第三章 复变函数级数 泰勒级数和罗朗级数 孤立奇点的分类

1、2022-3-23第三章1复变函数级数复变函数级数 泰勒级数和罗朗级数泰勒级数和罗朗级数孤立奇点的分类孤立奇点的分类(P35)第三章第三章基本内容：函数级数的基本概念、幂级数、泰勒级、 罗朗级数、孤立奇点分类基本运算：将给定函数展开成幂级数，是本章的重点和难点级数理论是分析复变函数的有力工具，它不但在理论上有意义，而且有很重要的实用价值，故本章也是复变函数论的重要内容之一 简介2022-3-23第三章31 复变函数级数的基本概念复变函数级数的基本概念 2 复变函数级数的性质复变函数级数的性质 3 绝对收敛性的判别法绝对收敛性的判别法 3.1复变函数级数和解析函数级数复变函数级数和解析函数级数2

2、022-3-23第三章41 复变函数级数的基本概念复变函数级数的基本概念 )()()()(211zwzwzwzwkkk),(i),()(yxvyxuzwkkknkknzwzS1)()()(limzSnn，前n项和 在某点z存在，则称（3.1）在z点收敛收敛，该极限称为级数在z点的和，否则称为在z点发散发散. 其中（3.1）（3.2）若级数2022-3-23第三章51)(kkyw11),(i),(kkkkyxvyxu0)(limzwnn 复变函数级数归结为两个实变函数项级数收敛的必要条件（3.3）2022-3-23第三章6任意给定一个小的正数任意给定一个小的正数 0，总存在充分大的正整数，总存在

3、充分大的正整数N，当当nN时对于任何自然数时对于任何自然数P，恒有，恒有柯西判据柯西判据：收敛的充要条件)()(zSzSnpnpkknzw1)(绝对收敛绝对收敛： 1)(kkzw若 在z点收敛，则 1)(kkzw在该点绝对收敛 一致收敛一致收敛：设)(zwk(k=1,2,)定义在域D(或曲线l)上,若对任意给定 0存在与z无关的正整数N,使得当nN时,对任何自然数P,(3.4)恒成立，称级数（3.1）在D(或 l)上一致收敛 2022-3-23第三章7定理一定理一：绝对收敛级数，一定是收敛级数 定理二定理二：绝对收敛级数的乘积也是绝对收敛的，乘积的和等于 和的乘积(且与排列次序无关)11)()

4、,(kkkkzfFzgG11)()(kllkzfzgGF1,)()(lklkzfzg定理三定理三： )(zwk), 3 , 2 , 1( k在区域D内连续，且 1)(kkzw在D内一致收敛级数和在D内也是连续的.2 复变函数级数的性质复变函数级数的性质2022-3-23第三章8定理四定理四： 若 )(zwk), 3 , 2 , 1( k在曲线l上连续，且 1)(kkzw则级数和S(z)在l上也是连续的，且可在l上逐项积分，即在l上一致收敛，lkklzzwzzS1d)(d)(1d)(klkzzw定理五定理五： 若在区域D内满足 kkazw)(实常数 ), 2 , 1( k且 1kka收敛，则 1

5、)(kkzw在D内是绝对且一致收敛的.2022-3-23第三章9魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理定理:若 )(zwk), 3 , 2 , 1( k在闭区域 D上是单值解析的， 1)(kkzw在l上是一致收敛的，则() 1)(kkzw在 D上一致收敛； ()级数和S(z)在D内是解析的 ()在D内有 = 1)()(dd)(kknnnzwzzS= 1)()(knkzw(n=1,2,),且该级数在D内任何闭区域上都一致收敛.2022-3-23第三章10(1)达朗贝尔(dAlembert)判别法： 如果(至少当k充分大时) kkww1发散则绝对收敛则是常数11 1)( )( 1k

6、kkkwzwqq(2)柯西(Cauchy)判别法如果(至少当k充分大时) kkw发散则绝对收敛则是常数11)( 1)( )( 1kkkkzwzwqq3 绝对收敛性的判别法绝对收敛性的判别法2022-3-23第三章11(3)高斯判别法：如果(至少当k充分大时) )1(11kokwwkk(其中是常数） 当1时，级数 1)(kkzw绝对收敛，而当1时， 1)(kkzw发散.各判据依次增强，其复杂程度依次增加.可逐项项求导解析且一致收敛的级数逐项积分连续的一致收敛级数可绝对收敛绝对收敛级数的乘积仍解析、绝对且一致收敛级数，可进行四则运算、逐项积分、逐项求导 2022-3-23第三章121 幂级数的敛散

7、性幂级数的敛散性 2 幂级数的收敛圆幂级数的收敛圆3.2 幂级数的收敛性2022-3-23第三章13以b为中心的幂级数 0)(kkkbza阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理：若 0)(kkkbza在 0zz 数在圆域 bzbz0内绝对收敛，而且在该圆域内的任何闭)(0bzbz解析). 1 幂级数的敛散性幂级数的敛散性收敛，则该级 域上一致收敛.即在 绝对且一致收敛(连续、2022-3-23第三章14证明：在 0z收敛的必要条件 0)(lim0kkkbza存在正数M， 使得 Mbzakk )(0(k=0,1,2,),在区域 C(: bzbz0) 上有 kkkkkbzbzbzabza00)()(kb

8、zM0，而 几何级数 00kkbz是收敛的，则由3.1定理五 00)(kkkzza在 c上是绝对且一致收敛的.10bz2022-3-23第三章15推论一推论一:若 0)(kkkbza在 1zz 发散，则该级数在圆 bzbz1外处处发散.利用Abel定理采用反证法证明.推论二推论二:对于幂级数 0)(kkkbza, 必存在一个R0,使得在圆 Rbz内处处收敛，而在圆外处处发散.2022-3-23第三章16收敛圆收敛圆： Rbz，R为收敛半径，在该圆内 0)(kkkbza处处绝对且一致收敛，在圆外处处发散.定定 理理:在收敛圆内幂级数 0)(kkkbza可逐项积分或求导任意次，收敛半径不变 2 幂

9、级数的收敛圆幂级数的收敛圆2022-3-23第三章17证：每一项是幂函数都解析，必连续，而级数在收敛圆 内绝对且一致收敛可逐项积分或求导.反证法证收敛半径不变：RRRR导积积导积RR积RR RR积类似可证 导RR 收敛性的强弱 逐项求导，收敛性变弱逐项积分，收敛性变强收敛半径：运用达朗贝尔或Cauchy判别法1limnnnaaRnnna1lim或 .积分或求导虽不改变收敛半径，但改变2022-3-23第三章18幂级数在收敛圆内是一个解析函数，本节讨论在圆内解析的函数展开成Taylor级数的问题 1 解析函数的解析函数的Taylor级数级数 2 多值函数的泰勒级数多值函数的泰勒级数3.3 解析函

10、数的解析函数的Taylor级数展开级数展开(P40)2022-3-23第三章19定理定理：若f(z)在 1 解析函数的解析函数的Taylor级数级数Rbz内是解析的，则f(z) 在该圆域内可展开为绝对且一致收敛的幂级数 0)()(kkkbzazf!)()(kbfakk， 且此展开是唯一的 2022-3-23第三章20证：一致收敛是指在闭域内，故对任何 RR 1，证明级数在 1Rbz上是绝对收敛 对如图 1:1RbzCRRRR11( )， 应用Cauchy公式 1d)(i21)(RCzfzf对于 1Rbz上任一点z,注意到 111RRbbz，则)()(11bzbzbbzb11101)()(kkk

11、bbz是绝对且一致收敛的，可逐项积分，代回上式，得 2022-3-23第三章21kkCkbzbfzfR)( d)()(i21)(011kkkbzkbf)(!)(0)(已证得展开式，其绝对一致收敛性和展开唯一性的论证见书P41-42 2022-3-23第三章22a）按定理计算 !)()(kbfakkb）据展开的唯一性及幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛(且解析)的性质，可利用 z11等函数的展开式，通过级数的四则运算、逐项积分、求 导、函数复合或宗量代换等.1.1展开方法展开方法：、ez、sinz、cosz等初等初2022-3-23第三章23： a）按定理R=展开中心b到与b最邻近的奇点之间的距离(

12、这是 最直观最方便的方法，实变函数的幂级数理论中无此结果)； b）或求得展开式后，据 1limkkkaaRkkka1lim或 求. 1.2收敛半径收敛半径2022-3-23第三章24a）确定b是f(z)的解析点，与b最邻近的奇点收敛半径 b）按定理 !)()(kbfakk，或将待展开的f(z)通过代换、 四则运算、 求导、积分、函数复合或宗量代换等同展开式已知的 z11、 ) 1( 110zzzkk)( !10zzkekkz)( )!12() 1(sin012zzkzkkk)( )!2() 1(cos02zzkzkkk、 、 1.3一般步骤一般步骤ez、sinz、cosz联系起来等2022-3

13、-23第三章25例1证明 2121zzzzeee证： )( !12022zzlellz绝对收敛级数可逐项相乘)!1)(!1(020121llkkzzzlzkee引入指标n=k+l作为新级数的编号，则 0021)!(!1nnkknkknzzk0021)!( !1nnkknkzzknknn021!)(nnnzz21zze)( !11011zzkekkz2022-3-23第三章26例2证明 zzezsinicosi证： 0i!)i (knznze01202)!12()i ()!2()i (kkkkkzkz01202)!12() 1(i)!2() 1(kkkkkkzkzkzzsinicos特例： z=

14、x(实数)则 xxexsinicosi(尤拉公式)2022-3-23第三章272 多值函数的泰勒级数多值函数的泰勒级数 在黎曼面上除支点外，其函数值是单值确定的，所以支点是多值函数的奇点. 例3将 ln(1+z)在z=0的邻域内展开为泰勒级数 解:在黎曼面上只有支点性奇点-1和 1ln)1ln(0zz)!1() 1()1ln(dd10nzznznn则11) 1(1ln)1ln(nnnznz), 2 , 1 , 0( 2i1ln mm2022-3-23第三章28多值函数在每一叶黎曼面上是一个单值分支，上式就是第m个单值分支的展开式，m=0通常称为主值分支. 2022-3-23第三章29例4将 m

15、z)1 ( (m为非整数)在z=0的邻域内展开. 解: )1ln()1 (zmmez的支点为-1、. mzmz1)1 (0) 1() 1()1 (dd0 nmmmzzzmnn 1!) 1() 1(1)1 (nnmmznmmmmz) 1(zkmme2i1 (k=0,1,2,) k取不同值对应不同的单值分支. 2022-3-23第三章30 3. 函数(1-z)-1、ez、sinz、cosz在思考与讨论题：1. 幂级数的收敛半径为R，该级数在绝对收敛，在0)(kkkbzaRbzRbz)(Rbz内上一致收敛，级数的每一项 是解析的，所以，可以逐项求导、逐项积分，且不改变收 敛半径；在共同收敛区域上的幂

16、级数可以进行四则运算.你 认为呢？2. 为什么Taylor级数的收敛半径等于展开中心到被展开函数的 最近的奇点的距离？4. Taylor展开的条件是什么？将函数以b为中心进行 Taylor展开和在z=b的邻域内进行Taylor展开有无区别？作业：p55：3.1 (1)、(3)，3.2 (1)，3.4 (1)，3.5内的Taylor展开式.Rz 2022-3-23第三章311 Laurent级数级数 2 Laurent定理定理 3.4 解析函数的洛朗解析函数的洛朗(Laurent)级数级数2022-3-23第三章3201)()()(kkkkkkkkkbzabzabza 负幂部分-主要部分 正幂部

17、分-解析部分在 1Rbz上收敛令 bz 1，则负幂部分1nnna211Rbz收敛 2Rbz上收敛 若 21RR ，则Laurent级数发散 若 21RR ，则Laurent级数在 12RbzR上收敛Laurent级数级数在2022-3-23第三章33若f(z)在 12RbzR内单值解析，则f(z)在该环域内可展开为绝对且一致收敛的级数kkkbzazf)()(lkkbfad)()(i211， （l是环域内绕b一周的任意闭曲线）该展开是唯一的. 运用复通域上的Cauchy公式证明，证法类似Taylor定理的证明.1)含有含有(z-b)的负幂项的负幂项，但b不一定是奇点：为奇点时当上不一定有奇点或上

18、必有奇点，或，bRRRbzRRbz022121Laurent定理定理2022-3-23第三章342) !)()(kbfakkl内必有被积函数的奇点，故Cauchy导数公式不再成立.特例：R2=0时，b为奇点没有导数； 02R即使b为解析点， k取负值时的导数也无意义. 3) 环域的特例环域的特例 02R10RbzbzRR21,， ， 4) 展开方法展开方法：按定理计算回路积分求展开系数； 依据Laurent级数 在环域内绝对且一致收敛性、展开的唯一性展开.2022-3-23第三章35按定理展成Taylor级数 !)()(kbfakk与实函幂级数展开相似 Laurent级数 lkkbfad)()

19、(i211较复杂 根据幂级数在收敛域上是绝对一致收敛且解析的性质，则可运用根据幂级数在收敛域上是绝对一致收敛且解析的性质，则可运用z11、ez、sinz、cosz 等的展开式和幂级数的四则运算、等的展开式和幂级数的四则运算、 逐项求导、 逐项积分、变量代换及函数的复合展开 教材中介绍的几种展开方法的名称只能作为参考 3.5 3.5 泰勒级数和洛朗级数展开的泰勒级数和洛朗级数展开的几种常用方法几种常用方法(P47)2022-3-23第三章36(1)利用利用 011kkzz1z()例1 211z在 z1上 222111111zzz02211112kkzzz0221kkz) 1( z2022-3-2

20、3第三章37例2 ) 1(1zz21 :1izDizD2:2, ).(解:先部分分式111)1(1zzzz) i(i11zzii11i1zz01) i() i(nnnz11) i(ikkkz) 1i(z) i(i1111zz0101)2i( ) i() i1 () 1(ii111i1)2i1i1i( ) i() i1 () 1(i1i11i11nkkknkkkzzzzzzzz1D2Di1-1xyoD12022-3-23第三章38010111)i2( ) i() i1() i()2i1 ( ) i(i)1 () 1() i(i) 1(1kkkkkkkkkkkzzzzzzz2022-3-23第三章

21、39(2)利用利用ez、sinz、cosz 等的展开式等的展开式如 011!1kkzzke代换) 01(zz(3)级数逐项求导或逐项积分级数逐项求导或逐项积分例3 3) 1() 1(zzz)1 ( z解:原式= 332) 1() 1(zzzz1121dd) 1(1223zzz011111111kkzzzz)1(z2022-3-23第三章4003)2)(1(21kkzkk) 1(z02013)2)(1()2)(1(21) 1() 1(kkkkzkkzkkzzz n=k+1 n=k+2 21) 1() 1(21nnnnznnznn121) 1() 1(21nnnnznznnnn) 1(z2022-

22、3-23第三章41(4)级数相乘或相除级数相乘或相除例4 cotz)0 (z345131sincoscotzzzzzzP49 运用级数乘法或待定系数法据cotz是奇函数并可知最低幂项为z-1 ，故设 0121cotllzbz代入 zzzcossincot2022-3-23第三章4202)!2() 1(mmmmz)()!12() 1(012012lllnnnzbzn002)!122() 1(mmllmlmlmbzmllllmbm0)!122() 1()!2(1), 2 , 1 , 0( m依次令 , 2 , 1 , 0210bbbm2022-3-23第三章43(5)其它展开法其它展开法 例如：

23、5ii5)i 2(sinzzeezzzzzzzeeeeeei5i 3iii 3i5510105i321i 210i 25i 2161iii 3i 3i5i5zzzzzzeeeeeezzzsin103sin55sin161将最右端各项展开，即得 z5sin的展开式. 总之：就是将待展开函数通过四则运算、积分、求导、宗量代换就是将待展开函数通过四则运算、积分、求导、宗量代换 函数复合等方式与展开式已知的函数联系起来，再运用级函数复合等方式与展开式已知的函数联系起来，再运用级 数的上述运算将其展开数的上述运算将其展开.2022-3-23第三章44仅讨论单值函数或多值函数单值分支的奇点. 设b为f(z

24、)的孤立奇点，则3.6 孤立奇点的分类和特性孤立奇点的分类和特性(P50)kkkbzazf)()(10Rbz()（3.5.1） 2022-3-23第三章45b是f(z)的奇点，但展开式中无(z-b)的负幂项0)()(kkkbzazf)0(1Rbz0)(limazfbz例如：z=0是 zzsin的可去奇点 1sinlim)0( )!12() 1(! 5! 311sin00242zzzzkzzzzzkkk但f(z)仍不能在 1Rbz展开成泰勒级数， z=b是f(z)的奇点，若 )( )(lim)( )()(0bzzfbzzfzFz经过补充定义可去奇点b成为F(z)的解析点(1)可去奇点可去奇点2022-3-23第三章46mkkkbzazf)()()0(1Rbz0, 1mam，则b是f(z)的m阶极点，m=1时为单极点. )(lim0zfz，则b是f(z)极点，其