矩阵理论(课件)

1、矩阵理论目的和内容 矩阵理论是求解多元线性方程组的有力工具； 现代工程中的一些问题，如果用矩阵表示，不但形式简洁，更重要的是具有适合计算机处理的特点。由于计算机的发展和普及，矩阵分析显得越来越重要；举例 教学目的：掌握主要的概念；能够看懂相关文献，尤其是各种术语和符号的含义；掌握与泛函分析交叉或相关的一些内容 许多领域日益增多的文献中大量使用泛函分析的术语、符号 sup(*)、inf()、动态系统的描述 电路系统LCR2R1u(t)u(t)iLiC)()(1tudtdiLiiRLLC)()(21tuiRuiiRccLCdtduCicc)()(1)(1)(2121211tuCRRuCRRiCRR

2、iRuCLLC)()()()(2122112121tuLRRRuLRRRiLRRRRiCLL)()(212212212122tuRRRuRRRiRRRRuCRiRtyCLCC代入(1)代入(2)(1)(2)动态系统的描述(Continue)()()()(1)()()(21212121212112112121tuLRRRRLRRRRuiCRRCRRRLRRRLRRRRuiCLCL)()(2122122121tuRRRuiRRRRRRRtyCL写成矩阵形式：XAXBUYCDXUBUAXXDUCXY动态系统的描述(Continue) 机械系统的振动my(t)F(t) maFKfFFtFF)(dttd

3、yffvFf)()()()()(22tFtKydttdyfdttydm)()(tytvmtFtvmftymKtatv)()()()()()(10)()(10)()(tFmtvtymfmKtvty)(tKyFK写成矩阵形式：XAXB UBUAXX动态系统的描述(Continue) 离散系统离散时间系统x(n)y(n) 1()()(nynyny)() 1()(nynyny)()(1nynyKK)()(1nynyKK)()()()(0111nycnycnycnycNNNN)()()()(0111nxdnxdnxdnxdMMMM)() 1() 1()(110NnyaNnyanyanyaNN)() 1(

4、) 1()(110MnxbMnxbnxbnxbMMMrrNkkrnxbknya00)()(动态系统的描述(Continue) 引入中间变量，化高阶差分方程为一阶线性差分方程组) 1() 1()()() 1(0121NnxNnyNnxNnmNnm)()()(01NnyNnxNnm) 1()2()2()()() 1(10232NnxNnxNnyNnxNnmNnm ) 1() 1()()()()() 1(1101NnxnxnxnyNnxNnmNnmNNNNNa1Na2Na0a+)()()(10211NnmaNnmaNnmaNNN)() 1()(01nyaNnyaNnyaNN)(0110NNNaaaN

5、nx )(1(101101MMMaaaMnx)(0110MMMaaaMnx)(00anx000bMbMrrNkkrnxbknya00)()(= 0动态系统的描述(Continue) 1() 1()()() 1(0121NnxNnyNnxNnmNnm)()()(01NnyNnxNnm) 1()2()2()()() 1(10232MnxNnxNnyNnxNnmNnm ) 1() 1()()()()() 1(1101NnxnxnxnyNnxNnmNnmNNNN)()()()(01201101NnmaaNnmaaNnmaaNnmNNNN写成矩阵形式写成矩阵形式: :) 1() 1() 1() 1(00

6、0010)()()(22212101010nxnmnmnmnmnmnmNNaaaaaaNNN)()()()(0001 )(021nxnmnmnmnyN) 1() 1()(nHxnGMnM)()()(nDxnCMny相关概念及定义 矩阵(Matrix) 矩阵是数域F上的mn个数构成的数表：称为F上m行、n列的矩阵，记为A称为A的第i行、第j列元素，记为(A)ij mnmmnnaaaaaaaaa212222111211Faiji = 1, , m, j = 1, , nijijaA)(相关概念及定义（continue） 数域F上的一切m行、n列的矩阵的集合，记为：若 ， ，则称矩阵A与B同型 数域

7、（Field）若数集F含有数1且对四则运算封闭，则称F为数域 映射（Mapping）若 ， ，若存在一个对应关系（或对应法则，correspondence relationship or correspondence rule）， ，有Y中的唯一的一个元素y与之对应，就称给出了一个从X到Y的一个映射f，记作：f: XY，或y = f(x) 映射是函数概念的推广，它与函数、算子、变换表示的是同一个概念 特别地，当Y为数集(实数集R或复数集C)时，称f为定义在集合X上的泛函（泛函（functional）nmFnmFAnmFBXYXx相关概念及定义（continue） 直积集 设A，B是给定的集合，

8、称为A与B的直积集，简称积集、直积 举例： ， ，那么 表示XOY平面上矩形中点的集合 表示XOY平面上所有点的集合 AB中的元素被称为有序对，即当 时， 直积集的概念可被推广到两个以上给定的集合：ByAxyx,: ),(BARbaA,RdcB,dcbaBA2RRR21212211,),(),(yyxxyxyxyx ),(),(xyyxnnnnAxAxAxxxxAAA,: ),(22112121niiA1记为：相关概念及定义（continue） 代数运算 如果通过法则， ，得到唯一的 ，则称为A与B的直积集到C的一个代数运算： 称c为 和 经运算得出的结果，记为： 集合A对运算封闭： 若是 的

9、一个代数运算，则称集合A对运算封闭 N和Z不是数域 Q、R和C都是数域 Q是最小的数域 C是最大的数域CcBbAa,CBA:bacAaBbAAA相关概念及定义（continue）在矩阵的定义的基础上，可定义矩阵相等、负矩阵、零矩阵、方阵、单位阵、对角阵、逆矩阵等矩阵相等设 ， ，若则称矩阵A与B相等，记为A = B负矩阵对称 -A 为A的负矩阵零矩阵元素全为零的矩阵，称为零矩阵，记为0nmFAnmFBijijBA)()(，i = 1, , m, j = 1, , nnmijFa)(nmijFaA)(相关概念及定义（continue） 方阵（Square matrix）行数和列数相同的矩阵称为方

10、阵，行数为n的方阵称为n阶方阵。对方阵，又定义了主对角线元素、副对角线元素等概念：称 为主对角线元素称 为副对角线元素 对角阵（diagonal matrix）除了主对角线元素以外，其余元素均为0的方阵，称之为对角阵。 单位阵（Identity matrix） 主对角线元素全为1的对角阵，称之为单位阵。简记为I。 N阶单位阵记为 nnaaa,2211nnnaaa11, 21,nI矩阵运算 矩阵加法：设 ，称 为矩阵A与B之和。矩阵加法是 的代数运算，性质：交换律：A + B = B +A 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = 0 + A = A A+ (-

11、A) = (-A) + A = 0 矩阵减法：设 ，称 为矩阵A与B之差。mxnijFaA)(mxnijFbB)(mxnijijFbaBA)(mxnmxnmxnFFFmxnFAmxnFBmxnFBABA)(矩阵运算（Continue） 数乘矩阵：设 ，称 为与之积。 推论 数乘矩阵是 的一个代数运算，性质： 1。 2。 分配律 3。 分配律 4。 结合律 矩阵乘法:设令FmxnijFaA)(mxnijFaA)(:) 1(AAmxnmxnFFFAA 1BABA)(AAA2121)()()()(211221AAA,)(mxnijFaAnxpijFbB)(Fbabababacnkkjiknjinji

12、jiij12211, 1mi., 1pj矩阵运算（Continue）称为A与B之积积(1)A的列数 = B的行数;(2)AB的行数为A的行数,列数为B的列数;(3)AB的i行j列元素为A的i行元素与B的j列对应元素之积之和举例：mxpFaijAB)(1214A1011B1011202210114044AB4BA矩阵运算（Continue） ABBA：矩阵乘法不满足交换律 A 0； B 0，但AB = 0。 矩阵乘法是 的一个代数运算，它有以下性质：1(AB)C =A(BC) 结合律2(A + B)C = AC + BC 分配律 A(B+C) = AB + AC 分配律3(A)B = A(B)

13、= (AB) 结合律4A是方阵：AI = IA = AmxpnxpmxnFFF0000042213612AB3612A4221BF矩阵运算(Continue) 方阵的幂（Power)设 称 为A的k次幂，并定义 因为矩阵乘法满足结合律，所以 又因矩阵乘法不满足交换律，一般地： ,nxnFANk 个kkAAAA IA 021212121)( ,kkkkkkkkAAAAAkkkBAAB)(2222)(BABBAABABABA转置矩阵和分块矩阵 转置矩阵（Transposed matrix）可将对矩阵行与列的研究，转化为对其中之一的研究设称为A的转置矩阵，有的教科书上记为易见：转置矩阵具有以下性质：

14、 可用数学归纳法推广至多个矩阵的情形mxnijFaA)(mnmnnnmmTFaaaaaaaaaA212221212111AjiijTAA)()(AATT)(TTAA)(TTTBABA)(TTTABAB)(F转置矩阵和分块矩阵 分块矩阵用水平线或垂直线将矩阵 分成若干个小矩阵，并将A视为以这些小矩阵为元素组成的矩阵，称之为A的分块矩阵，其中的每个小矩阵称为A的子矩阵。一般用 表示r行s列的分块矩阵，Aij为其第i行第j列上的子矩阵 分块矩阵的相等若两个分块矩阵恢复成普通矩阵是相等，则称此两分块矩阵相等 对 、 用相同的划分法分为分块矩阵，则矩阵加法、减法和数乘矩阵的法则可推广到分块矩阵上Amxn

15、FAsrijA)(i = 1, , r, j = 1, , smxnFAmxnFB分块矩阵的加法、减法、数乘其中 ， 则 1。2。将 的列， 的行用相同的划分法划分为分块矩阵，则矩阵乘法可推广到分块矩阵上。rsrrssAAAAAAAAAA212222111211sn2n1n1m2mrmrsrrssBBBBBBBBBB212222111211sn2n1n1m2mrmmmmmr21nnnns21srijijBABA)(srijAA)(FmxnFAmxnFB分块矩阵的乘法和转置令其中 ，则 分块矩阵的转置欲求分块矩阵的转置，只要将其对应行列互换，然后将其中的每个子矩阵转置即可rsrrssAAAAAA

16、AAAA212222111211sn2n1n1m2mrmstssttBBBBBBBBBB212222111211tp2p1psn2n1njipmsqqjiqijFBAC1trijCAB)(i = 1, , r, j = 1, , s分块矩阵的乘法和转置则其转置矩阵为rsrrssAAAAAAAAAA212222111211sn2n1n1m2mrmmmmmr21nnnns21sn2n1nTrsTsTsTrTtrTTAAAAAAAAAA212221211211nmFmnF1m2mrm矩阵的秩 矩阵的秩矩阵A的k阶子式设 ，在A中任取k行、k列位于这些行列相交处的元素构成的k阶行列式称为矩阵A的一个k

17、阶子式若 ，A中非零子式的最高阶数r称为A的秩，记为：若 ，则定义 F上所有m行n列且秩为r的矩阵的集合记为：若 ，称A是行满秩的；否则称A是行降秩的，即r m若 ，称A是列满秩的；否则称A是列降秩的，即r n 方阵与其行列式的关系: : rankA = n，称方阵满秩、非奇异 : rankA n，称方阵降秩、奇异mxnFA),min(1 (nmk nmFA 00rankAArranknmrFnmmFAnmnFA0detA0detA0A矩阵的秩(Continue) 矩阵的秩的性质矩阵与其转置矩阵的秩相等：初等变换不改变矩阵的秩 ，则 ：满秩方阵的乘积仍满秩 可经有限次初等变换化为 且A可表示为

18、 其中， 、 , i = 1, , r, j = 1, , t是F上的初等阵推论：数域F上的满秩阵可被分解为F上的初等阵之积 可经初等行（列）变换化为单位阵，而单位阵在同样的行（列）变换下化为AATrankranknmrijFaA)(nnnFBA,)rank,min(rank)rank(BAAB nnnFABnmrIT000tsQQTQPPPA2112sPtQnIT nnnFA1A逆矩阵和矩阵的逆 方阵的逆方阵的逆( (Inverse) )对 ，若存在同阶方阵B，使得 AB = BA = I则称A可逆，并称B为A的逆矩阵，简称为A的逆，记为 伴随矩阵伴随矩阵( (Adjacent matrix

19、) )对 ， 为detA中元素aij的代数余子式，则称为A的伴随矩阵， detA为方阵方阵A的行列式（的行列式（determinate）伴随矩阵的性质：若 ，则nnFA1AnnnnnnnnFaaaaaaaaaA212221212111*nnFAnnFAIAAAAA)(det*ijaadjA逆矩阵和矩阵的逆(Continue) 逆存在的条件：逆存在的条件：方阵 有逆的充分必要条件为：且满足此条件时，A有唯一的逆：若 ，则称A A是满秩的是满秩的（或称A A是非奇异的是非奇异的），否则，称A A是降秩的是降秩的（或称A是奇异的） 逆的性质若 ， ，则： ：可推广至有限个满秩方阵相乘的情形0detA

20、nnnFAAA*1det1nnFA0detAnnFAnnFBAAdet1det1TTAA)()(11AAAAdet1)()(*11*111)(AA111)(ABAB抽象空间线性空间线性空间设 ，称X为数域F（实数域R或复数域C）上的线性空间，若：X是一个加法交换群(或称阿贝尔群：Abel Group）定义了加法+： ，称x + y 为x, y的和，且满足：1.加法交换律：2.加法结合律：3.零元的存在性： ，使得 ，有4.相反元素的存在性： ， ，使得可以证明零元与相反元素在X中都是唯一的 定义数乘： ： ， ，可确定唯一元素 ，称之为数乘元素的积，且满足：5.数乘结合率：6. 1x = x,

21、 7.分配律：8.分配律：XXXXxyyxXyx ,zyxzyx)()(X0Xzyx,XxXx0)(xxXxxx0XXFFXxXxxx)()(xxx)(XxF,XyxF,yxyx )(XxF,Xx若F = R：则X为实线性空间；F = R：则X为复线性空间零元和相反元素唯一性的证明 零元的唯一性： 反证法：假设线性空间X中还存在其它零元，任取其一，例如 ， 则由对0的定义： 又由对 的定义： 应用交换律比较上两式，等式右边应该相等，即 ，所以零元是唯一的 相反元素的唯一性：反证法：假设线性空间X中还存在其它负元素，任取其一，例如 ，考察和： 应用结合律：而根据相反元素的定义 :又： ，易见：所

22、以线性空间中的相反元素是唯一的000000000)( xxx)()()(xxxxxxxxxxx)(0)()(xxxxx0)(xx0 x线性空间举例 直线R:即具有普通加法和乘法运算的全体实数集 平面 XOY平面上所有点的集合，加法即向量加法，满足平行四边形法则；数乘即数乘向量，即向量按比例伸长或缩短 实n维空间所有n个实数组 的全体 a, b上的连续函数构成的空间Ca, b加法即函数的加法，数乘即数乘以函数 空间 ， ：此空间中的点为满足条件 的数列（或无穷维向量）：RRR2个nnRRRR),(21nxpl p1数列的所有元是p次绝对可和的pnn1线性空间举例（Continue） 空间 的加法

23、: 空间 的数乘： ， ， ？即：由Minkowski不等式： 当右边的两个级数收敛时，左边的级数也收敛，),(),(2121nnx),(),(2121nnplpl),(2211nnplxplyplyxpnnn1ppppnnpnnpnnn111)()()(111线性空间的其它概念 线性算子设X与Y是同一数域F上的线性空间，则称映射 为线性映射，又称线性变换、线性算子XYF,Xxx21,1x2x)(1xf)(2xf1x2x)(1xf)(2xf21xx)()(21xfxfYXf:f线性空间的其它概念(Continue) 线性泛函线性映射的定义中，若Y = F (实数域R or复数域 C)，则称f为

24、线性线性泛函泛函XXRCff线性空间的其它概念(Continue) 恒等算子：I是线性算子，线性空间X中的任一元素，映射为X中的同一元素 零算子： ， ， （Y中零元素，非F中0）零算子是线性算子 线性空间的同构称线性算子f为X Y上的线性同构映射：若f为一一映射称同一数域F上两线性空间是同构的，或称X同构于Y：若存在一个从x到y上的一一对应的线性映射。xIxXXI,:YXT:Xx0Tx线性空间的其它概念(Continue) 同构线性空间的性质： X同构于其本身；（取恒等映射 为同构映射即得）若X同构于Y，则Y同构于X；（取X Y同构映射的逆映射，为 Y X 的同构映射）若X同构于Y，Y同构于

25、Z，则X同构于Z；（取X Y的同构映射f与X Y的同构映射g的复合映射 为X Z上的同构映射即得） 线性组合： 设 ，若 ， ，使得 则称x是 的线性组合XXI:fgXxFn,21Xxxxn,21nnxxxx2211nxxx,21线性空间的其它概念(Continue) 线性相关、线性无关：设 ，如果 ，且不全为零，使得则称向量组 是线性相关的否则，称 是线性无关的，换言之，若则称 线性无关 线性空间的维数（dimension）和基（base）如果在线性空间X中可找到n个线性无关的向量，而X中的任意n + 1个向量都是线性相关的，则称X的维数为n，记作：若 ，X中总存在m个线性无关的向量，则称X

26、是无限维的，记作： n维线性空间X中由n个线性无关的向量组成的向量组，称为X的一组基Fn,21Fxxxn,2102211nnxxxnxxx,21nxxx,2100212211nnnxxxnxxx,21NmXdimnX dim线性空间的其它概念(Continue)线性子空间：如果线性空间X的非空子集非空子集L按照X中的加法和数乘运算构成一线性空间，则称L为X的线性子空间举例：1.若 ，有 ，则L是X的线性子空间；2. X和0是X的线性子空间，异于X和0的子空间称为真子空间；3. spanA（A的线性包）：设A是线性空间X的子集，作所有可能的A中向量的线性组合 ，其中 ，且 ，则 是X的一个线性子

27、空间，称之为由A张成的子空间（由A生成的子空间或A的线性包），记作spanA4. 设X是线性子空间， ，集合 是子空间，当 时，是由x生成的一维子空间LyxF,niiixa1LyxAxFii,NnXx:Fx0 x线性方程组解的结构齐次方程组解的结构 解集的几何特征设W是F上齐次线性方程组AX = 0所有解的集合，则1. W是 ( 或 ） 的子空间2. ；3.若A由初等行变换和某些列对换化为分块矩阵其中r nnnrnrrFCI00)(nFnRnCrnWdim线性方程组解的结构（Continue）那么矩阵的n r 个列向量 是W的基 称W为齐次线性方程组AX = 0的解空间 解空间W的基称为AX = 0的基础解系F上齐次线性方程组AX = 0的解 是其任一基础解系的线性组合 通常称为齐次线性方程组AX = 0的通解或一般解0Xrn,21rnrnrnrnkkkkkX1122110rn,21)(