MATLAB编程基础第6讲--数值微积分、多项式

1、2022-3-241MATLAB编程基础之数值微积分、多项式第六讲第六讲2022-3-2423.7 MATLAB数值积分与微分数值积分与微分3.7.1 差分和偏导数差分和偏导数1. 差分差分在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量：计算向量X的向前差分，的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵

2、A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。2022-3-243例例1 差分运算示例差分运算示例命令如下：命令如下：A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;% 生成1维矩阵A1 = reshape(A,6,3)% 转换为36维矩阵 A1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18B1 = diff(A1)% 求1维1阶差分 B1 = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6B2 = diff(A1,1,2)% 求2维1阶差分 B2 = 1 1 1

3、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1B3 = diff(A1,2)% 求1维2阶差分 B3 = 0 0 0 0 0 02022-3-244 2. 梯度和偏导数 二元及多元函数F(x,y，)的求导FX=gradient(F)FX,FY=gradient(F)=gradient(F,h)2022-3-245例例2 2求二元函数的偏导数求二元函数的偏导数% 生成二元函数v = -2:0.2:2;x,y = meshgrid(v);z = x .* exp(-x.2 - y.2);% 绘制曲面，如图3-4所示figure(1)mesh(x,y,z);px,py = gradient(z,.

4、2,.2);% 求偏导数figure(2)contour(v,v,z)% 绘制等高线，如图3-5所示hold onquiver(v,v,px,py)% 绘制矢量场图，小箭头表示梯度小箭头表示梯度hold off 2022-3-246数值积分数值积分数值积分基本原理数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形梯形法、辛普生法、辛普生(Simpson) 法、牛顿柯特斯法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。 它们的基本思想都是将整个积分区间都是将整个积分区间a,b分成分成n个个子区间子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中，其中x1=a，xn+1=b。这

5、样求定积分问题就分解为求和问题。2022-3-247 3.7.2 一元函数的数值积分 数值积分的实现方法数值积分的实现方法1变步长辛普生（变步长辛普生（Simpson）法）法（精度较高，较常使用）（精度较高，较常使用）基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和和b分别是定积分的下限和上限。分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参

6、数返回参数I即定积分值，即定积分值，n为被积函数的为被积函数的调用次数调用次数。2022-3-248函数部分function f=quad1(x)f=1./(x.3-2*x-5);%编制函数m文件调用命令Q = quad(quad1,0,2)% 在同一目录下，计算积分值Q = -0.4605 2022-3-249求定积分。求定积分。 (1) 建立被积函数文件建立被积函数文件fesin.m。function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数调用数值积分函数quad求定积分。求定积分。S,n=quad(fesin,0,3*pi)S

7、 = 0.9008n = 772022-3-24102. 自适应Lobatto法(精度较高，最常使用)q=quadl(fun,a,b)q=quadl(fun,a,b,tol) % 采用内联函数形式内联函数形式，第二个参数为变量例例3-25求求Q=sin2x+cosx从从2*pi到到0的定积分的定积分f = inline(sin(2*x)+cos(x).2,x);Q = quadl(f,0,2*pi)% 求取积分值Q = 3.1416训练任务：请采用编制m函数求该函数积分 2022-3-24113.7.3 多重数值积分多重数值积分使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积

8、分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二区域上的二重定积分重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。2022-3-2412 计算二重定积分计算二重定积分(1) 建立一个函数文件建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);(2) 调用调用dblquad函数求解。函数求解。global ki;ki=0;I=dblqu

9、ad(fxy,-2,2,-1,1)kiI = 1.57449318974494ki = 1038（3）匿名函数方法）匿名函数方法f = (x,y)y*sin(x)+x*cos(y);% 编写匿名函数，将句柄赋给fS = dblquad(f,pi,2*pi,0,pi)% 计算二重积分2022-3-24133.8 多项式 3.8.1 多项式的构造 使用行向量表示多项式的系数，行向量中各元素按多项式次数从高到低排列。即多项式P(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的系数向量P为an an-1a1 a0。P=poly(A):通过n阶方阵A生成特征多项式p,A为特征多项式的根，满足 P(A)=

10、anAn+an-1An-1+a1A+a0P=poly(r):通过向量r= r1 r2 rn方阵A生成多项式,向量元素为多项式的根，即满足(x-r1) (x-r2)(x-rn)= anxn+an-1xn-1+a1x+a0S=poly2str(P,s):将多项式系数行向量表达形式P转换成变量为s的标准多项式形式S。2022-3-2414例3-29求多项式r = 1 2 3;% 生成向量rP1 = poly(r)% 计算根为r的多项式 P1 = 1 -6 11 -6S1 = poly2str(P1,x)% 转换成变量为x的标准形式 S1 = x3 - 6 x2 + 11 x - 6A = magic

11、(3)% 创建3阶魔方矩阵 P2 = poly(A)% 计算方阵的特征多项式 P2 = 1.0000 -15.0000 -24.0000 360.0000S2 = poly2str(P2,s)% 转换成变量为s的标准形式S2 = s3 - 15 s2 - 24 s + 3602022-3-2415 3.8.2多项式的运算1.多项式的根R=roots(P)：求多项式向量P的根 p = 1 -6 -72 -27; % 多项式向量p r = roots(p) % 求多项式的根2022-3-24162.多项式的值y=polyval(p,x)：计算多项式向量为p变量为x时的数值y，x可以是向量也可以是矩

12、阵例3-31计算多项式的值p = 3 2 1;% 创建一个多项式向量x = 5,7,9;% 变量为向量形式yx = polyval(p,x)% 计算多项式的值 yx = 86 162 262A = pascal(4)% 变量为矩阵形式 A = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20ya = polyval(p,A)% 计算多项式的值ya = 6 6 6 6 6 17 34 57 6 34 121 321 6 57 321 12412022-3-24173.多项式的乘法c=conv(u,v)：求向量为u的多项式与向量为v的多项式的乘积c。例3-32求（x2+2x+6

13、）(x3+2)的乘积a = 1 2 6;b = 1 0 0 2;% 生成多项式向量c = conv(a,b)% 计算乘积 s = poly2str(c,x)% 标准形式表示c = 1 2 6 2 4 12s = x5 + 2 x4 + 6 x3 + 2 x2 + 4 x + 12训练任务: （x4+2x+6）(x3+2x+6)2022-3-24183.conv,convs多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6;c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b) or =conv(1 2 3,4 5 6)c = 4

14、.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 182022-3-24194.多项式的除法c=deconv(v, u)：v为被除数，u为除数，q返回商，余数为r。例3-33求（2x3+4x2+8x+3）(x2+2x+3)v = 2 4 8 3;u = 1 2 3;% 生成多项式向量c = conv(v,u)% 计算多项式乘积 c = 2 8 22 31 30 9q1,r1 = deconv(c,v)% 求商，整除r1为0，商多项式与u相同 q1 = 1 2 3r1 = 0 0 0 0 0 0

15、q2,r2 = deconv(v,u)% 多项式求商，带余数2022-3-24204.deconv多项式除运算a=1 2 3; c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00d=deconv(c,a)d =4.00 5.00 6.00d,r=deconv(c,a)余数余数c除除a后的整数后的整数2022-3-24215.多项式微分matlab提供了polyder函数多项式的微分。命令格式：polyder(p): 求p的微分polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的微分p,q=polyder(a,b): 求多项式a,b商的微分例：a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x)ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5b=polyder(a)b = 4 6 6