，电场力作功为：功为： badrrqqdAArrba 4200电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。2. .任意带电体系的场任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理电体，可看成是由无数电荷元组成，由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移

2、动单位电荷的功）为：可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）为：drrqqdA2004第二页，共24页。bal dEbanbabal dEl dEl dE21任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了的位置的位置,而与路径无关。这一特性而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性叫做静电场的保守性。结论：结论：电场力为保守力，静电场为保守场。电场力为保守力，静电场为保守场。2.2.静电场的环路定理静电场的环路定理静电场的保守性还可表述为：静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿任意在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。闭合路径的线积分

3、等于零。这称为静电场的环路定理这称为静电场的环路定理或环流定理。或环流定理。Ll dE0运动电荷的场不是保守场，运动电荷的场不是保守场，而是而是非保守场，将在磁场部分讨论。非保守场，将在磁场部分讨论。banl dEEE)(21baA第三页，共24页。1.1.电势能电势能电场力是保守力，可引入势能的概念。电场力是保守力，可引入势能的概念。静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。 设在静电场中，将检验电荷设在静电场中，将检验电荷 q0 从从 a 点沿任意路径移点沿任意路径移动到动到 b 点，电场力作功为点，电场力作功为A Aabab。因为保守力所作的功等

4、于势能增量的负值。因为保守力所作的功等于势能增量的负值。 电荷电荷 q0 在静电场中从在静电场中从 a 点沿任意路径移动到点沿任意路径移动到 b 点点时，电场力所作的作功时，电场力所作的作功A Aabab与这两点电势能与这两点电势能E Ea a、E Eb b的关的关系为系为: :pabEA)(papbEEpbpaEEbabaabl dEql dFA00qEab第四页，共24页。 电势能也是一个相对的量，必须选择一个电势能也是一个相对的量，必须选择一个零势能点作为参考。零势能点作为参考。bapbpal dEqEE0式中：式中：E Epapa、E Epbpb是电荷是电荷q q0 0分别在分别在a

5、a点和点和b b点时点时,q,q0 0与电场所组与电场所组成的系统的静电势能。成的系统的静电势能。令令, 0pbE即选定即选定b b点为电势能零点。点为电势能零点。电荷电荷q q0 0在此系统的电场中在此系统的电场中a a点的的电势能为：点的的电势能为：势能零点apal dEqE0意义：电荷在静电场中某点的电势能等于意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该点沿将此电荷由该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功。babaabl dEql dFA0pbpaabEEA0qEab第五页，共24页。, 0pE电荷电荷q q0 0在此系统的电场

6、中在此系统的电场中a a点的的电势能为：点的的电势能为：apal dEqE0意义：电荷意义：电荷q q0 0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由该点在静电场中某点的电势能等于将该电荷由该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。强调：强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。即：即：2.2.电势与电势差电势与电势差势能零点apal dEqE0两边同除以两边同除以q q0 0，得：，得：将将势能零点apal dEqE0这一比值与这一比值与q0的值无关，仅取决于的值无关，仅取决于电场的性质及场点的位

7、置。电场的性质及场点的位置。对有限带电体，通常规定无穷远对有限带电体，通常规定无穷远处为电势能零点。处为电势能零点。势能零点apal dEqE0第六页，共24页。定义电势：定义电势：零点apaal dEqEU0意义：意义：把单位正电荷从场点把单位正电荷从场点a a经过任意路径移到零电势参考点经过任意路径移到零电势参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a a点所具有的电势能。点所具有的电势能。电势差：静电场中两点电势值的差。电势差：静电场中两点电势值的差。0qEEUUUpbpabaabbal dE意义：意义：把单位正电荷从把单位正电荷从a a点沿任意路径移

8、到点沿任意路径移到b b点时电场点时电场力所作的功。力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位为：焦耳单位为：焦耳/库仑（记作库仑（记作J/C），也称为伏特（），也称为伏特（V），即），即1V1J/C。0qAab第七页，共24页。1. .电势是标量，只有正负之分。电势是标量，只有正负之分。2. . 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确定电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差的值的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。具有绝对的意义，与

9、零点的选择无关。对有限带电体一般选无穷远为电势零点。对有限带电体一般选无穷远为电势零点。注意几点：注意几点：3. . 电势零点的选择：电势零点的选择：在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。对对无限带电体无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电势不宜选无穷远为电势零点。此时只有电势的相对值（即电势差）有意义。的相对值（即电势差）有意义。4. .电势能与电势的区别：电势能与电势的区别：EP 可正可负，取决于可正可负，取决于 q 和和 q0 ； U只取决于场源电荷只取决于场源电荷 q 。第八页，共24页。 当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场

10、中移当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：动时电场力所做的功：baabl dEqA0例、例、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产生的用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产生的电场中的电势分布。电场中的电势分布。 rrqE420pppl dEUUUpEqr负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。解：解： )(0baUUqpprqdrrq02044强调：强调：第九页，共24页。3.3.电势迭加原理电势迭加原理表述：表述：

11、一个电荷系的电场中一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。l dEpUp)(1r2r3rir1q2q3qiqppipiiirql dEpU04)(iiirqpU04)(表达式：表达式：（1 1）电势是标量，迭加的结果是求代数和；）电势是标量，迭加的结果是求代数和；（2 2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；）要求各个点电荷的零电势点必须相同；强调：强调：pl dEE)(21iipU)(第十页，共2

12、4页。4.4.电势的计算电势的计算电势的求解有两种方法：电势的求解有两种方法：1. .由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由电势定义式电势定义式 计算计算P点电势。点电势。零点ppl dEU2. .根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。（1）点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时的电点电荷系：先分别求出每个点电荷单独存在时的电场的电势，再求代数和得到电势。场的电势，再求代数和得到电势。iiiirqUU04公式：公式：（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，连续带电体：将带电体分割成

13、无限多个电荷元，将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电荷将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电荷元的电势，迭加归结于积分元的电势，迭加归结于积分。rdqdUU04注意电荷元的选取！注意电荷元的选取！第十一页，共24页。例例1：均匀带电圆环，半径为均匀带电圆环，半径为 R，带电为，带电为 q，求圆，求圆环轴线上一点的电势环轴线上一点的电势 U。oxRqxdqdU解：解：将圆环分割成无限多个电荷元：将圆环分割成无限多个电荷元：rdqdU04rdUUdqrq0041环上各点到轴线等距。环上各点到轴线等距。2/1220)(4Rxq第十二页，共24页。例例2：均匀带电球壳半径为均匀带电球

14、壳半径为 R，电量为，电量为 q，求：球壳内、外，求：球壳内、外的电势分布。的电势分布。oRqr高斯面高斯面E解：解：球壳内、外的场强球壳内、外的场强作高斯球面作高斯球面r0qSdES0qdSESrIII2041rqE,Rr 0qI区：球面内区：球面内01E,RrII区：球面外区：球面外qq20241rqE第十三页，共24页。l dEl dEURRr 211drER20drrqR2041Rq04I区：球壳内电势区：球壳内电势选无穷远为电势选无穷远为电势0点，点，RroRqrE ErIIIldEUr 22drEr2drrqr2041rq04II区：球壳外电势区：球壳外电势Rr第十四页，共24页。

15、oRqIIIRoEr204RqoRqIIIRoVrRq04,RrI区：球面内区：球面内01E,RrII区：球面外区：球面外20241rqERqU014rqU024第十五页，共24页。例例3 3：无限长带电直线线电荷密度为无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。，求电势分布。orP解：解：无限长带电直线的场强：无限长带电直线的场强：rE02PPl dEU若选无穷远为电势若选无穷远为电势 0 点，则点，则PEdrdrrr02r)ln(ln20r无意义无意义QR选取距带电直导线为选取距带电直导线为R的的Q点为电势零点，点为电势零点，QPPEdrUrRln20Rrdrr02当电荷分当电荷分布扩展到布

16、扩展到无穷远时，无穷远时，电势零点电势零点不能再选不能再选在无穷远在无穷远处。处。 第十六页，共24页。例例4：在正方形四个顶点上各放置在正方形四个顶点上各放置 带电量为带电量为+ +q的四个电荷，的四个电荷，各顶点到正方形中心各顶点到正方形中心O O的距离为的距离为r r。求：。求： （1 1）O O点的点的电势；（电势；（2 2）把试探电荷）把试探电荷q q0 0从无穷远处移到从无穷远处移到O O点时电场力所作点时电场力所作的功；（的功；（3 3）电势能的改变。）电势能的改变。解：解：4104iiiOrqUrqrq0044qqqqor（1 1）根据电势迭加原理）根据电势迭加原理（2 2）根

17、据电势差的定义）根据电势差的定义0qAUUOO)(0OOUUqAOUq0rqq00（2 2）根据）根据abpbpaAEEOOOAEEErqq00第十七页，共24页。1.1.等势面等势面aal dEU引：引：.场强电势的积分关系场强电势的积分关系等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面叫做等势面做等势面.即即 的空间曲面称为等势面。等的空间曲面称为等势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。CzyxU),(规定：规定：画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。画等势面时，相邻两个等势面的电势差为常数。第十八页

18、，共24页。等势面的性质：等势面的性质：证明：证明： 1.在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此电荷不作功。电荷不作功。l dMNE)(0baUUqbaabUql dEqA00ab等势面等势面02.除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。除电场强度为零处外，电力线与等势面正交。证明：证明：0cosEdlldEdAMNl dE3.由于由于规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较规定了两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的地方，场强较小。 因为将单位正电

19、荷从等势面上因为将单位正电荷从等势面上M点移到点移到N点，电场力做功为零，而路径不为零。点，电场力做功为零，而路径不为零。第十九页，共24页。因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电因沿电力线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。势能减少。4.电力线电力线的方向的方向指向电势降低的方向。指向电势降低的方向。证明：证明：假设电荷假设电荷q q0 0由2移到1，12UU 012UUE2等势面等势面l d1122121)(ppppEEEEA0)(120UUq的方向为电势降低的方向。的方向为电势降低的方向。E2.2.电势梯度电势梯度Ul ddndUU 3P1P2PEn 12 取两个相邻近的等势面取两个相

20、邻近的等势面1和和2，电势分别为，电势分别为U和和U+dU,且且dU0,.规定：规定：等势面的法线正方向为指等势面的法线正方向为指向电势升高的法线方向。向电势升高的法线方向。第二十页，共24页。ndndUgradU定义电势梯度矢量：定义电势梯度矢量：大小：大小：方向：方向：dndU写成矢量式：写成矢量式：U算符算符gradkzjyix电势梯度电势梯度 是一个矢量，是一个矢量，U它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。它的方向是沿电力线的切向并指向电势升高的方向。如果过如果过P1沿沿 方向的电势增加率为方向的电势增加率为 ， 与与 的夹角的夹角为为 。l ddldUl dn cosdndU

21、dldU沿着等势面的正法线方向沿着等势面的正法线方向有：有：Ul ddndUU 3P1P2PEn 12)cos(dldn 第二十一页，共24页。3.3.场强与电势的微分关系场强与电势的微分关系根据场强与电势的积分关系，有：根据场强与电势的积分关系，有：21UUl dE)(dUUUdU即：即：dUdlEcoscosdldUEdndU 电场强度的方向与电势梯度矢量电场强度的方向与电势梯度矢量的方向相反，即的方向相反，即 与与 反向。反向。En 写成矢量式：写成矢量式：ndndUE 电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值。值。场强与电势的微分关系gradUUUl ddndUU 3P1P2PEn 12第二十二页，共24页。在直角坐标系中：在直角坐标系中：kzUjyUixUE在任意方向上，场强的分量为：在任意方向上，场强的分量为：cosdndU注意几点：注意几点：1.“ .“