数学分析：第12章数项级数

1、在初等数学中，我们知道：任意有限个实数 UJ2,1 丄2 22123又如，1( 1)1 ( 1)从直观上可知，其和为1.其和无意义；那么其和为：0；那么和为：1.其结果完全不同.,Un相加，其结果仍是一个实数,.如+ 连接起来的表达式1第十二章 数项级数目的与要求：1.使学生掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 ，掌握等比级数 与调和级数的敛散性；2.掌握判别正项级数敛散性的各种方法，包括比拟判别法，比式 判别法，根式判别法和积分判别法.重点与难点：本章重点是数项级数收敛性的定义，根本性质和判别正项级数敛散性的 各种方法；难点那么是应用柯西收敛准那么判别级数的敛散性 第一节级数的收敛性级数

2、的概念在本章将讨论无限多个实数相加所可能出现的情形及特征假设将其改写为：(1 1) (1 1) (1 1)假设写为：1 ( 1) 1 ( 1) 1问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么.1 级数的概念定义1给定一个数列Un，将它的各项依次用加号U1 U2 U3Un称为数项级数或无穷级数简称级数，其中Un称为级数1的通项.级数1简记为：Un ,或叫.n 12 级数的局部和nSn Uk U1 U2Un称之为级数 Un的第n个局部和，简称局部和k 1n 13 级数的收敛性定义2假设数项级数Un的局部和数列Sn收敛于S即lim Sn S，那么称数项n 1n级数 Un收敛，称S为数项级数

3、Un的和，记作n 1n 1SUn=U1U2 U3n 1Unn 1aq aSn发散，那么称数项级数Un发散.n 1试讨论等比级数几何级数aq aqaq，(a 0)113 4n(n 1)假设局部和数列例1n的收敛性.解：见P2.例2讨论级数1 11 22 3的收敛性.解：见P2.二收敛级数的性质1级数与数列的联系由于级数Un的敛散性是由它的局部和数列&来确定的，因而也可以认为数项级n 1数 Un是数列Sn的另一表现形式.反之，对于任意的数列 an，总可视其为数项级数n 1(an an 1 )Un ai (a2 ai )(a3 a2)n 1(an an 1)有相同的的局部和数列，此时数列 a

4、n与级数a1 (a? aj 3 a?)敛散性，因此，有2 级数收敛的准那么定理1级数收敛的Cauchy准那么级数1收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数N，使得当m N以及对任意的正整数p，都有u m 1 um 2um p注：级数1发散的充要条件是：存在某个0 0，对任何正整数 N,总存在正整数mo( N), po，有Umo 1 U mo 2Umo po3 级数收敛的必要条件推论 必要条件 假设级数1收敛，那么lim Un 0.n注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3.例3讨论调和级数.1 111 2 3n的敛散性.1解：显然，有 lim un lim -0，但当令 p m时，有nn

5、 n 1111um 1 u m 2 um 3u2mm 1 m2 m32m11 11-2m 2m 2m2m 21因此，取o 1，对任何正整数N,只要m N和p m就有U mo 1 umo 2um) Po0 ，故调和级数发散例4应用级数收敛的柯西准那么证明级数$收敛.n证明：由于11故对m(m 1)0，取N(m 1)(m2)1T，使当mUm 1 Um 2Um pUm 1 Um 21 112 2m 1)(m 2)(m p)211 1 1m p 1)(mp)m m p mN及对任何正整数p，都有1Um p故级数丄收敛.n4 收敛级数的性质定理2假设级数 Un与 Vn都有收敛，那么对任意常数C,d ,级

6、数 (CUn dV.)也收n 1n 1n 1敛，且 (cun dvn) c un d vn .n 1n 1n 1即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立.定理3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的假设级数 Un收敛，设其和为 S，那么级数Un 1 Un 2也收敛，且其和为n 1Rn S Sn.并称为级数 Un的第n个余项简称余项，它代表用S.代替S时所产生的误n 1差.定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛即去括号法那么不成 立.如：(1

7、 1) (1 1)(1 1)0 00收敛,而级数1111是发散的.作业P5 1，2， 3， 4， 5，6，7.第二节 正 项 级 数一 正项级数收敛性的一般判别原那么假设级数各项的符号都相同，那么称为同号级数 . 而对于同号级数，只须研究各项都由正 数组成的级数正项级数 . 因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收 敛性.1 正项级数收敛的充要条件定理 5 正项级数 un 收敛 局部和数列 Sn 有界 .n1证明：由于对 n， un 0，故 Sn 是递增的，因此，有un 收敛Sn 收敛Sn 有界 .n12 比拟原那么定理 6比拟原那么 设 un 和 vn 均为正项级数，如果存在某个

8、正数 N ，使得对 n 1 n1n N 都有un vn ，那么 1假设级数 vn 收敛，那么级数 un 也收敛；n 1n 12假设级数 un 发散，那么级数vn 也发散.n 1n 1证明：由定义及定理 5即可得 .例1考察的收敛性.n 1 n n 1解：由于当n2时，有1_ _1 n2 n n(n1)12 5(n 1)2因正项级数1"2收敛故n2-收敛.1比拟判别法的极限形式推论比拟判别法的极限形式Unn 1和Vn是两个正项级数，假设n 1.Un lim n vn1当0 l2当l 0且级数3当l且时，级数那么Un1Vnn 1同时收敛或同时发散;Vn收敛时，级数 Un也收敛;n 1n

9、1Vn发散时，级数 un 1n 1n也发散.证明：由比拟原那么即可得.例2讨论级数亠的收敛性2n n解：利用级数丄的收敛性，由推论可知级数2n例3由级数 1的发散性，可知级数sin 1是发散的.nn比式判别法和根式判别法定理7 达朗贝尔判别法，或称比式判别法设Un为正项级数，且存在某个正整数N0及常数q(0,1):(1)假设对n N0，有Un 1Unq，那么级数Un收敛；(2)假设对n N0，有Un 1Un1，那么级数Un发散.1比式判别法证明：11不妨设对一切n，有亠 q成立，于是，有UnUnU2U3-q，一 q，U1U2故 U1 U3Unn 1q ，即 UnU1 U2Un 1-q,.Un

10、1qqn1，由于，当q (0,1)时，级数qn1收敛，由比拟原那么，可知级数Un收敛.n 12因此时lim Un 0，故级数Un发散.n2比式判别法的极限形式推论比式判别法的极限形式设 Un为正项级数，且limnUn 1Un那么1当q 1时，级数 Un收敛;(2)当q 1可为 丨时，级数 Un发散;(3)当q 1时，级数 un可能收敛，也可能发散.如: 证明：由比式判别法和极限定义即可得.例4讨论级数22_52 5 82 5 823(n1)1 1 51 5 91 5 914( n1)的收敛性.例5讨论级数nxn 1 (x 0)的收敛性.3 根式判别法定理8柯西判别法，或称根式判别法设 Un为正

11、项级数，且存在某个正整数 N。及正常数丨，1假设对 n No，有n unl 1， 那么级数Un收敛；2假设对n No，有 n Un 1，贝U级数 Un发散.证明：由比拟判别法即可得.4 根式判别法的极限形式推论根式判别法的极限形式设 un为正项级数，且lim n Un 丨，n那么1当当l 1时，级数Un收敛；2当当l 1可为丨时，级数 Un发散；3当当q 1时，级数Un可能收敛，也可能发散.如：1n12 n例6讨论级数2 (广的敛散性.2n解：由上推论即得说明：因lim 虹 q lim n u； q这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，n Un；飞也能用根式判别法来判断，即根式判别法较之比

12、式判别法更有效但反之不能，如例6.三积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比拟对象来判断正项级数的敛散性定理9设f(x)为1,)上非负减函数，那么正项级数f(n)与反常积分1 f(x)dx同时收敛或同时发散证明：由假设f(x)为1,)上非负减函数，那么对任何正数 A， f (x)在1，A上可积，从而有f(n) n 1 f(x)dx f (n 1)， n 2,3,mmm 1依次相加，得f(n) 1n 2f(x)dxf (n 1)n 2nf (n)1假设反常积分收敛，那么对m，有Smmf (n)n 1mf(1)1 f(x)dx f(1)1 f(x)dx于是，知级数f

13、(n)收敛.反之，假设级数f(n)收敛，那么对任意正整数m( 1)，有f(x)dx Sm if(n)1n 1又因f(x)为1,)上非负减函数，故对任何 AA0 f (x)dx SnS, n1故知，反常积分1 f (x)dx收敛.f (n) S.1，有A n 1.1n 3 n(ln n)(ln In n)p(1)， 2n 1 nn132 n(In n)p '的敛散性.作业P161，2, 3, 4,5， 6， 7， 8,9.例7讨论以下级数同理可证它们同时发散.第三节般项级数一 交错级数1 交错级数的定义假设级数的各项符号正负相间，即u1 u2 u3 u4( 1)nun(un 0, n 1

14、,2, ) 1那么称 1为交错级数 .2 交错级数收敛的判别定理 11 (莱布尼茨判别法 ) 假设交错级数 (1) 满足下述两个条件：1. 数列 un 单调递减；2. lim un 0 n那么级数 (1) 收敛 .证 ( 证明局部和数列 Sn 的两个子列 S2m 和 S2m 1 收敛于同一极限 .)考察交错级数 (1) 的局部和数列 Sn 的偶子列 S2m 和奇子列 S2m 1UlU2 U3U2m 2U2m 1,S>m (Ui U2) (U3 U4)(U 2m 1 U2m) 由条件1.上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列S2m1是递减的，而数列S2m° S2m 1S2m

15、U2m0(m),从而S2m，S2m1】是一个区间套由区间套定理,存在唯一的一个数S,使得lim S2m 1 lim SzmS.mm所以数列Sn收敛,即交错级数(1)收敛.推论假设交错级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件，那么收敛的交错级数(1)的余和Rn 的符号与余和的首项相同，并有RnUn 1 .判别级数(n 1n1也n(x °)的敛散性.n解 ° x 1时,由莱布尼茨判别法知，(1)n 收敛;n 1nnx 1时,通项(1)n0,所以1n发散.n 1n绝对收敛级数及其性质1绝对收敛和条件收敛假设级数 Un各项绝对值所组成的级数n 1片收敛,那么称原级数Un为绝对收n 1n

16、1假设级数Un收敛,但各项绝对值所组成的级数| Un不收敛,那么称原级数Unn 1n 1n 1为条件收敛.以级数 1n1为例，先说明 收敛绝对收敛.n 1n2 绝对收敛与收敛的关系定理12绝对收敛的级数一定收敛.证用柯西收敛准那么.一般项级数判敛时，先应判其是否绝对收敛.n例2判断级数是绝对收敛还是条件收敛.n 1 n!3 绝对收敛级数的性质1. 绝对收敛级数可重排性我们把正整数列 1, 2, ,n, 到它自身的一一映射 f ：n k(n) 称为正整数列的 重排，相应的对于数列un按映射 F： unuk(n)所得到的数列uk(n)称为原数列un的重排，相应于此，我们也称级数uk(n) 是级数

17、un 的重排 .n 1 n 1定理 13 设级数 un 绝对收敛 , 且其和等于 S, 那么任意重排后所得到的级数 n1uk(n) 也绝对收敛亦有相同的和数 .n12 级数的乘积设有收敛级数Un A与收敛级数Vn B ,那么它们的乘积UnVnn1n1n1n1按正方形排列顺序有：UnVnU1V1U1V2U2V2U2V1U1V3U2V3U3V3U3V2U3V1n1n1按对角线排列顺序有：UnVnU1V1U1V2U2V1U1V3U2V2U3V1114U2V3U3V2U4V1n 1n 1定理14假设级数Un A与级数Vn B都绝对收敛，那么按任意顺序排列所得n 1n 1到的级数乘积Unn 1Vn也绝对

18、收敛，且其和等于AB .n 1例3等比级数1 r r21 r是绝对收敛的，将2rn按对角线顺序排列，那么得到n 0R 1 (r r)(22)n n(r r1 2r 3r2(n 1)rn阿贝尔判别法和狄利克雷判别法对于型如an bn的级数的判敛，可用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法n 11 阿贝尔判别法引理分部求和公式，或称阿贝尔变换设i和Vii 1,2, ,n为两组实数.knn 1记kVi (k 1,2, ,n).贝Ui 1iiVi1(ii 1) in ni 1推论阿贝尔引理设(1)i (i 1,2,n)是单调数组;(2)对任一正整数k 1 k n,有1 kkA，这里 kVi (k 1,2,n),i 1那么记max k 时，有nkVk 3 A.定理15阿贝尔判别法k 1假设an为单调有界数列，且级数bn收敛,n 1那么级数anbn收敛.n 1证用柯西收敛准那么利用阿贝尔引理估计尾项由 bn收敛,依柯西收敛准那么，对任给n 10 ,存在正数N，使当n N时，对任一正整数p,都有又由于数列an单调有界，所以存在M 0，使anM，应用阿贝尔引理可得到akbk3M由柯西