2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

1、2003 年全国硕士研究生入学统一测试数学一试题解析一、填空题(此题共 6 6 小题,每题 4 4 分,总分值 2424分分.).)12712Tln(1x)(1)(cosx)=.1【答案】【考点】两个重要极限【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点：-lim对于1型不定式,可以采取lim(1)lim(1)ex0(0,),进而转化为0,0,通过等价无穷小或洛必达法那么来计算. .01x2111cosx1q1丁丁(cosx1)亍lim2lim_2_ln(1x2)cosx1ln(1x2)x01n(1x2)x0 x22解析：1imo(cosx)(1im(1cosx1)()e()exe222,(2)曲面

2、zxy与平面2x4yz0平行的切平面的万程是.【答案】2x4yz5【考点】曲面的切平面【难易度】【详解】解析：令F(x,y,z)zx2y2,贝UFx2x,Fy2y,Fz1.设切点坐标为小.力.),那么切平面的法矢量为2XO,2y0,1,其与平面2x4yz0平行,因此有3030,可解得XO1,y02,相应地有ZOx2y25.241(3)设x2ancosnx(冗x力,那么a2=故所求的切平面方程为2(x1)4(y2)(z5)0,即2x4yz5. .【考点】函数在0,1上的余弦级数【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点:将f(x)(x)展开为余弦级数f(x)ancosnx(x),其系数计算公式n0

3、42为anf(x)cosnxdx.解析：根据余弦级数的定义,有= =-x2sin2x0Sin2x2xdx【考点】向量空间及其相关概念【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点:a2-x2cos2xdx2012,xdsin2xo(4)(4)从 R R2 2到基-xdcos2x-xcos2x到基cos2xdx的过渡矩阵为n维向量空间中,从基2,n到基n的过渡矩阵P满足nP,因此过渡矩阵P为:P=1,2,n 1,2,一一.111解析：根据7E义,从R的基12到基10,111的过渡矩阵为22111111. .= =01120(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)6x,0 xy1,0,其他

4、,那么PXY1=.-1【答案】14【考点】二维连续型随机变量【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点:二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率Pg(X,Y)z0,一般可转化为二重积分Pg(X,Y)zo=f(x,y)dxdy进行at算.g(x,y)Z011(1x一21解析：PXY1f(x,y)dxdy：dx*6xdy=2(6x12x)dx.xy14(6)一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),那么的置信度为0.95的置信区间是.(注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.

5、)【答案】(39.51,40.49)【考点】区间估计的概念【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点：X,1,对正态总体的数学期望进行估计,可根据N(0,1),由nu1确定临界值u,进而确定相应的置信区间.万万在单个正态总体方差条件下,求期望值的置信区间为&u/2-j=其中PUu1,U:N(0,1).万解析：方法 1 1：由题设,10.95,可见0.05.查标准正态分布表知u1.96.此题方差2二、选择题(此题共 6 6 小题,每题 4 4 分,总分值 2424 分.每题给出的四个选项中,只有项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)内连续,其导函数的图形如下图,那么f(x)有

6、()(A)(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.( (C C) )两个极小值点和两个极大值点.( (D D) )三个极小值点和一个极大值点.【答案】C C【考点】函数的极值【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点：根据导函数的符号,确定原函数的单调性；可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点；解析：根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有 3 3 个,而x0那么是导数不存在的点. .三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点,一个极大值点；在x0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x0为极大值点,故f(x)共有两个极小值点和两个极大

7、值点.设an,bn,g 均为非负数列,且liman0,limbn1,limg,那么必有()nnnn16,X40,因此,根据P1.960.95,有0.95,即P39.51,40.490.95,故的置信度为0.950.95 的置信区间是(39.51,40.49). .方法 2:2:由题设,0.95,PUuPu22(u)10.95,2(u)0.975查得u1.96.221,n16, ,x40代入(xu2n,xu得置信区间(39.51,40.49). .(1)设函数f(x)在(【考点】数列极限的性质【难【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点:极限只研究n时的情况,前面的情况不能确定;根据所给条件无法

8、判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.【考点】多元函数的极值【难【难易度】(4)设向量组I:1,2,可由向量组II:1,2,s线性表示,那么()(A)当rs时,向量组II必线性相关.(B)当rs时,向量组II必线性相关.(C)当rs时,向量组I必线性相关.(D)当rs时,向量组I必线性相关.(A)anbn对任意n成立.(B)bnCn对任意n成立.(C)极限limancn不存在.n(D)极限limbnCn不存在.n类似函数极限,不定式的结果是不确定的,常见不定式包括：0,00解析：由知识点知,A,BA,B 不正确,由知识点知,C C 不正确,应选,1,D D.(3)(3)函数f(x,y)在

9、点(0,0)的某个邻域内连续,且limx0y0f(x,y)xy22、2(xy)1,那么(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.0,00;(D)【详解】解析：由xlimyf(x,y)xy0/2220(xy)1知,分子的极限必为零,从而有f(0,0)0,且f(x,y)xy:(x2y2)2(x,y充分小时),于是f(x,y)f(0,0):xy可见当yx且x充分小时,f(x,y)f(0,0)2一4一.x4x0；而当yx且x充分小时,f(x,y)一一一2f(0,0):x4x40.故点(0,0)不是f(x,y)的极

10、值点D D【考点】向量组的秩、向量组的线性相关【难【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点：r(Amn)m,r(Amn)n,类似地,向量组的秩不大于向量的个数或维数；向量组的秩 向量的个数向量组线性相关解析：由题干易知：r(I)r,r(II)s,由于向量组I可由向量组II线性表示,所以r(I)r(II)s(A)当rs时,r(II)s；(B)当rs时,r(II)s(C)当rs时,r(I)r；(D)当rs时,r(I)r(II)srr(I)r(5 5)设有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中A,B均为mn矩阵,现有 4 4 个命题：假设Ax0的解均是Bx0的解,那么秩(A);(B)；假设秩(A)n 秩

11、(B),那么Ax0的解均是Bx0的解；假设Ax0与Bx0同解,那么秩瓜)=秩(8)；假设秩6)=秩(8),那么Ax0与Bx0同解.以上命题中正确的选项是()(A)(A). .(B)(B). .(C)(C). .(D)(D)【答案】B B【考点】线性方程组的公共解、同解【难【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点：齐次线性方程组Ax0解向量的秩为nr(A)；向量组A可由向量组B表示,那么有r(A)r(B)；向量组等价,即向量组的极大无关组等价,有r(A)r(B).解析：假设Ax0的解均是Bx0的解,即方程组Ax0的解向量可由方程组Bx0的解向量表示,所以nr(A)nr(B),即秩(A)秩(B),

12、反之不一定成立;假设Ax0与Bx0同解,即方程组Ax0的解向量与方程组Bx0的解向量等价,所一一一一、,1以nr(A)nr(B),即秩(A)=秩(B),反之不一定成立；如A0那么秩( (A尸秩( (B)=1)=1, ,但AX0与BX0不同解.(1)(1)求 D D 的面积 A;A;(2)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.【考点】平面曲线的切线、定积分的几何应用【难易度】(6)(6) 设随机变量Xt(n)(n(A)(A)2(n).(B)(B)2(n1).(C)(C)YF(n,1).(D)(D)YF(1,n).【考点】2分布、F分布【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点:x2x222,x

13、n(n),其中xi(i1,2,n)N(0,1)且相互独立;F(m,n)2(m)m2(n)n解析：由题设知,XU=,其中UN(0,1),V2(n),于是YYI2X2%U2这里U2212(1),根据F分布的定义知YX2F(n,1).故应选(C).(C).、(此题总分值 1010 分)过坐标原点作曲线ylnx的切线,该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形【详解】解析:(1)(1)设切点的横坐标为Xo, ,那么曲线ylnx在点(xo,lnXo)处的1.(XXo).由该切线过原点知Xo12xarctan展开成 x x 的帚级数,并求级数12x【考点】初等函数的骞级数展开式、简单骞级数的和函数的求法【难易

14、度】【详解】此题涉及到的主要知识点:哥级数展开一般通过适当的恒等变形、求导或积分等,转化为可利用哥级数展开的情形.11函数的哥级数展开1Xx2xn1X1X211解析：由于f(x)22(1)n4nx2n,x(1,1).又f(0)-, ,14x2no224XX_所以f(x)f(0)f(t)dt2(1)n4ntdt040n0nn切线方程是ylnXoInXo10,从而Xoe.所以该切线的方程为(2)(2)切线 y y1_1yy-x.平面图形D的面积Ao(eyey)dye“1-X与X轴及直线Xe所围成的三角形绕直线Xe旋转所得的圆锥体旋转体体积为e2.曲线yInx与x轴及直线xe所围成的图形绕直线xe旋

15、转所得的1V2o(eey)dy,因此所求旋转体的体积为VV1V2四、(此题总分值12e31212 分)(eey)2dy-(5e212e3).将函数f(x)o羽的和(1)(1)42n1X,Xno2n1,1在X一处右边级数成为由于级数21)nno2n11%收敛,左边函数f(x)连续,所以成立范围sinysinxsinysinx白xeydyyedx臼xedyyedx;LLsinysinx2(2)(2)oxedyyedx2冗L【考点】第二类曲线积分的计算、格林公式【难易度】【详解】解析:方法 1:1:一0sinysinxsinxsinx、(1)(1)左边= =0edyedx= =0(ee)dx,0si

16、nysinxsinxsinx、右边= =0edyedx= =0(ee)dx,sinysinxsinysinx所以；xedyyedx：xedyyedx. .(2)(2)由于es1nxesinx2,故由(1)(1)得sinysinxsinxsinx2xedyyedx0(ee)dx2.方法2:(1)(1)根据格林公式,得sinysinxsinysinx、Lxedyyedx(ee)dxdy,Dsinysinxsinysinx、xedyyedx(ee)dxdy. .D由于D具有轮换对称性,所以sinysinxsinysinx、(ee)dxdy= =(ee)dxdy,m11可扩大到x处.而在x处,右边级数

17、虽然收敛,但左边函数22,-11立范围只能是x(-. .22f(x)不连续,所以成,11令x一,得f(一)22_2(1)4n1_(1)n4n02n122n14no2n1一,1(1)n1再由f(-)0,得(一)-f(-).2no2n1424五、(此题总分值 1010 分)平面区域D(x,y)0 x,0y山为D的正向边界.试证:故xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx. .(2)(2)由(1)(1)知sinysinxsinysinx、Lxedyyedx(ee)dxdyDsinysinx= =edxdyedxdyDD= =esinxdxdyesinxdxdy(利用轮换对称性

18、)DDsinxsinx2= =(ee)dxdy2dxdy2.DD六、(此题总分值 1010 分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k0),汽锤第一次击打将桩打进地下a(m).根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1).问(1)(1)汽锤击打桩 3 3 次后,可将桩打进地下多深？(2)(2)假设击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深？(注：m m 表示长度单位米.)【考点】定积分的物理应用、数列极限的定义及其性质【难易度】【详解】解析：

19、(1)(1)设第n次击打后,桩被打进地下xn,第n次击打时,汽锤所作的功为Wn(n1,2,3,).由题设,当桩被打进地下的深度为x时,土层对桩的阻力的大小为kx,x1k2k2&k2所以皿kxdxx1a,W2xkxdx(x2由川2rW1可彳xx2a2ra2即x2(1r)a2.W3xkxdx(x12x2)；x2(1r)a2.由川3rW2r2W1可得x；(1r)a2r2a2,从而x3V1rr2a,即汽锤击打 3 3 次后,可将桩打进地下Wrr2am. .(2)由归纳法,设xnV1rr2rn1a,那么x2);2(xfa2).xn1k22k2n12Wnixkxdx-(X21xn2)=-x2i(1

20、rr)a2.xn22由于Wn1rWnr2Wn1rnW1,故得x21(1rrn1)a2rna2, ,n1rn1从而xn1.1rraa.:1r于是limx11La,即假设击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下Jam. .n11r.1r七、(此题总分值 1212 分)内具有二阶导数,且y0,xx(y)是yy(x)的反函数.jd,、d2x(1)试将xx(y)所满足的微分方程d-4(ydy2分方程;3(2)求变换后的微分万程满足初始条件y(0)0,y(0)-的解.【考点】反函数的求导法那么、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】此题涉及到的主要知识点：2dx11dxd,dx、d,1、dxy1

21、y一二=一,r()=一()=2-dydyydydydydxydyyy(y)dx二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqf(x)的通解为：二阶常系数齐次线性微分方程ypyq0的通解加二阶常系数非齐次线性微分方程解.一,dx1一,解析：(1)(1)由反函数的求导公式知dx工,于是有dyy代入原微分方程得yysinx.(2)(2)方程(*)(*)所对应的齐次方程yy0的通解为YxCexC2e设函数yy(x)在(dxosinx)()0&i换为dyyy(x)满足的微ypyqf(x)的特d2xdy2dy(dy)嗫中dxdyy(y)3.*1设方程* *的特解为yAcosxBsinx,代入方程* *, ,

22、求得A0,B故故y*1.-sinx,从而yy2、_._*_V_sinx的通解是yYyC1eC2e2,一一一sinx.2X Xey由xey1212 分)2 2c,1 11 1c得1.故所求初值问题的解为八、此题总分值设函数 f fx x连续且恒大于零,F(t)f(x2Q(t)其中(t)(x,y,z)x2(1)(1) 讨论Ft在区间0,(2)(2)证实当t0时,Ft【考点】二重积分的计算、【 难 易度】解析: :1 1F(t)所以在0,(2)(2)要证实ty2z2)dV22,G(t)f(xy)dD(t)f(x2y2)dD(t)t2tf(x2)dxt2,D(t)(x,y)x2 内的单调性.2-G(t

23、).冗冗t2重积分的计算、积分上限的函数及其导数2d由于F(t)d0_2d0.2t.2tf(t2)0f(r2)r(tr)drt220f(r)rdr-22f(r)rsindr_t_222f(r)rdr-2f(r)rdr-2f(r)rdr)F(t)0,故F(t)在(0,内单调增加._2f(r)rdr-2f(r)dr2_一0时F(t)G(t),只需证实t一一2一一.0时,F(t)G(t)0,即-22t-2t-2f(r)rdrf(r)drf(r)rdr20.*1入t22t_2令g(t)0f(r)rdr0f(r)drtL220f(r)rdr,那么g(t)f(t2)f(r2)(tr)2dr0,故g(t)在

24、(0,由于g(t)在t0处连续,所以当t0时,有g(t)内单调增加g(0).又g(t)0,故当t0时,g(t)0, ,因此,当t0时,F(t)2-G(t).九、(此题总分值1010 分)设矩阵A向量,其中A为A的伴随矩阵,P,求B2E的特征值与特征E为 3 3 阶单位矩阵【考点】 矩阵的特征值的计算、矩阵的特征向量的计算【难易度】 【详解】此题涉及到的主要知识点:设BP1AP,假设是A的特征值,对应特征向量为B与A有相同的特征值,但对应特征向量不同,B对应特征值的特征向量为解析:方法 1:1:经计算可得A*2EE(B2E)9)2(3)故B2E的特征值为29,3.121当129时,解9EAx0,

25、得线性无关的特征向量为k1*2是不全为零的任意常数.0当33时,解3EAx0,得线性无关的特征向量为3110所以属于特征值33的所有特征向量为k33卜31,其中k30为任意常数1方法 2 2：设A的特征值为,对应特征向量为,即A0.又因A*AAE,故有A*一,1、1.,1、A,1、1A于是有B(P)PA*P(P)(P),(B2E)P(2)P因此,四2为B2E的特征值,对应的特征向量为P322232(1)2(7),223故A的特征值为121,37.121时,对应的线性无关特征向量可取为当37时,对应的一个特征向量为31.所以属于特征值29的所有特征向量为k11k21k1102k20,其中1由于A

26、70,所以由于EA1全为零的任意常数;十、(此题总分值 8 8 分)平面上三条不同直线的方程分别为11:ax2by3c0,l2：bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.【考点】线性方程组有解和无解的判定【难易度】【详解】【详解】此题涉及到的主要知识点:三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解ax2by3c,解析:方法1：必要性：设三条直线11,12,13交于一点,那么线性方程组bx2cy3a,(*)cx2ay3b,a有唯一解,故系数矩阵Abc2ba2b2c与增广矩阵Ab2c2ac2a3c2223a6(abc)abcabacbc3b3(a

27、bc)(ab)2(bc)2(ca)20, ,0,那么abc,三条直线相同,故abc0.0,得P111因此,B2E的三个特征值分别为9,9, 9,9,3 3. .对应于牛I征值 9 9 的全部特征向量为k1Pk2Pk1k21,其中k1,k2是不1对应于牛I征值 3 3 的全部特征向量为k311其中k3是不为零的任意常数3c3a的秩均为2,于是3ba2bA|b2cc2a假设(ab)2(bc)2(ca)2a2b221232由于2(acb)2a(ab)b=2(a一b)b0,b2c24故秩(A)2. .于是,秩( (A尸秩(A)=2=2.因此方程组(*)(*)有唯一解,即三直线11,12,13交1点.Xoax2by3c,充分性：考虑线性方程组bx2cy3a,cx2ay3b,将方程组(*)(*)的三个方程相加,并由abc0.可知,方程组(*)等价于方程组22222a(ab)b=-=-ab(ab)0, ,故方程组(*)有唯一解,所以方程组(*)有唯一解,即三直线li2/3交于一点.卜一、(此题总分值 1010 分)有 3 3 件合格品.从甲箱中任取 3 3 件产品放入乙箱后,求:(1)(1)乙箱中次品件数 X X 的数学期望；充分性：由abc0,那么从必要性的证实可知,0,故秩(A