第五节正态总体参数的区间估计

1、概率统计一一. 正态总体均值的区间估计正态总体均值的区间估计1. 单个正态总体单个正态总体 情形情形2( ,)N 问题问题: 设设 X1, Xn 是取自是取自 的样本，的样本， 2,X S2( ,)N 求：参数求：参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 1 (1). 当方差当方差 已知已知的情形的情形2 选选 的点估计的点估计( (无偏估计无偏估计) )为为 X寻找未知参寻找未知参数的一个良数的一个良好估计好估计 N ( 0, 1 )，XUn 随机变量随机变量而且而且是样本的均值与方差，是样本的均值与方差，给定置信度给定置信度1 第五节第五节 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区

2、间估计 概率统计U 不依赖不依赖于任何未知参数。于任何未知参数。现对于给定的置信水平现对于给定的置信水平 (大概率大概率)， 根据根据 U 的分布，确定一个区间，使得的分布，确定一个区间，使得U 取值于该区间的取值于该区间的概率为概率为 1 1故故对于给定的置信水平，对于给定的置信水平，按照标准正态分布的按照标准正态分布的分位点的定义有：分位点的定义有： 2|1XPzn 从中解得：从中解得：概率统计221P XzXznn 1 于是所求于是所求 的的置信度为置信度为 置信区间为置信区间为 ：22(,)XzXznn 也可简记为：也可简记为：2()Xzn 概率统计例例1. 某实验室测量铝的比重某实验

3、室测量铝的比重 16 次，得平均值次，得平均值2.705X ，设总体，设总体2( , 0.029 )XN （高斯已证明测量误差是服从正态分布）（高斯已证明测量误差是服从正态分布）求求: 的的 95% 的置信区间的置信区间. 解解:195% 5%, 0.050.02522zzz (10.025)1.96u20.0291.960.01416zn 由已知：由已知：查正态分布表得查正态分布表得：0.025()10.0250.975)z得：得：取统计量取统计量：(0,1)XnN 概率统计(2.7050.014,2.7050.014)(2.691, 2.719)即即用用 来估计来估计 值的可靠程度达到值的

4、可靠程度达到 95%的区间范围是的区间范围是 (2.691, 2.719) 705. 2 X(2). 方差方差 未知未知的情形的情形2 用用 去去代替代替 得统计量得统计量：2s2 (1)Xt nsn 它是不依赖于任何它是不依赖于任何未知参数的未知参数的. 95%从而从而 的的 的置信区间为的置信区间为：2 未知，但考虑到样本方差是未知，但考虑到样本方差是 的无偏估计，的无偏估计，2 概率统计2|(1)1XPtnSn 即：即：从中解得：从中解得：22(1)(1)1SSP XtnXtnnn 22(1),(1)SSXtnXtnnn 1 于是所求于是所求 的的置信度为置信度为 置信区间为置信区间为

5、：概率统计例例2. 确定某种溶液的化学浓度，现任取确定某种溶液的化学浓度，现任取4个样品，测个样品，测得样本均值为得样本均值为8.34%,X 样本标准方差为：样本标准方差为：%03. 0 s现溶液的化学浓度近似现溶液的化学浓度近似求求: 的置信度为的置信度为 95% 的置信区间的置信区间 解解:195% 5% 0.0252(1)(3)tnt %0477. 01824. 3403. 0)1(2 ntns 由已知：由已知：查查 t 分布表得分布表得：得：得： 95%从而从而 的的 的置信区间为：的置信区间为：(8.2923%, 8.3877%)3.1824取统计量取统计量： (1)Xsnt n 服

6、从正态分布服从正态分布概率统计问题问题:求求:方差方差 的置信区间的置信区间.2 222(1)(1)nSn 解解:是是不依赖不依赖于任何未知参数的。于任何未知参数的。二二. 正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计1. 单个正态总体单个正态总体 的情形的情形2(,)N 设总体设总体 未知。未知。2,2(,),XN 本方差，给定置信度本方差，给定置信度 112,nXXX2 是总体是总体 X 的一个样本，的一个样本，是样是样2 2S是是 的无偏估计，且的无偏估计，且统计量：统计量：概率统计2221222(1)(1)(1)1nSPnn 2 故故对于给定的置信水平，对于给定的置信水平，按照按照 分

7、布的上分布的上 分分位点的定义有：位点的定义有：2222(1)|(1)1nsPn 从中解得：从中解得：1 于是于是所求所求 的的置信度为置信度为 置信区间为置信区间为2 ：概率统计2222122(1)(1)(,)(1)(1)nsnsnn 标准差标准差 的一个置信度为的一个置信度为 的置信区间的置信区间: 1 2212211(,)(1)(1)nsnsnn 1 于是所求于是所求 的的置信度为置信度为 置信区间为置信区间为2 ：概率统计例例3. 分别用金球和铂球测定引力常数分别用金球和铂球测定引力常数(单位单位: ) 2131110 skgm设测定值总体为设测定值总体为 均为未知均为未知.22( ,

8、),N (1) 用金球测定观察值为用金球测定观察值为: 6.683, 6.681, 6.676, 6.678, 6.679, 6.672(2) 用铂球测定观察值为用铂球测定观察值为: 6.661, 6.661, 6.667, 6.667, 6.667, 6.664概率统计例例4. 求求 例例3 中的中的 (1), (2)两种情况下，两种情况下， 的置信度为的置信度为0.9 的置信区间的置信区间.2 解解:在在(1)中中21(1)(61)(0.0003)0.000361ns 220.10.052(61)(5)11.071220.10.9512(61)(5)1.145 的置信度为的置信度为0.9的

9、置信区间为的置信区间为:2 0.0003 0.0003(,)(0.0000271, 0.000262)11.0711.145 542.71 10, 2.62 10() (1) 用金球测定观察值为用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676, 6. 678, 6. 679, 6. 672取统计量取统计量：222(1)(1)nSn 概率统计0.000036 0.000036(,)(0.0000038, 0.0000506)9.4880.711 2(1)1(51)(0.00036)0.0003651ns 220.10.052(51)(4)9.488在在(2)中中220.10.9512(51)(4)0.711 的置信度为的置信度为0