第3章流体运动学与动力学基础

1、第三章第三章 流体运动学与流体运动学与动力学基础动力学基础第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础研究研究方法方法流体运流体运动规律动规律基本基本概念概念章节结构章节结构研究流体流动的方法研究流体流动的方法3.1流体运动的基本概念流体运动的基本概念3.2质量守恒质量守恒连续性方程连续性方程3.3能量守恒能量守恒伯努利方程伯努利方程3.4 3.6动量定理动量定理动量方程动量方程3.7第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础3.1 研究流体流动的方法研究流体流动的方法拉格朗日法拉格朗日法了解了解欧拉法及其加速度表达式欧拉法及其加速度表达式掌握掌握第三章第三章 流

2、体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础基本概念基本概念v 流体质点：流体质点：一个物理点，即流体微团，是构成连续介质的流体的基一个物理点，即流体微团，是构成连续介质的流体的基本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学特性）。特性）。v 空间点：空间点：一个几何点，表示空间位置。一个几何点，表示空间位置。v 质点与空间点之间的关系：质点与空间点之间的关系：流体质点是流体的组成部分，在运流体质点是流

3、体的组成部分，在运动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（动时，一个质点在某一瞬时占据一定的空间点（x，y，z），具有一），具有一定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。定的速度、压力、密度、温度等标志其状态的运动参数。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 定义：定义：拉格朗日法拉格朗日法又称为跟踪法、质点法。以又称为跟踪法、质点法。以运动着的流体质点运动着的流体质点为研究对象，为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律

4、。然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。v 拉格朗日变数：拉格朗日变数：取取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置（时，以每个质点的空间坐标位置（a，b，c）作为区别该质点的）作为区别该质点的标识，称为标识，称为拉格朗日变数拉格朗日变数。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 方程：方程：设任意时刻设任意时刻t，质点坐标为，质点坐标为(x，y，z) ，则：，则：x = x ( a, b, c, t )y = y ( a, b, c, t )z = z ( a, b, c, t ) 速度：速度：( , , , )( , , , )( , , , )xyzxx a

5、 b c tuttyy a b c tuttzz a b c tutt第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础 加速度：加速度：v 适用情况：适用情况：流体的振动和波动问题。流体的振动和波动问题。v 优点：优点： 可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。上各流动参量的变化。 v 缺点：缺点：不便于研究整个流场的特性。不便于研究整个流场的特性。222222( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzux a b c tattuy a b c tattuz a b c tat

6、t第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础定义：定义：欧拉法欧拉法又称为站岗法、流场法。又称为站岗法、流场法。以以流场内的空间点流场内的空间点为研究对象，研为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。点综合起来得出整个流场的运动规律。欧拉变数：欧拉变数：空间坐标（空间坐标（x，y，z）称为）称为欧拉变数欧拉变数。i i 拉格朗日法和欧拉法具有互换性。欧拉法较简单，且本书着重拉格朗日法和欧拉法具有互换性。欧拉法较简单，且本书着重 讨论流场的整体运动特性。因此，

7、本书采用欧拉法研究问题。讨论流场的整体运动特性。因此，本书采用欧拉法研究问题。掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础方程：方程：因为因为欧拉法欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是则流动参量应是空间坐标空间坐标和和时间时间的函数的函数: ux=ux（x, y, z, t） 速度：速度： uy=uy （x, y, z, t） uz=uz （x, y, z, t） 压强：压强： p = p （x, y, z, t） 密度：密度：=（x, y, z, t）同时，空间坐标同时，空间坐标 x、y

8、、z 也是时间也是时间 t 的函数。的函数。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础 加速度：加速度：同理：同理： xxxxyzyyyxyzzzzxyxxxyyzzzzyututuuuuuuxyzuuuuuuxyzuuuuuuxdudtdyzautauddudtatxxxxxxxxxxxyzduuuuudxdydzadttx dty dtz dtuuuuuuutxyz掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础全加速度当地加速度全加速度当地加速度 迁移加速度迁移加速度xxxxzxxyuuuuuuxzauty在一定位置上，在一定位置上，流体质点速度随流体质

9、点速度随时间的变化率时间的变化率流体质点所在的空流体质点所在的空间位置的变化而引间位置的变化而引起的速度变化率起的速度变化率第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 牛顿牛顿流体流体v 非牛非牛顿流顿流体体v 理想流理想流体体v 实际流实际流体体v 可压可压缩流缩流v 不可不可压缩压缩流流按流动性质按流动性质流体压缩性流体压缩性流体粘性流体粘性流体变形特性流体变形特性第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 一元流一元流v 二元流二元流v 三元流三元流v 内流内流v 外流外流按流动空间按流动空间空间位置空间位置空间元素空间元素第三章第三章 流体运动学与动

10、力学基础流体运动学与动力学基础按流动特征按流动特征v 层流层流v 紊流紊流v有旋有旋流流v无旋无旋流流v 均匀均匀流流v 非均非均匀流匀流v 稳定流稳定流v 非稳定流非稳定流流动空流动空间因素间因素流动时流动时间因素间因素流动旋度流动旋度流态特征流态特征第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础3.2 流体运动的基本概念流体运动的基本概念流体运动的概念流体运动的概念 掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础 稳定流动稳定流动 （ 定常流动定常流动 ）流体所有运动要素与时间无关。流体所有运动要素与时间无关。不稳定流动不稳定流动（不定常流动）（不定常流动）

11、流体所有运动要素与时间有关。流体所有运动要素与时间有关。一、稳定流动和不稳定流动一、稳定流动和不稳定流动掌握掌握图图3-1 稳定流动和不稳定流动稳定流动和不稳定流动HH1H2第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础二、迹线和流线二、迹线和流线迹线：迹线：v 定义：定义：某质点在一段时间内所经过的路线。如：流星、烟火某质点在一段时间内所经过的路线。如：流星、烟火v 特点：特点：每个质点都有一个运动轨迹。每个质点都有一个运动轨迹。v 方程：方程：以流体质点为研究对象，基于拉格朗日法，以流体质点为研究对象，基于拉格朗日法，dt 为自变量：为自变量：掌握掌握dtdxuxdtdyuyd

12、tdzuzdtudzudyudxzyx第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础流线：流线：v 定义：定义：某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点的运动方向均与曲线某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点的运动方向均与曲线相切。相切。v 特点：特点： 不稳定流时，流线的空间方位、形状随时间变化不稳定流时，流线的空间方位、形状随时间变化 稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合 流线是一条光滑曲线，既不能相交也不能转折流线是一条光滑曲线，既不能相交也不能转折( (特例：点源、点汇、特例：点源、点汇、驻点驻点) )v 意义：意义：流线形

13、象的描绘了流场中各质点的瞬时流动方向。流线形象的描绘了流场中各质点的瞬时流动方向。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 方程：方程：以空间点为研究对象，基于欧拉以空间点为研究对象，基于欧拉法推导流线方程：在法推导流线方程：在M点沿流线方向取点沿流线方向取有向微元长有向微元长 ，质，质点点M速度为速度为 。因为：。因为：流线上各质点的运动方向与流线相切，流线上各质点的运动方向与流线相切，即：即： ，则，则 ，dt 为参为参变量：变量：0 xyzijkuuudxdydzxyzdxdydzuuudsdxidy jdzk

14、xyzuu iu ju k0ud s/uds图图3-2 流线方程流线方程流线流线Mdsu第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础说明：说明：迹线方程与流线方程从形式上看来十分相似，但本质上完全不同。迹线方程与流线方程从形式上看来十分相似，但本质上完全不同。迹迹线为质点随时间变化的轨迹（线为质点随时间变化的轨迹（ dt是自变量），流线则是某一瞬时的一是自变量），流线则是某一瞬时的一条曲线（条曲线（dt是参变量）是参变量）。dtudzudyudxzyxxyzdxdydzuuu迹线方程迹线方程流线方程流线方程第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 已知：流速场

15、已知：流速场 v 求：（求：（1）流线方程以及）流线方程以及t=0，1，2时的流线图时的流线图 （2）迹线方程以及）迹线方程以及t=0时通过（时通过（0，0）点的迹线）点的迹线,0 xyzuaubtuv 解：（解：（1）由流线方程）由流线方程 得：得： 。对自变量对自变量x，y积分积分，得：，得：因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。xyzdxdydzuuudxdyabtaybtxCbtyxCa第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础（2）由迹线方程）由迹线方程 得：得： 。对自对自变量变量t积分积

16、分，得：，得：当当t=0时，时，x=0，y=0，代入得：，代入得：迹线方程为：迹线方程为： t=0时通过（时通过（0，0）点的迹线方程为一条抛物线。）点的迹线方程为一条抛物线。xyzdxdydzdtuuudxdydtabt1222xatCbytC22xatbyt222byxa第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础xy0 xy0C=1C=0C=2C=3xy0C=1C=0C=2C=3t=0t=1t=2yCbyxCa2byxCa流线方程：流线方程：t=0时通过（时通过（0，0）点的迹线方程：）点的迹线方程：222byxaC=1C=0C=2C=3第三章第三章 流体运动学与动力学基础

17、流体运动学与动力学基础图图3-3 流线流线sjju1u2u3u4v 流线的绘制：流线的绘制：采用微元长切线方法采用微元长切线方法ds1kkds2llds3mmds4nn第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v流管：流管：由许多流线围成的管子，具有由许多流线围成的管子，具有两个特性：两个特性：流管内外无流体质点交换；流管内外无流体质点交换；稳定流时稳定流时, ,形状不随时间改变形状不随时间改变v流束：流束：充满在流管内的流体。充满在流管内的流体。v微小流束：微小流束：断面为无穷小的流束。断面为无穷小的流束。v总流：总流：无数微小流束的总和。无数微小流束的总和。三、流管、流束、

18、总流三、流管、流束、总流 掌握掌握图图3-4 流管、流束及总流流管、流束及总流图 38 流管 图 39 流束和总流 第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础图图3-5 管流总流断面流速分布管流总流断面流速分布umaxu1u2umaxu1u2i i 总流过流断面上，流体速度、流量、压力等运动要素通常不相等；微总流过流断面上，流体速度、流量、压力等运动要素通常不相等；微小流束过流断面上，认为流体运动要素相等。因此：可以对微小流束小流束过流断面上，认为流体运动要素相等。因此：可以对微小流束进行数学积分求解相应的总流断面上的运动要素进行数学积分求解相应的总流断面上的运动要素元流分析法

19、元流分析法。如：圆管内部层流的流速分布为旋转抛物面如：圆管内部层流的流速分布为旋转抛物面第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 有效断面：有效断面：流束或总流上，垂直于流线的断面。流束或总流上，垂直于流线的断面。 所有流线都垂直于有效断面，因此沿有效断面上没有流体流动。所有流线都垂直于有效断面，因此沿有效断面上没有流体流动。 有效断面可以是平面，也可以是曲面。有效断面可以是平面，也可以是曲面。四、有效断面、流量和断面平均流速四、有效断面、流量和断面平均流速 掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 流量：流量：单位时间内流过有效断面的流体量。单

20、位时间内流过有效断面的流体量。 流量的表达方法：流量的表达方法： 体积流量体积流量 （m3/ s） 质量流量质量流量 （kg/ s） 重量流量重量流量 （N / s）AAGdGudAQAQudAmAAQdmudAQ第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础图图3-5 管流总流断面流速分布管流总流断面流速分布umaxv 断面平均流速断面平均流速v 由于实际流体具有粘性，总由于实际流体具有粘性，总流断面上各点速度大小不一。流断面上各点速度大小不一。只有已知断面速度只有已知断面速度u的的分布函分布函数，才能对式数，才能对式 进行积分得到流量，不易。进行积分得到流量，不易。 假想断面上

21、各点流速相等，假想断面上各点流速相等，以以v表示，且按流速表示，且按流速v计算得计算得出的流量等于实际流速出的流量等于实际流速u流过流过该断面的流量。该断面的流量。 即：即：AQudAAvAudAQAudAQvAAv第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础五、均匀流与非均匀流五、均匀流与非均匀流v 均匀流：均匀流：流场中同一条流线各空间点上的流场中同一条流线各空间点上的流速相同流速相同。v 非均匀流：非均匀流：流场中同一条流线各空间点上的流场中同一条流线各空间点上的流速不相同流速不相同。v 均匀流有如下特征：均匀流有如下特征： 均匀流的有效断面是平面，并且有效断面的形状与尺寸

22、沿流程不均匀流的有效断面是平面，并且有效断面的形状与尺寸沿流程不变；变； 均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布均匀流中同一流线上各点的流速相等，各有效截面上的流速分布相同，平均流速相同；相同，平均流速相同； 均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静均匀流有效截面上的流体动压强分布规律与流体静力学中流体静压强分布规律相同，满足：压强分布规律相同，满足：pzC第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础3.3 连续性方程连续性方程连续性方程连续性方程重点重点掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 流体连续性方程是流体连

23、续性方程是质量守恒定律质量守恒定律的数学表达形式。对于不同的的数学表达形式。对于不同的液流情形（液流情形（一元流动、空间流动一元流动、空间流动），有不同的表现形式。），有不同的表现形式。v 质量守恒定律质量守恒定律对于空间固定的封闭曲面，在没有质量源的对于空间固定的封闭曲面，在没有质量源的前提下：前提下： 不稳定流动时，不稳定流动时， ，流入的流体质量与流出的流体，流入的流体质量与流出的流体质量之差应等于封闭曲面内流体质量的变化。质量之差应等于封闭曲面内流体质量的变化。 稳定流动时，稳定流动时， ，流入的流体质量必然等于流出的，流入的流体质量必然等于流出的流体质量。流体质量。()tMMMdMt

24、t流入流出/0Mt /0Mt 第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础一、一元流动的连续性方程一、一元流动的连续性方程1 1、微小流束的连续性方程、微小流束的连续性方程 问题的提出：问题的提出：一段微小流束，两个有效断面一段微小流束，两个有效断面1-1、2-2，面积分别为，面积分别为dA1、 dA2，速，速度为度为u1、u2，密度为，密度为1、2。 导出关系：导出关系：据质量守恒定律，据质量守恒定律，()tMMMdMtt流入流出1 11()tMu dA t流入222()tMu dAt流出1 11222dMu dA tu dAt 图图3-6 一元流动的连续性方程分析一元流动的连

25、续性方程分析AA1A2v1vv2u1uu2dA1dA2dA重点掌握重点掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础 得出结论：得出结论：对稳定流而言：对稳定流而言： ， 因此：因此：可压缩流体、微小流束、稳定流的连续性方程可压缩流体、微小流束、稳定流的连续性方程若流体不可压缩若流体不可压缩 ，有：，有：不可压缩流体、微小流束、稳定流的连续性方程不可压缩流体、微小流束、稳定流的连续性方程/0Mt 1112220dMdAutdA ut 111222u dAu dA1122u dAu dAConst第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础2 2、总流的连续性方程、

26、总流的连续性方程 应用应用元流分析法元流分析法，总流稳定流连续性方程通过微小流束稳定流连，总流稳定流连续性方程通过微小流束稳定流连续方程的积分得出：续方程的积分得出： 。 问题的提出：问题的提出：总流的有效断面总流的有效断面1-1、2-2的面积分别为的面积分别为A1、 A2，断，断面平均流速为面平均流速为v1、v2，断面平均密度为，断面平均密度为1均均、2均均。 得出结论：得出结论：根据质量守恒定律，根据质量守恒定律，对稳定流而言：对稳定流而言： 对于可压缩流体，有：对于可压缩流体，有： 对于不可压缩流体，有：对于不可压缩流体，有：121 11222AAu dAu dA12111222AAu

27、dAu dA均均1122111222QQv Av A均均均均121122QQv Av A第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础说明：说明：当断面当断面1-1、2-2之间存在流体质量的输入或者输出时，修正总流连续之间存在流体质量的输入或者输出时，修正总流连续性方程，如：管流计算中常见的性方程，如：管流计算中常见的分流分流、汇流汇流情况。情况。1Q112Q223Q331Q112Q223Q33113322QQQ112233QQQ123QQQ132QQQ可压缩流体可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体分流分流汇流汇流第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础二、空间运动

28、连续性微分方程二、空间运动连续性微分方程1 1、取微元体：、取微元体：取六面体微元，边长分别为取六面体微元，边长分别为dx，dy，dz。2 2、规律分析：、规律分析：据据质量守恒定律质量守恒定律，以，以z方向为例，讨论微元体内部的方向为例，讨论微元体内部的质量变化。质量变化。z方向的净流出质量为：方向的净流出质量为：图图3-7 空间六面体微元空间六面体微元dxdydzyxzo()zzuudzzzu()dtzMu dxdydt流入()()zdtzuMudz dxdydtz流出()zzudMdxdydzdtz重点掌握重点掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础同理：同理：x方

29、向的净流出质量为：方向的净流出质量为：y方向的净流出质量为：方向的净流出质量为：同时，六面体微元内的初始质量为：同时，六面体微元内的初始质量为：dt 时间段后，微元内的最终质量为：时间段后，微元内的最终质量为：3 3、导出关系：、导出关系：据据质量守恒定律质量守恒定律， dt 时间段内流体质量的减少量为：时间段内流体质量的减少量为：()yyudMdxdydzdty()xxudMdxdydzdtxMdxdydz初Mdt dxdydzt末()()()yxzuuudxdydzdtdxdydzdtxyzt 第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础4 4、得出结论：、得出结论：空间流体

30、运动的连续性微分方程：空间流体运动的连续性微分方程：对于可压缩流体稳定流对于可压缩流体稳定流 ，有：，有：对于不可压缩流体对于不可压缩流体 ，有：，有：()()()0yxzuuutxyz0yxzuuuxyzConst/0t ()()()0yxzuuuxyz第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础3.4 理想流体运动微分方程及伯努利方程理想流体运动微分方程及伯努利方程理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程欧拉方程欧拉方程欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程1010010pXx

31、pFYypZz111xyzdupXxdtdupFmaYydtdupZzdt第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础由流体平衡微分方程（欧拉平由流体平衡微分方程（欧拉平衡方程）积分得出：衡方程）积分得出： z 比位能比位能 比压能比压能 比势能比势能微小流束伯努利方程微小流束伯努利方程能量方程能量方程静力学基本方程静力学基本方程流体平衡能量方程流体平衡能量方程pzC/z p/ p由流体运动微分方程（欧拉方由流体运动微分方程（欧拉方程）积分得出：程）积分得出： z 比位能比位能 比压能比压能 比动能比动能 总比能总比能22puzCg2/2z pug/ p2/2ug第三章第三章 流

32、体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础一、理想流体运动微分方程（一、理想流体运动微分方程（EulerEuler方程）方程）1、取微元体：、取微元体：取六面体微元，边长分别为取六面体微元，边长分别为dx，dy，dz。 中心中心A点的点的压力为压力为 p ，速度为速度为 ux，uy，uz。2、受力分析：、受力分析：以以x方向为例，流体微元的受力包括：质量力和表面方向为例，流体微元的受力包括：质量力和表面力。对于理想流体，没有粘性，表面力只有压力而没有剪切力。力。对于理想流体，没有粘性，表面力只有压力而没有剪切力。质量力：质量力：A1点压力：点压力：A2点压力：点压力：图图3-6 六面体微元六面

33、体微元112pppdxx212pppdxxXdxdydz掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础3、导出关系：、导出关系：根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律 ，在，在x方向上应满足：方向上应满足：其中，其中，dux/dt 为为ux （x, y, z, t）的全导数，）的全导数，因此有：因此有：Fma1122xduppXdxdydzpdx dydzpdx dydzdxdydzxxdt1xdupXxdt1xxxxxxxxxxyzduuuuupdxdydzXxdttx dty dtz dtuuuuuuutxyz第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础质量力质

34、量力 表面力表面力全加全加速度速度当地当地加速度加速度迁移迁移加速度加速度4、得出结论：、得出结论：1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdttxyz运动微分方程运动微分方程理想流体理想流体第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础A 说明： 对平衡流体而言对平衡流体而言 ，可以直接得出，可以直接得出欧拉平衡微分欧拉平衡微分方程方程。 理想流体运动微分方程的理想流体运动微分方程的物理意义物理意义：作用在单位质量流体上的质：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等

35、于其加速度。量力与表面力之代数和等于其加速度。 理想流体运动微分方程的理想流体运动微分方程的适用条件适用条件：理想流体理想流体。对于压缩及不可。对于压缩及不可压缩理想流体的稳定流或不稳定流都是适用的。压缩理想流体的稳定流或不稳定流都是适用的。0 xyzuuu第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础1、公式推导、应用的、公式推导、应用的条件一：稳定流条件一：稳定流 对于稳定流而言，流体速度、压力只是坐标的函数，即有：对于稳定流而言，流体速度、压力只是坐标的函数，即有： 及及 。 欧拉方程化简为：欧拉方程化简为：0pt0yxzuuuttt1xxxxxyzduuuupXuuuxdt

36、xyz1yyyyxyzduuuupYuuuydtxyz1zzzzxyzduuuupZuuuzdtxyzI第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础2、公式推导、应用的、公式推导、应用的条件二：沿流线积分条件二：沿流线积分 将将Euler方程式（方程式（I）中的三式分别乘以流线上两点的坐标增量）中的三式分别乘以流线上两点的坐标增量dx、dy、dz，并相加后得：，并相加后得： 稳定流动时，稳定流动时，流线与迹线重合，流线与迹线重合，则此时的则此时的dx，dy，dz与时间与时间 dt 的比为速度分量，即有：的比为速度分量，即有：,xyzdxdydzuuudtdtdt1()()yxzp

37、ppXdxYdyZdzdxdydzxyzdudududxdydzdtdtdtII第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础同时，压力只是坐标的函数，即有：同时，压力只是坐标的函数，即有：因此式（因此式（II）可以转化为：）可以转化为：其中：其中：21()1()2xxyyzzXdxYdyZdzdpu duu duu dud uIIIpppdxdydzdpxyzxyzuu iuju k第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础3、公式推导、应用的、公式推导、应用的条件三：质量力只有重力条件三：质量力只有重力 若作用在流体上的质量力只有重力，则应有：若作用在流体上的质

38、量力只有重力，则应有： 则式（则式（III）可以写为：）可以写为：0,0,XYZg 211()02gdzdpd uIV第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础4、公式推导、应用的、公式推导、应用的条件四：不可压缩流体条件四：不可压缩流体 对于不可压缩流体，满足：对于不可压缩流体，满足： 。 积分式（积分式（IV）得：）得： 对于流线上的任意两点对于流线上的任意两点 1、2，有：，有： 式（式（V）（）（VI）为理想流体沿流线的伯努利方程，即能量方程。）为理想流体沿流线的伯努利方程，即能量方程。 V22puzCgConstVI2211221222pupuzzgg第三章第三章 流

39、体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 公式的公式的：理想流体、不可压缩流体、质量力只受重力作：理想流体、不可压缩流体、质量力只受重力作用、运动沿稳定流动的流线或微小流束。用、运动沿稳定流动的流线或微小流束。v 伯努利方程式的意义：伯努利方程式的意义：A A 说明：说明：物理意义物理意义比位能比位能比压能比压能比动能比动能总比能总比能几何意义几何意义位置水头位置水头压力水头压力水头流速水头流速水头总水头总水头22puzCgi i 三种形式的能量（位能、压能、动能）在流体流动过程中，可以三种形式的能量（位能、压能、动能）在流体流动过程中，可以相互转化，但其和始终为常数，即总能量守恒。相互转

40、化，但其和始终为常数，即总能量守恒。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础3.5 实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程缓变流断面及动能修正系数缓变流断面及动能修正系数水头线与水力坡降水头线与水力坡降伯努利方程的应用伯努利方程的应用掌握掌握实际流体总流的伯诺利方程实际流体总流的伯诺利方程重点重点掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础一、实际流体沿流线的伯努利方程一、实际流体沿流线的伯努利方程v 方程方程 为为理想流体沿流线的伯努利方程理想流体沿流线的伯努利方程。 一方面仅适用于理想流体，而不适用于实际流体；一方面仅适用于理想流体，而不适

41、用于实际流体； 另一方面仅适用于流线（微小流束），而不适用于总流。另一方面仅适用于流线（微小流束），而不适用于总流。v 对于实际流体而言，由于实际流体具有粘性，流动时将产生局部阻对于实际流体而言，由于实际流体具有粘性，流动时将产生局部阻力和沿程阻力，引起能量损失。因此力和沿程阻力，引起能量损失。因此实际流体流动时，沿流线方向实际流体流动时，沿流线方向总比能将逐渐减小总比能将逐渐减小。22puzCg第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 因此，对于流线上沿流动方向的两点因此，对于流线上沿流动方向的两点1、2，必有：，必有：v 设设 是是1、2两点间单位重量流体的能量损失，则

42、两点间单位重量流体的能量损失，则实际流体沿流线实际流体沿流线（微小流束）的伯努利方程式（微小流束）的伯努利方程式（能量方程）可写成：（能量方程）可写成：2211221222pupuzzgg21wh212222211122whgupzgupz I第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 实际流体总流伯努利方程需通过对微小流束伯努利方程的积分得出。实际流体总流伯努利方程需通过对微小流束伯努利方程的积分得出。 微小流束上某质点具有的单位重量的能量为：微小流束上某质点具有的单位重量的能量为： 以以dGudA的重量流量通过微小流束有效断面的流体总能量为：的重量流量通过微小流束有效断面

43、的流体总能量为： 单位时间通过总流有效断面流体的总能量为：单位时间通过总流有效断面流体的总能量为： 断面平均单位重量流体的能量为：断面平均单位重量流体的能量为：二、实际流体总流的伯努利方程二、实际流体总流的伯努利方程gupze22udAgupzdGedE)2(2AAudAgupzdEE)2(2AudAgupzQQEe)2(12第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 对于流线上沿流动方向的两点对于流线上沿流动方向的两点1 1、2 2，积分式（，积分式（I I），可导出断面平均），可导出断面平均单位重量流体的总能量之间的关系式：单位重量流体的总能量之间的关系式：v 此式即为此

44、式即为实际流体总流的伯努利方程（能量方程）实际流体总流的伯努利方程（能量方程）。v 由于总流有效断面上各运动参数不相等，因此求解以上积分式存在很由于总流有效断面上各运动参数不相等，因此求解以上积分式存在很大困难。为此，需引入两个概念：大困难。为此，需引入两个概念：缓变流断面、动能修正系数缓变流断面、动能修正系数。1221211111222222121()211()2AAwAApuzu dAQgpuzu dAhudAQgQ II第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础1、缓变流断面、缓变流断面v 定义：流线之间夹角比较小，流线曲率半径比较大的流动。定义：流线之间夹角比较小，流线

45、曲率半径比较大的流动。v 引入目的：忽略由于速度数值或方向的变化而产生的惯性力，解决式引入目的：忽略由于速度数值或方向的变化而产生的惯性力，解决式（II）中的积分）中的积分v 特性：特性： 缓变流断面接近平面；缓变流断面接近平面； 流线曲率半径流线曲率半径 R 很大，离心惯性力很大，离心惯性力Fn=mu2/R可忽略。因此，质量可忽略。因此，质量力只有重力；力只有重力； 缓变流有效断面上不同流线上各点的压力分布与静压力的分布规缓变流有效断面上不同流线上各点的压力分布与静压力的分布规律相同，即满足：律相同，即满足： 。pzC1()ApzudAQ掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学

46、与动力学基础对于不可压缩流体，积分得：对于不可压缩流体，积分得： 证毕。证毕。在缓变流中取相距极近的两流线在缓变流中取相距极近的两流线 S1 及及 S2 ，并在有效断面上取一面积，并在有效断面上取一面积为为dA，高为，高为dz的微小流体柱。则其受力情况如图。的微小流体柱。则其受力情况如图。0)(nFdGpdAdAdpp2/00ndpFmuRdzCpz证明：缓变流有效断面上的压力分布满足：证明：缓变流有效断面上的压力分布满足：pzC根据达朗贝尔原理：沿根据达朗贝尔原理：沿nn方向外力方向外力与惯性力的代数和应为零。即：与惯性力的代数和应为零。即：图图3-8 缓变流断面压力分布缓变流断面压力分布p

47、p+dpnnS2S1dzRdAdGuFnxoz第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础ii说明：说明：急变流急变流与缓变流相对应，是指流动参量沿流程急剧变化的与缓变流相对应，是指流动参量沿流程急剧变化的总流。例如：总流。例如：因此有：因此有：11()()AApppzudAzudAzQQ急变流急变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流急变流第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础2、动能修正系数、动能修正系数v 引入目的：解决式（引入目的：解决式（II）中的积分）中的积分 ，表示为总流断，表示为

48、总流断面平均流速面平均流速 v 的关系式。的关系式。v 关系式推求：由于总流有效断面上的速度分布不均匀，设各点真实流关系式推求：由于总流有效断面上的速度分布不均匀，设各点真实流速速 u 与断面平均流速与断面平均流速 v 之差为之差为u，则有：，则有：212AuudAQg()AAAAQudAvu dAvdAudAvA uvu 0AudA掌握掌握第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础32231(33)2AAAAv dAvudAv u dAu dAgQ因此有：233111222AAAuudAu dAvudAQggQgQ 22322131322AAu dAvv Avu dAgQgv

49、 A2213Au dAv A记：记： ，则：，则： 22122AuvudAQgg第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 实际流体总流伯努利方程式（实际流体总流伯努利方程式（IIII）的各项积分为：）的各项积分为：v 令总流能量损失：令总流能量损失：v 最终最终实际流体总流伯努利方程式实际流体总流伯努利方程式为：为：2121211AAwwudAhQh重点掌握重点掌握结论：结论：221()122AAppzudAzQuvudAQgg2211 122 2121 22g2gwpvpvzzhIII第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础说明：说明：v 动能修正系数动

50、能修正系数 的物理意义：的物理意义： 是总流有效断面上的是总流有效断面上的实际动能实际动能与与按平按平均流速均流速计计算算得得出出的的假想动能假想动能之之比比，是由于断面流速分布不均匀引起的，是由于断面流速分布不均匀引起的。v 动能修正系数动能修正系数 始终满足：始终满足： 1，且其值与水流流态有关：，且其值与水流流态有关： 层流时：层流时： =2 紊流时：紊流时： =1.051.10，且随着雷诺数，且随着雷诺数Re的增加，逐渐趋于的增加，逐渐趋于1。（在未讲述流态的概念之前，均以（在未讲述流态的概念之前，均以 =1近似处理。）近似处理。）222212132AAuudAu dAQgvv Ag第

51、三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 能量损失能量损失 为：实际流体总流为：实际流体总流1、2有效断面间，单位重量液流的有效断面间，单位重量液流的平均能量损失。平均能量损失。v 实际流体总流的伯努利方程式（实际流体总流的伯努利方程式（III）的）的适用条件：稳定流；不可压缩；适用条件：稳定流；不可压缩；质量力只有重力；计算断面质量力只有重力；计算断面1、2取在缓变流断面上；取在缓变流断面上；1、2断面具有共断面具有共同的流线同的流线。i i 例如：对于稳定管流分流情况，例如：对于稳定管流分流情况，如图：如图：说明：说明：1Q112Q223Q33分流分流21wh实际流体总流

52、的的伯努利方实际流体总流的的伯努利方程对于程对于1-2、1-3断面均适用，断面均适用，但对于但对于2-3断面不适用。断面不适用。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础内容回顾内容回顾理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程欧拉方程欧拉方程111xyzdupXxdtdupFmaYydtdupZzdt微小流束伯努利方程微小流束伯努利方程能量方程能量方程由流体运动微分方程（欧拉方由流体运动微分方程（欧拉方程）积分得出：程）积分得出： z 比位能比位能 比压能比压能 比动能比动能 总比能总比能22puzCg2/2z pug/ p2/2ug第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动

53、学与动力学基础微小流束伯努利方程微小流束伯努利方程能量方程能量方程适用于：理想流体、不可压缩、适用于：理想流体、不可压缩、质量力只有重力、沿稳定流流质量力只有重力、沿稳定流流线或微小流束线或微小流束22puzCg实际流体总流的伯努利实际流体总流的伯努利方程方程能量方程能量方程适用于：实际流体、不可压缩、适用于：实际流体、不可压缩、质量力只有重力、稳定流、缓质量力只有重力、稳定流、缓变流断面、具有共同流线变流断面、具有共同流线211 11222221 22g2gwpvzpvzh第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础二、伯努利方程的应用二、伯努利方程的应用v 实际流体总流的伯努

54、利方程的应用包括四个方面：实际流体总流的伯努利方程的应用包括四个方面： 一般水力计算一般水力计算 节流式流量计节流式流量计 毕托管、驻压强、总压强毕托管、驻压强、总压强 流动吸力问题流动吸力问题掌握掌握22112211221 22g2gwpvpvzzh第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础解题步骤：解题步骤：1 1、取三面：、取三面： 基准面基准面o-o 必须为水平面，作为位置水头必须为水平面，作为位置水头z 的基准面，通的基准面，通常取两计算断面中位置较低的断面。常取两计算断面中位置较低的断面。 计算断面计算断面I I 已知条件比较充分的断面。已知条件比较充分的断面。 计

55、算断面计算断面II II 未知量所在的断面（断面应与流线垂直）。未知量所在的断面（断面应与流线垂直）。2 2、应用伯努利方程进行计算，需注意以下几点：、应用伯努利方程进行计算，需注意以下几点： 伯努利方程的适用条件：伯努利方程的适用条件：稳定、不可压、质量力只有重力、计稳定、不可压、质量力只有重力、计算断面在缓变流断面且具有共同流线；算断面在缓变流断面且具有共同流线； 方程两端的方程两端的压力应取同一基准压力应取同一基准（同为表压或同为绝对压力）；（同为表压或同为绝对压力）； 计算点为所取有效断面的计算点为所取有效断面的中心点中心点； 动能修正系数的取值（层流、紊流；常以动能修正系数的取值（层

56、流、紊流；常以 =1近似）；近似）； 单位应统一。单位应统一。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础v 对于管路中的水池或者液罐等，由于其断面面积远大于管道断面面积，对于管路中的水池或者液罐等，由于其断面面积远大于管道断面面积，根据连续性方程，流量守恒情况下：水池、液罐断面流速远小于管道根据连续性方程，流量守恒情况下：水池、液罐断面流速远小于管道流速，可近似认为其流速，可近似认为其流速等于零流速等于零。因此，。因此，水池、液罐表面由于其已知水池、液罐表面由于其已知条件相比较充分，常作为计算断面之一条件相比较充分，常作为计算断面之一。i i 例如：例如：a a 计算断面上，满

57、足：计算断面上，满足：说明：说明：aa位能位能z：取决于基准面位置；：取决于基准面位置；对于敞口情况，压力：对于敞口情况，压力：p=0；流速很小，近似为：流速很小，近似为：v=0。注意：点注意：点1、点、点2意义不同。意义不同。12第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础1 1、一般水力计算、一般水力计算已知：已知：求：求：vc？Q？pB？分析：分析： 2,0.05 ,0.02 ,0.5 ,0.1AACwA BwB Cpat dm dm hm hmzpv断面断面A? ?断面断面B? ? ?断面断面C? ?(1)A、C断面各有一未知速度断面各有一未知速度v。而而B断面未知量过多

58、，不易计算。断面未知量过多，不易计算。因此：取因此：取A、C断面列伯努利方断面列伯努利方程求解，两者速度的关系可联程求解，两者速度的关系可联立连续性方程得出。立连续性方程得出。(2)泵排出管等径，泵排出管等径， A、B流速相流速相等。等。B与与A或或C断面列能量方程断面列能量方程求解求解B点压力。点压力。第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础 解解(1)：选取通过选取通过A点的水平面为基准面，取点的水平面为基准面，取A、C断面列伯努利方程：断面列伯努利方程：由连续性方程：由连续性方程：有：有：把（把（2 2）代入（）代入（1 1），并代入已知数得：），并代入已知数得：ACA

59、Cv Av A22ACCCC200.1650CCAAAdvvvvvAd（2）22CA2g2gCAACwA Cpvpvzzh（1）224CC0.162 9.8 1003.200.698002 9.82 9.8vvC18.06 /vm s30.00568/CCQv Ams第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础 解解(2)：选取通过选取通过B点的水平面为基准面，取点的水平面为基准面，取B、C断面列伯努利方程：断面列伯努利方程：由连续性方程：由连续性方程：代入已知数得：代入已知数得：0.16BACvvv222g2gCCBBBCwB Cpvpvzzh220.1618.0600.200

60、.198002 9.82 9.8CBvp atPapB65. 1161700第三章第三章 流体运动学与动力学基础流体运动学与动力学基础2 2、节流式流量计、节流式流量计v 常用的几种类型的流量计：常用的几种类型的流量计：孔板流量计孔板流量计、喷嘴流量计喷嘴流量计、 文丘文丘利流量计利流量计、 浮子流量计、浮子流量计、 涡轮流量计、涡轮流量计、 容积式流量计（椭容积式流量计（椭圆齿轮流量计、腰轮流量计、刮板流量计）其中圆齿轮流量计、腰轮流量计、刮板流量计）其中、皆为节流、皆为节流式流量计式流量计。v 原理：当管路中的流体流经节流装置时，在原理：当管路中的流体流经节流装置时，在收缩断面收缩断面处流