数值分析第二章复习与思考题

1、第二章复习与思考题1什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：假设n次多项式lj x (j 0,1, ,n)在n 1个节点x0捲xn上满足条件1,kj,Zj,k 0,1,n,0, kj,那么称这n 1个n次多项式l0 x,l1x ,lnx为节点x0,x1,xn上的n次拉格朗日插值基函数.以lk x为例，由lk x所满足的条件以及lk x为n次多项式，可设lk xXX0X Xk 1 X Xk 1xn ，其中A为常数，利用lk Xk1 A XkX。xk xk 1 xkxk 1XkXn,XkX0XkXk 1XkXk 1XkXnlk(x)XX0X Xk 1 X Xk 1 XXnn

2、X xj对于lj x (ixkX。XkXk 1XkXk 1XkXnj 0 Xk Xjj k0,1,n,n)，有i 0Xiklixk0,1, ,n ,特别当k0时，有li x1.2什么是牛顿基函数？它与单项式基1,X,n,X有何不同?答：称 1, X X0, X x0X X1 ,xX0X Xn 1 为节点,Xn上的牛顿基函数，禾U用牛顿基函数，节点X0,X1,Xn上的n次牛顿插值多项式可以表示为Pn X a°a1x X0an XX0X Xn 1其中akfX0,x1,xk, k0,1, n 与拉格朗日插值多项式不同,牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如Pk

3、 1 XPk X ak 1 XX0X Xk ,其中ak i是节点xo,xi,Xk i上的k 1阶差商，这一点要比使用单项式基1,x, ,xn方便得多3什么是函数的n阶均差？它有何重要性质？答： 称 f X0, Xk-f-Xkf X0 为函数 f x 关于点 x0, xk的一阶均差，Xk Xof Xo, Xi, Xk f Xj Xkf Xo Xl 为 f X 的二阶均差 一般地，称XkXiXo,Xi,Xnf Xo, ,Xn 2,Xnf X°,Xi,Xn Xn i,Xn i为f x的n阶均差.均差具有如下根本性质:(i) n阶均差可以表示为函数值 f x0 , f禺，,f Xn的线性组合

4、，即f Xo,Xi,Xnf XjXj XoXj Xj i Xj Xj iXjXn该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性(2) f Xo,Xi, Xnf Xi,X2, ,Xnf Xo,Xi,XniXnXo(3)假设f x在a,b上存在n阶导数，且节点Xo,Xi,焉 a,b，那么n阶均差与n阶 导数的关系为f nf Xo,xi, Xn， a,b .n!4写出n i个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？答：给定区间 a,b上n i个点a xox-iXn b上的函数值yif Xi (i o,i, ,n)，那么这n i个节点上的拉格朗日插值多项式为Ln x yJk x

5、k oX Xj其中 lk xL , k o,i, ,n.j o XkXjj ki个节点上的牛顿插值多项式为其中 akf X0,X1,xk , k0,1, n为f x在点x0,禺，,xk上的k阶均差.由插值多项式的唯一性，Ln x 与 Pn x 是相同的多项式， 其差异只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，插值比拟方便，而拉格朗日插值没有这个优点当增加节点时只需增加一项， 前面的工作依然有效， 因而牛顿5.插值多项式确实定相当于求解线性方程组Ax y，其中系数矩阵 A与使用的基函数有关 .y 包含的是要满足的函数值y0,y1, ,ynT 用以下基底作多项式插值时，试描述矩阵A中非零元素的

6、分布(1) 单项式基底； (2) 拉格朗日基底； (3)牛顿基底 .a0 a1xanXn，其中 a°,ai, ,an为待定系数，利用插值条件，有a0a1x0nanx0y0a0a1x1nanx1y1，a0a1xnn anxnyn因此，求解 Ax y的系数矩阵A为1 x0nx0n1 x1nx1A1 xnn xn为范德蒙德矩阵 (2) 假设使用拉格朗日基底，那么设Ln x拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有a0l0 x0a1l1 x0anln x0a0l 0 x1a1l1 x1anln x1a0l0 xna1l1 xnanln xn答： (1) 假设使用单项式基底，那么设Pny0yn由拉格

7、朗日插值基函数性质，求解y1 ，a0l0 xa1l1 xanln x ，其中 lk x 为Axy 的系数矩阵 A 为100010A001为单位矩阵(3)假设使用牛顿基底，那么设Pn Xa°a1X X0an XX0XXn 1 ，由插值条件，有a。a1 X0XanX0XX0Xn 1y°a。a X1XanX1XX1Xn 1y1a。a XnX0anXnXXnXn 1yn即a°y0a°a-ix1X0y1a°a1 XnXanXnXXnXn 1yn故求解Ax y的系数矩阵A为11X1XA1X2XX2X0 X2为1XnXXnX0 XnX1XnX°Xn

8、为为下三角矩阵6用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序那么工作量由低到高分别为答：假设用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数, 拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底7给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？f n x在 a, b上连续，a,b 内存在，节点对任何x a,b，插值余项Rn x f xLn xfn1/ in 1X，n 1 !这里a, b且与x有关，n 1 xXX0XX-IX XaxoXiXnb， Ln X是满足条件Ln Xj yj, j0,1, ,n的插值多项式，那么x的截断误差假设有max f n 1 x M n 1，

9、那么Ln x逼近a x b8埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的 插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等称Pn x f Xof Xo XXonfXon!nXo为f x在点Xo的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为Pnk Xof k Xo , k 0,1, ,n，泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点xo处给出n 1个插值条件得到的n次埃尔米特插值多项式.9为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何

10、优点？答：对于任意的插值结点，当 n 时，Ln x不一定收敛于f x，如对龙格函数做 高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意分段低次插值是将插值区间分成假设干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以防止单个高次插值的振荡现象10. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由答：三次样条插值要求插值函数S xC a,b ，且在每个小区间Xj, Xj 1上是三次多项式，插值条件为S Xjyj, j 0,1,n 三次分段埃尔米特插值多项式1 h x是插值区间a,b上的分段三次多项式

11、，且满足1Ih X C a,b，插值条件为I h Xkf Xk，I hXkf Xk ,(k0,1,n).分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样 条插值更优越一些11. 确定 n 1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什 么条件？答：由于三次样条函数 S x 在每个小区间上是三次多项式， 所以在每个小区间xj ,xj 1上要确定 4 个待定参数， n 1个节点共有 n 个小区间

12、，故应确定 4n 个参数，而根据插值条 件，只有 4n 2 个条件，因此还需要加上 2个条件，通常可在区间 a,b 的端点 a x0，bxn上各加一个边界条件，常用的边界条件有 3 种：(1) 两端的一阶导数值，即S x0f0 ， S xnfn .(2) 两端的二阶导数值，即S x0f0 ， S xnfn ,特殊情况为自然边界条件S x00 ， S xn0.(3) 当 f x 是以 xnx0 为周期的周期函数时， 要求 S x 也是周期函数， 这时边界条件就满足S x 0S xn0 ， Sx00 Sxn0 ， Sx00 Sxn0这时 S x 称为周期样条函数 .12. 判断以下命题是否正确？(

13、1) 对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多 .(2) 如果给定点集的多项式插值是唯一的，那么其多项式表达式也是唯一的 .(3) li x (i 0,1,n)是关于节点(i 0,1,n)的拉格朗日插值基函数，那么对任何次n数不大于n的多项式P x都有 li x P xiP xi0(4) 当f x为连续函数，节点 xi(i 0,1, n)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式Ln x ，那么 n 越大 Ln x 越接近 f x .(5) 同上题， 假设构造三次样条插值函数Sn x ，那么 n 越大得到的三次样条函数Sn x 越接近 f x .(6) 高次拉格朗日插值是很常用的 .(7) 函数f x的牛